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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre 2009~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
%Un sac contient cinq jetons : un bleu noté $B_{1}$ deux rouges notés $R_{1}$ et $R_{2}$, deux verts notés $V_{1}$ et $V_{2}$.
% 
%Lorsqu'on tire un jeton de ce sac, chaque jeton contenu dans le sac a la même probabilité d'être tiré.
%
%Dans tout l'exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante: on tire un jeton du sac, puis un deuxième jeton sans remettre le premier dans le sac.
 
\begin{enumerate}
\item ~ 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à l'aide d'un tableau ou d'un arbre, les 20 résultats possibles de cette expérience.
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{2\up{e} tirage}{1\up{er} tirage}&$B_{1}$&$R_{1}$&$R_{2}$&$V_{1}$&$V_{2}$\\ \hline
$B_{1}$& &$\left(R_{1}~;~B_{1} \right)$ 5&$\left(R_{2}~;~B_{1} \right)$ 5 &$\left(V_{1}~;~B_{1} \right)$ 4&$\left(V_{2}~;~B_{1} \right)$ 4 \\ \hline
$R_{1}$&$\left(B_{1}~;~R_{1} \right)$ 5&&$\left(R_{2}~;~R_{1} \right)$ 4&$\left(V_{1}~;~R_{1} \right)$ 3 &$\left(V_{2}~;~R_{1} \right)$ 3\\ \hline
$R_{2}$&$\left(B_{1}~;~R_{2} \right)$ 5&$\left(R_{1}~;~R_{2} \right)$ 4&&$\left(V_{1}~;~R_{1} \right)$ 3&$\left(V_{2}~;~R_{2} \right)$ 3\\ \hline
$V_{1}$&$\left(B_{1}~;~V_{1} \right)$ 4&$\left(R_{1}~;~V_{1} \right)$ 3&$\left(R_{2}~;~V_{1} \right)$ 3&&$\left(V_{2}~;~V_{1} \right)$ 2\\ \hline
$V_{2}$&$\left(B_{1}~;~V_{2} \right)$ 4&$\left(R_{1}~;~V_{2} \right)$ 3&$\left(R_{2}~;~V_{2} \right)$ 3&$\left(V_{1}~;~V_{2} \right)$ 2&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item %On considère les évènements :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A : \og obtenir deux jetons de couleurs différentes \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] B : \og obtenir au moins un jeton rouge \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] C : A~$\cap$~B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Déterminer la probabilité des évènements A, B et C.
Il y a 4 tirages donnant des jetons de même couleur, donc 16 donnant des jetons de couleurs différentes. Soit $p(\text{A}) = \dfrac{16}{20} = \dfrac{80}{100} = 0,8$.

Il y a 14 tirages contenant au moins un jeton rouge, d'o\`u : $p(\text{B}) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{70}{100} = 0,7$.


Pour l'évènement C il faut compter les tirages donnant un rouge et un jeton de couleur différente : il y en a 12, d'o\`u $p(\text{C}) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{60}{100} = 0,6$.
\end{enumerate}
 
\item %On décide que le jeton bleu vaut 3 points, que les jetons rouges valent chacun 2 points et que les jetons verts valent chacun 1 point.
 
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la somme des points de ces jetons.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
$X \in \{2~;~3~;~4~;~5 \}$ 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
On a le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_{i}$&2&3&4&5\\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{2}{20}$&$\dfrac{8}{20}$&$\dfrac{6}{20}$&$\dfrac{4}{20}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item %Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
E$(X) = 2 \times \dfrac{2}{20} + 3 \times \dfrac{8}{20} + 4 \times \dfrac{6}{20}+ 5\times \dfrac{4}{20} = \dfrac{4 + 24 + 24 + 20}{20} = \dfrac{72}{20} = 3,6$.

Ceci signifie qu'en moyenne sur un grand nombre de tirages on aura 3,6 points. (36 points pour 10 tirages)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 0,5~cm). On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}.$ 
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
%\[z^2 + 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]
$\Delta = \left(4\sqrt{3} \right)^2  - 4 \times 1 \times 16 = 48 - 64 = - 16 = (4\text{i})^2$.

Le discriminant est inférieur à zéro, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{-4\sqrt{3} + 4\text{i}}{2} = - 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad \text{et}~ - 2\sqrt{3} - 2\text{i}.\]
\item  %On considère les points A, B, C, D du plan complexe d'affixes respectives :
 
%\[z_{\text{A}} = 4,~ z_{\text{B}} = 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i},~ z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i},~ z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{A}}$ a pour module 4 et un de ses arguments est $0$.

On a $\left|z_{\text{B}} \right| = 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)$ et $z_{\text{B}}$ étant un imaginaire pur, un de ses arguments est $\dfrac{\pi}{2}$.
\item %Déterminer le module et un argument du nombre $z_{\text{C}}$.
On a $\left|z_{\text{C}} \right|^2  = \left(-2\sqrt{3} \right)^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2$, donc $\left|z_{\text{C}} \right| = 4$.

On peut écrire $z_{\text{C}} = 4 \left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 4\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

Un des arguments de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{5\pi}{6}$.
\item %Placer les points A, B,  C, D sur une figure.
On place D symétrique de C autour de l'axe des abscisses. Voir à la fin.
\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Quelle est la nature du triangle ABC ?
On a AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|^2 = \left|4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i} - 4 \right|^2 = 16\left(\sqrt{3}+ 2\right)^2 + 16 = 16(3 + 4  + 4\sqrt{3}) + 16  = 128 + 64\sqrt{3}$.

