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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du   baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire}} 
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle 

%\[y'' + 25 y = 0,\]

%où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
L'équation s'écrivant $y'' + 5^2y = 0$, on sait que les solutions s'écrivent 

\[f(t) = A \cos 5t + B\sin 5t,~\text{avec}~A \in \R,~B \in \R\]
\medskip
 
\item %Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes : $f(\pi) = - \sqrt{3}$ et $f'(\pi) = 5$.
On a $f'(t) = - 5A \sin 5t + 5B\cos 5t$.

Donc $\left\{\begin{array}{l c r}
f(\pi) &=& - \sqrt{3}\\
f'(\pi) &=& 5
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
A\cos 5\pi + B \sin  5\pi&=&- \sqrt{3}\\
-5A\sin 5\pi  + 5B \cos 5\pi&=&5
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c r}
- A &=&- \sqrt{3}\\
-5B&=&5
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c r}
A&=&\sqrt{3}\\
B&=&-1
\end{array}\right.$

La fonction solution de l'équation différentielle et vérifiant les deux conditions est définie sur $\R$ par 

\[f(t) = \sqrt{3}\cos 5t - \sin 5t.\]
\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $t,~f(t) = 2\cos\left(5t + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
On peut en factorisant $2$, écrire :

$f(t) = 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5t - \dfrac{1}{2}\sin 5t \right) = 
2\left(\cos \frac{\pi}{6}\cos 5t - \sin \frac{\pi}{6}\sin 5t\right)  = 2\cos \left(5t + \frac{\pi}{6} \right)$,

d'après la formule $\cos a \cos b - \sin a \sin b = \cos (a + b).$ 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $2\cos x = 1$.
$2\cos x = 1 \iff \cos x = \dfrac{1}{2} \iff \cos x = \cos \frac{\pi}{3} \iff x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \Z$ ou 

$x = - \frac{\\pi}{3} + 2k'\pi,~k' \in \Z$.
		\item %En déduire les solutions dans $\R$ de l'équation $f(t) = 1$.
$f(t) = 1 \iff 2\cos \left(5t + \frac{\pi}{6} \right) = 1$, soit en utilisant les résultats de la question précédente :

$\left\{\begin{array}{l}
5t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \Z~\text{ou}\\
5t + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k'\pi,~k \in \Z
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
5t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi~\text{ou}\\
5t = - \frac{\pi}{2} + 2k'\pi
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
t = \frac{\pi}{30} + 2k\frac{\pi}{5}~\text{ou}\\
t = - \frac{\pi}{10} + 2k'\frac{\pi}{5}
\end{array}\right.$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

%Un conteneur contient 100~flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10\:\% du produit P ;
%\item[] 30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20\:\% du produit P ; 
%\item[] 40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30\:\% du produit P ; 
%\item[] 20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40\:\% du produit P ; 
%\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50\:\% du produit P.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
%On tire au hasard un flacon du conteneur. On admet que tous les flacons ont la même probabilité d'être tirés.
% 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon. Ainsi, si on tire l'un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10\,\%, $X$ prend la valeur $10$. 
\begin{enumerate}
\item %Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs 10,~20,~30,~40 ou 50.

On a le tableau de la loi de probabilité de cette variable suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

X$ = x_{i}$&10&20&30&40&50\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{5}{100}$&$\dfrac{30}{100}$&$\dfrac{40}{100}$&$\dfrac{20}{100}$&$\dfrac{5}{100}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item %Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
On a  E$(X) = 10 \times \dfrac{5}{100} + 20 \times \dfrac{30}{100} + 30 \times \dfrac{40}{100} + 40 \times \dfrac{20}{100} + 50 \times \dfrac{5}{100} = $

$\dfrac{50 + 600 + \np{1200} + 800 + 250}{100} = \dfrac{\np{2900}}{100} = 29$.
\item %Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100~flacons dans un même récipient.
D'après le résultat précédent le dosage du contenu des 100 flacons mélangés sera de 29\,\%. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Le produit P étant toujours dosé soit à 10\:\%, soit à 20\:\%. soit à 30\:\%, soit à 40\:\%, soit à 50\:\%, on souhaite obtenir E$(X) = 29,2$ en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat.
On doit avoir E$(X) = 29,2 = \dfrac{\np{2920}}{100}$ au lieu de $\dfrac{\np{2900}}{100}$. Il suffit donc de remplacer un des flacons à 10\;\% par un flacon à 30\,\%. (ou un de 20 par un de 40 ou un de 30 par un de 50).
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(x) =  \dfrac{3}{2}x^2 - x^2 \ln x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ (on rappelle que la limite de $x\ln x$ lorsque $x$ tend vers $0$ est $0$).
Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0,~ \displaystyle\lim_{x \to 0} x \times x \ln x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.
\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

