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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole \decofourright\\[4pt]septembre 2008 Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,4cm}

%Calculatrice et formulaire autorisés 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

%\[z^2 + 6z + 12 = 0.\]
On a $\Delta = 36 - 4 \times 12 = 36 - 48 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

Le discriminant est négatif : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{-6 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = - 3 + \text{i}\sqrt{3} \quad \text{et} \quad  - 3 - \text{i}\sqrt{3}.\]
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). 

%On désigne par A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -3 + \text{i}\sqrt{3}$ et 
%
%$z_{\text{B}} =  - 3 - \text{i}\sqrt{3}$.
%
%Déterminer la forme trigonométrique des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Placer les points A et B sur une figure. 
On a $\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = \left|-3 + \text{i}\sqrt{3}\right|^2 = 9 + 3 = 12 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}}  \right| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Donc $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, on a $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{-5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{-5\pi}{6} \right)$.

Placement : voir la figure. On peut construire une longueur de $2\sqrt{3}$ comme longueur du troisième côté d'un triangle rectangle dont un côté mesure 2 et l'hypoténuse 4.
\item %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point C sur la figure.
Voir la figure.
 
		\item %Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$.
$z_{\text{C}} = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{-\pi}{6} + \text{i}\sin  \frac{-\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3} -  3\text{i}$.
		\item %Quelle est la nature du triangle BOC ?
On a BC$^2  = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|^2 = \left|\sqrt{3} -  3\text{i} - \left(- 3 - \text{i}\sqrt{3} \right)  \right|^2 = \left|3 + \sqrt{3} + \left(\sqrt{3} - 3 \right)  \right|^2 = \left(3 + \sqrt{3} \right)^2 + \left( \sqrt{3} - 3\right)^2 = 9 + 3 + 6\sqrt{3} + 3 + 9 - 6\sqrt{3} = 24$.

On a $24 = 12 + 12 \iff \text{BC}^2 = \text{OB}^2 + \text{OC}^2 \iff $ (OBC) est un triangle rectangle en O et comme OB = OC, il est rectangle isocèle en O. (réciproque du théorème de Pythagore).

\emph{Rem.} On aurait aussi pu montrer que $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}} \right) = + \dfrac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(-3,1.732)(-3,-1.732)(1.732,-3)
\uput[ur](0,0){O} \uput[ul](-3,1.732){A} \uput[dl](-3,-1.732){B} \uput[dr](1.732,-3){C}
\pscircle(0,0){3.464}
\pspolygon(0,0)(-3,-1.732)(1.732,-3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] 
\psline[linewidth=1.5pt](3,4)(5,4)\uput[d](4,4){2}
\psarc(3,4){4}{-65}{-55}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3,4)(5,0.5359) \rput{-60}(3.75,2.23){4}
\psline[linewidth=1.5pt](5,4)(5,0.5359)\rput{-90}(5.2,2.23){$2\sqrt{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante. 
%
%À l'origine, il y a 75~cl de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5\,\% de son volume par évaporation. 
\begin{enumerate}
\item %On note $u_{n}$ la quantité de liquide, exprimée en cl, présente dans la bouteille au bout de $n$ jours. 
%
%Ainsi, $u_{0} = 75$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$u_{1} = u_{0} - \dfrac{5}{100}u_{0} = \dfrac{95}{100}u_{0} = 0,95 \times 75 = 71,25$.

De m\^eme $u_{2} = 0,95u_{1} = 0,95 \times 71,25 = \np{67,6875}$.  
		\item %Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$.
Quel que soit le naturel $n~u_{n+1} = u_{n} - \dfrac{5}{100}u_{n} = 0,95u_{n}$.

Cette relation montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $u_{0} = 75$.
		
%Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		 
%Vérifier que, pour tout nombre entier $n,{} u_{n} = 75 \times (0,95)^n$.
On sait qu'alors $u_{n} = u_{0}\times 0,95^n = 75 \times  0,95^n$.
		\item %Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième).
On a donc $u_{7} = 75 \times 0,95^7 \approx 52,375$ soit au dixième près 52,4~cl. 
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer le nombre minimum de jours nécessaires pour que la bouteille contienne moins de $25$~cl.

Il faut résoudre l'inéquation à résoudre dans $\N$ :

$u_{n}< 25 \iff 75 \times  0,95^n < 25 \iff 3 \times  0,95^n < 1 \iff 0,95^n < \dfrac{1}{3} \iff $(gr\^ace à la croissance de la fonction logarithme népérien) $  n \ln 0,95 < - \ln 3 \iff $ (changement d'ordre car $\ln 0,95 < 0$, donc son inverse aussi est négatif) $n > \dfrac{- \ln 3}{\ln 0,95}$ et comme $\dfrac{- \ln 3}{\ln 0,95} \approx 21,4$ il faut au moins 22 jours pour que la bouteille contienne moins de $25$~cl.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%
%\[f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\text{e}^{x}.\]
% 
%Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm).
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère. 
\begin{enumerate}
\item  %En observant que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{x}$, déterminer la limite  de la fonction $f$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
\item   %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2 - x) = - \infty$, d'o\`u par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item   %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{x}$.
		$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
		$f'(x) = \dfrac{1}{2}\left[-1\text{e}^{x} + (2 - x)\text{e}^{x}  \right] = \dfrac{1}{2}\left[(1 - x)\text{e}^{x}\right]$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On sait que quel que soit le réel $x,~\dfrac{1}{2}\text{e}^{x} > $, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $(1 - x)$.