AC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|^2 = \left|-2\sqrt{3} + 2\text{i} - 4 \right|^2 = \left(2\sqrt{3} + 4 \right)^2 + 4 = 12 + 16 16\sqrt{3} + 4 = 32 + 16\sqrt{3}$ ;

BC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|^2 = \left|-2\sqrt{3} + 2\text{i} - 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i} \right|^2 = \left|-2\sqrt{3} + \left(- 4\sqrt{3} - 6 \right)\text{i} \right|^2 = \left(-2\sqrt{3} \right)^2 +  \left(4\sqrt{3} + 6  \right)^2 = 12 + 48 + 36  + 48\sqrt{3} = 96 + 48\sqrt{3}$.

On a donc $32 + 16\sqrt{3} + 96 + 48\sqrt{3} = 128 + 64\sqrt{3}$ ou encore  $\text{AC}^2 + \text{BC}^2 = \text{AB}^2$ ce qui montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle  en C.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-4,-4)(7,15)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4,0)(0,14.93)(-3.464,2)(-3.464,-2)
\uput[ur](4,0){A} \uput[r](0,14.93){B} \uput[ul](-3.464,2){C} \uput[dl](-3.464,-2){D}\uput[ul](0,0){O}
\pspolygon[linecolor=blue](4,0)(0,14.93)(-3.464,2)
\pscircle(0,0){4} 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

%Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 5~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée).
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

%\[f(x) = \left(\text{e}^x  - 3\right)^2. \]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On a successivement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty,~ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x - 3 = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\text{e}^x  - 3\right)^2 = + \infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
De même  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x  = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x  - 3 = -3$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^x  - 3\right)^2 = 9$. 
		\item %En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
		Le résultat précédent signifie graphiquement que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 9$ est asymptote à  $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) - 9 = \text{e}^x \left(\text{e}^x - 6\right)$.
On a $f(x) - 9 = \left(\text{e}^x  - 3\right)^2 - 9 =  \left(\text{e}^x  - 3\right)^2 - 3^2 = \left(\text{e}^x - 3 + 3 \right)\left(\text{e}^x - 3  - 3 \right) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 6 \right)$.
		\item %En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f(x) - 9$ est celui de $\text{e}^x - 6$.

Or $\text{e}^x - 6 > 0 \iff \text{e}^x > 6 \iff x > \ln 6$(d'après la croissance de la fonction logarithme népérien).

De même $\text{e}^x - 6 <  0 \iff x < \ln 6$.

Conclusion :

- sur $]- \infty~;~\ln 6[,~f(x) - 9 < 0$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $\mathcal{D}$ ;

- sur $]\ln 6~;~+ \infty[,~f(x) - 9 > 0$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$ ;

- si $x = \ln 6$ la droite et la courbe ont un point commun de coordonnées $(\ln 6~;~9)$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x -3\right)$.
		$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = 2\left(\text{e}^x  - 3\right)\times \text{e}^x = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x -3\right)$. 
		\item %Déterminer le signe de la fonction $f'$ sur $\R$. Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
Le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $\text{e}^x -3$.

Or $\text{e}^x -3 > 0 \iff \text{e}^x > 3 \iff x > \ln 3$ ;

De même $\text{e}^x -3 < 0 \iff \text{e}^x < 3 \iff x < \ln 3$  ;

et $\text{e}^x -3 = 0 \iff \text{e}^x = 3 \iff x = \ln 3$.

On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$\ln 3$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'$} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.4) \psline{->}(5.5,0.4)(7.7,1.5) 
\uput[d](7.5,2){$+ \infty$} \uput[d](2.1,2){$9$}\uput[u](5,0){$0$}
\end{pspicture}

\medskip

\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Tracer, dans le plan $\mathcal{P}$, la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
%\[F(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} - 6\text{e}^x + 9x\]
% est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) =  \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}\times 2 - 6\text{e}^x + 9 = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9 = \left(\text{e}^x - 3 \right)^2 = f(x)$.

Conclusion $F$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$
\item %Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan $\mathcal{P}$ limitée par la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = \ln 2$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur le graphique réalisé à la question 4. de la partie A.
Voir à la fin. 
		\item %Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$.
 
%Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.
On a vu que sur l'intervalle $\left[0~;~\ln 2\right]$, $f(x) < 9$, donc 
l'aire en unité d'aire de la surface hachurée est par définition égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left(9 - f(x) \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left[9 -\left( \text{e}^x - 3 \right)^2\right] \:\text{d}x$.
		\item  %Montrer que $\mathcal{A}$ a pour valeur $\dfrac{9}{2}$.
D'après la question précédente  $\mathcal{A} = \left[9x - F(x)\right]_{0}^{\ln 2} = \left[6\text{e}^x - \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}\right]_{0}^{\ln 2} =$

$ 6\text{e}^{\ln 2} - \dfrac{\text{e}^{2\ln 2}}{2} - 6\text{e}^{0} + \dfrac{\text{e}^{0}}{2}$.
Or $\text{e}^{2\ln 2} = \left(\text{e}^{\ln 2}\right)^2 = 2^2 = 4$, donc :

$\mathcal{A} = 12  - 2 - 6 + \dfrac{1}{2} = 4 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$~(u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-6,9)(6,9)\uput[dl](0,0){O}\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$}
\uput[ul](0,9){9}\uput[u](5.5,9){$\mathcal{D}$}\uput[r](1.5,3){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{1.8169}{2.71828 x exp 3 sub 2 exp}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psline(0,9)(0.693147,9)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.693147}{0}{2.71828 x exp 3 sub 2 exp}
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}