%\[f(x) = x^2\left(\frac{3}{2} - \ln x\right) + 1.\] 
En factorisant $x^2$ (rappel $x \neq 0$), on peut écrire :

$f(x) = x^2\left(\dfrac{3}{2} - \ln x\right) + 1$.
%En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

On a   $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} - \ln x = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = + \infty$, par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty$.
\item %On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
On a $f'(x) = \dfrac{3}{2} \times 2 x - 2x \ln x - x^2 \times \dfrac{1}{x} = 3x - 2x \ln x - x = 2x - 2x\ln x  =$

$2x(1 - \ln x)$.	 
%Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

%\[f'(x) = 2x(1 - \ln x).\] 
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - \ln x$ ; or 

$1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x \iff ~(\text{par croissance de la fonction ln})$

$\text{e} > x \iff 0 < x < \text{e}$ ; la dérivée est positive sur $]0~;~\text{e}[$ ;

de même  $1 - \ln x < 0 \iff x > \text{e}$
	\end{enumerate}
\item %Donner le tableau de variation de la fonction $f$. Indiquer les limites en $0$ et en $+ \infty$, ainsi que la valeur de l'extremum de la fonction $f$.
La question précédente montre que $f$ est croissante sur $]0~;~\text{e}[$  et décroissante sur $]\text{e}~;~+ \infty[$.

Il y a donc un maximum en e  : $f(\text{e}) = \dfrac{3}{2}\text{e}^2 - \text{e}^2 \times 1 + 1 = 1 + \dfrac{\text{e}^2}{2}$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)\psline[doubleline=true](2.1,0)(2.1,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){e} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$}  \rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.7)\psline{->}(5.5,1.7)(7.5,0.5)
\uput[u](2.25,0){1}\uput[d](5,2){$1 + \frac{\text{e}^2}{2}$}
\uput[u](7.6,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle [4~;~5].
Le tableau de variations montre que $f$ ne s'annule qu'une seule fois sur $[\text{e}~;~+ \infty[$ en $\alpha$.

Plus précisément : $f(4) = \dfrac{3}{2}\times 16 - 16 \ln 4 + 1 = 25 - 32 \ln 2 \approx 2,8$ et $f(5) = \dfrac{3}{2}\times 25 - 25 \ln 5 + 1 = \dfrac{77}{2} - 25\ln 5 \approx -1,7$, ce qui montre que $4 < \alpha < 5$.

De même $f(4,6) \approx 0,4 > 0$ et $f(4,7) \approx -0,05 < 0$, ce qui montre que $4,6 < \alpha < 4,7$.
%Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\item %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 1~cm).
 
%Tracer la courbe $\mathcal{C}$ (faire figurer sur le tracé le point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$).
Voir la figure à la fin. 
\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[g(x) = \dfrac{11}{18}x^3 -\dfrac{1}{3}x^3\ln x + x.\]
 
%Vérifier que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On a $g'(x) =  \dfrac{11}{18}\times 3 x^2 -\dfrac{1}{3}\times 3x^2\ln x - \dfrac{1}{3}x^3 \times \dfrac{1}{x} + 1 = \dfrac{11}{6}x^2 - x^2\ln x - \dfrac{1}{3}x^2 + 1 = \dfrac{3}{2}x^2 - x^2\ln x + 1 = f(x)$.

Conclusion : $g$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item %On considère le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 4$.
 
%Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$.
On a vu que sur [2~;~4], la fonction $f$ est positive  ; donc l'aire de la surface $\mathcal{D}$ limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 4$ est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_{2}^4 = g(4) - g(2) = \dfrac{11}{18}\times 4^3 -\dfrac{1}{3}\times 4^3\ln 4 + 4 - \left(\dfrac{11}{18}\times 2^3 -\dfrac{1}{3}\times 2^3\ln 2 + 2\right) =$

$ \dfrac{352}{9}- \dfrac{128}{3}\ln 2 + 4 -\dfrac{44}{9} + \dfrac{8}{3}\ln 2 - 2 = \dfrac{308}{9} - \dfrac{120}{3}\ln 2 + 2 = 2 +  \dfrac{308}{9} - 40\ln 2$~(u. a.)

L'unité d'aire étant égale à $1 \times 1 = 1$~cm$^2$, on a aussi :

$\mathcal{A} = 2 +  \dfrac{308}{9} - 40\ln 2 \approx 8,496 \approx 8,50$~cm$^2$ au centième près. (ce que l'on contrôle approximativement sur la figure)
%Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(4.685,0)\uput[ur](4.67,0){A}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5.04}{1.5 x dup mul mul x dup mul x ln mul sub 1 add}
\uput[ur](4,3){\blue $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{1.5 x dup mul mul x dup mul x ln mul sub 1 add}
\psline(4,0)(2,0)}

\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}