$1 - x > 0 \iff 1 > x \iff x < 1$. Donc sur $]- \infty~;~1[, f'(x) > 0$ et la fonction est croissante sur cet intervalle ;

De m\^eme sur $]1~;~+ \infty[$, la fonction est décroissante. 
		\item %Calculer la valeur exacte de $f(1)$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
$f(1) = \dfrac{1}{2}(2 - 1)\text{e}^1 = \dfrac{\text{e}}{2}$ est donc le minimum de la fonction. En ce point la dérivée est nulle donc la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est horizontale.  
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
On a donc le tableau de variations suivants :
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.5,2.5){$-\infty$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(5,2.25){0}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.1,0){$1$}\uput[u](7.5,0){$-\infty$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)  \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[d](5,2){$\frac{\text{e}}{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
		 
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2. 

%Montrer que la droite $\mathcal{T}$ a pour équation $y = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x)$.
Une équation de $\mathcal{T}$ est : $y = f(2) + f'(2)(x - 2)$ ;

$f(2) = \dfrac{1}{2}(2 - 2)\text{e}^2 = 0$ ;

$f'(2) =  \dfrac{1}{2}(1 - 2)\text{e}^{2} = - \dfrac{\text{e}^{2}}{2}$.

Donc l'équation de $\mathcal{T}$ s'écrit :

$y = 0 -  \dfrac{\text{e}^{2}}{2}(x - 2)\iff y = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right)$.
$\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - \dfrac{1}{2}(2 - x)\text{e}^x = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left[\text{e}^2 - \text{e}^x  \right]$.  
		\item %Étudier le signe de $\left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right]$ suivant les valeurs de $x$.
Comme $\dfrac{1}{2} > 0$, il faut étudier le signe du produit $(2 - x)\left[\text{e}^2 - \text{e}^x  \right]$.

On dresse le tableau de signes suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0.5)(9,2.5)
\psframe(0,0.5)(9,2.5) \psline(0,0.5)(9,0.5)\psline(0,1.5)(9,1.5)\psline(0,1)(9,1)\psline(0,2)(9,2)
\psline(3,0.5)(3,2.5)
\uput[u](1.5,2){$x$} \uput[u](3.5,2){$-\infty$} \uput[u](6,2){$2$} \uput[u](8.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1.75){$2 - x$}\rput(4.5,1.75){+}\rput(6,1.75){0}\rput(7.5,1.75){$-$}\rput(1,1.25){$\text{e}^2 - \text{e}^x$}\rput(4.5,1.25){$+$}\rput(6,1.25){0}\rput(7.5,1.25){$-$}
\rput(1,0.75){produit}\rput(4.5,0.75){+}\rput(6,0.75){0} \rput(7.5,0.75){+}
\end{pspicture}
\end{center}

Donc sur $\R$, $\left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right] \geqslant 0$ avec égalité uniquement pour $x = 2$. 
		\item %En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$.
Graphiquement ce résultat signifie que la tangente $\mathcal{T}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ avec un seul point commun (2~;~0).
	\end{enumerate}		 
\item %Tracer la droite $\mathcal{T}$ dans le repère \Oij{} puis, sur le même graphique, la partie de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[- 4~;~3]$. 
Voir à la fin
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par
 
%\[g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)\text{e}^x + \dfrac{1}{2} \text{e}^2 \left(2x - \dfrac{x^2}{2}\right).\]
 
%On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$ sur $\R$.
 
%On admet que, pour tout nombre réel $x,~ g'(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right)$. 

%On note $\mathcal{D}$ le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{T}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$. 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique représentant la droite $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir la figure à la fin 
\item %Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. En donner la valeur arrondie au centième.
On a $f(0) = \dfrac{1}{2}(2 - 0)\text{e}^0 = 1 > 0$ ; donc sur l'intervalle [0~;~2], $f(x) \geqslant 0$  ; l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ est donc égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^2 \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right) \text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2  g'(x) \:\text{d}x = \left[g(x) \right]_{0}^2 = g(2) - g(0) =
 \dfrac{1}{2}(2 - 3)\text{e}^2 + \dfrac{1}{2} \text{e}^2 \left(2 \times 2 - \dfrac{2^2}{2}\right) -
  \left[\dfrac{1}{2}(0 - 3)\text{e}^0 + \dfrac{1}{2} \text{e}^2 \left(2\times 0 - \dfrac{0^2}{2}\right)  \right] = 
- \dfrac{1}{2}\text{e}^2 + \text{e}^2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\text{e}^2}{2}$.

L'unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, donc :

$\mathcal{A} = 4\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\text{e}^2}{2} \right) = 6 + 2\text{e}^2 \approx 20,78$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}

\end{center}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot{0}{2.54}{2.71828 2 exp 2 div 2 x sub mul}\uput[r](2.54,-2){$\mathcal{T}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.372}{0.5 2 x sub mul 2.71828 x exp mul}\uput[u](-2.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{2}{0}{2.71828 2 exp 2 div 2 x sub mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{0.5 2 x sub mul 2.71828 x exp mul}}


\end{pspicture}
\end{document}