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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL juin 2006~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Pour tout nombre complexe $z$, on note \[P(z) = z^3 - 4z^2 + 8z - 8.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(2).$
$P(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 8 \times 2 - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0$.

$2$ est donc une racine de $P$.
%Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z)$ peut s'écrire sous la forme
%$P(z) =  (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$.

On développe $(z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = z^3 - 2z^2 + 4z - 2z^2 + 4z - 8 = z^3 - 4z^2 + 8z - 8 = P(z)$.

Donc $P(z) = (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$.
\item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

%$z^2 - 2z + 4 = 0$.
$\Delta = (- 2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

$\Delta < 0$, donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
%En déduire les solutions, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, de l'équation $P(z) =0$.
On a $P(z) = 0 \iff (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0 \left\{\begin{array}{l}
z - 2 = 0\\
z^2 - 2z + 4 = 0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution $2$ et on a résolu la seconde équation. Donc :

\[S = \{2~ ;~1 + \text{i}\sqrt{3}~;~1 - \text{i}\sqrt{3}\}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

%On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
%\[a = 2 \qquad 	b = 1 + \text{i}\sqrt{3} \qquad  c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer, sur la copie, les points A, B et C dans le plan complexe.
Voir \`a la fin.
		\item %Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O.
On a $|a| = 2$ = OA, puis $|b|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow |b| = 2$ = OB et comme $c = \overline{b},~|c| = 2$ = OC.

On a OA = OB = OC = 2  : les trois points A, B et C appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O de rayon 2.
		\item %Construire le cercle $\Gamma$.
Voir la figure.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer un argument du nombre complexe $b$. En déduire une mesure de l'angle $\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}})$. Quelle est la nature du triangle OAB ?
On peut écrire $b = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$.

Un argument de $b$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.

Comme $a$ a un argument nul, on en déduit que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}  \right) = \dfrac{\pi}{3}$.

Le triangle OAB est isocèle car OA = OB et comme son angle au sommet mesure $\dfrac{\pi}{3}$ les deux autres angles ont eux aussi pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Conclusion OAB est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[linecolor=red](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)
\uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B}\uput[dr](1,-1.732){C}
\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){2}\uput[dr](2;-30){$\Gamma$}
\psarc{->}(0,0){6mm}{0}{60}\rput(0.4,0.3){$\frac{\pi}{3}$}
\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est \np{1013} hectopascal.

%Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25\,\%  à chaque élévation de 100 m.
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on note $P_{n}$ la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude $100n$, exprimée en mètres. Soit $\left(P_{n}\right)$ la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique. On a alors $P_{0}= \np{1013}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les pressions $P_{1}$ et $P_{2}$, arrondies à l'unité, aux altitudes $100$ et $200$.
$P_{1} = P_{0} - P_{0}\times \dfrac{1,25}{100}\approx \np{100,3} \approx \np{1000}$ ;

$P_{2} = P_{1} - P_{1}\times \dfrac{1,25}{100}\approx \np{100,3} \approx 988$.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$.
$P_{n+1} = P_{n} - P_{n} \times 0,0125 = P_{n}(1 - 0,0125) = \np{0,9875}P_{n}$.

		\item %En déduire la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
La relation précédente signifie que la suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0,9875}, de premier terme $P_{0} = \np{1013}$.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ P_{n} = \np{1013} \times  \np{0,9875}^n$.
On sait qu'alors $P_{n} = P_{0} \times (\np{0,9875})^n = \np{1013} \times (\np{0,9875})^n$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude \np{3200}.
L'altitude \np{3200} correspond \`a $n = 32$. Donc $P_{32} = \np{1013} \times (\np{0,9875})^{n32} \approx 677$~(hPa).
\item %Calculer à partir de quelle altitude, à $100$ m près, la pression atmosphérique devient inférieure à $600$ hectopascal.
Il faut avoir $\np{1013} \times (\np{0,9875})^n < 600 \iff (\np{0,9875})^n < \dfrac{600}{\np{1013}} \iff$

$\ln \left(\np{0,9875}^n\right) < \ln \dfrac{600}{\np{1013}} \iff n \ln (\np{0,9875}) < \ln \dfrac{600}{\np{1013}} \iff n > \dfrac{\ln \dfrac{600}{\np{1013}}}{\ln (\np{0,9875})}$.

La calculatrice donne $\dfrac{\ln \dfrac{600}{\np{1013}}}{\ln (\np{0,9875})} \approx 41,7$.

Donc $n > 41,7 \Rightarrow n \geqslant 42$.

À partir de \np{4200}~m la pression devient inférieure \`a 600 hectoPascal.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par

%\[f(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x}.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0} -\ln x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, il résulte par produit des limites que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Ce résultat signifie graphiquement que l'axe des ordonnées  est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
\item %En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,~f(x)$ est égal à $\dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$, déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+ \infty$.
On peut écrire $f(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$.

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, d'o\`u par somme des limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

%Interpréter graphiquement le résultat.
Ce résultat signifie graphiquement que l'axe des abscisses est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
%Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

%\[f'(x) = \dfrac{- 2+\ln x}{x^2}.\]
La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle 

$f'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{x}\times x - 1 \times (1 - \ln x)}{x^2} = \dfrac{- 1 - 1 + \ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x - 2}{x^2}$.
\item %Étudier le signe de $- 2 + \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

%En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Comme $x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $\ln x - 2$.

Or $\ln x - 2 > 0 \iff \ln x > 2 \iff x > \text{e}^2$ (par croissance de la fonction exponentielle). La fonction est donc croissante sur $]\text{e}^2~;~+ \infty[$.

$\ln x - 2 < 0 \iff \ln x < 2 \iff x < \text{e}^2$ (par croissance de la fonction exponentielle). La fonction est donc décroissante sur $]0~;~\text{e}^2[$.
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
D'o\`u le tableau de variations :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\text{e}^2$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$}\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.4,2){$+ \infty$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
%\uput[d](5,2){$-\frac{3}{2} - \ln 2$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\item %On note I le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.

%Déterminer les coordonnées du point I.
I a une ordonnée nulle. Or $f(x) = 0 \iff \dfrac{1 - \ln x}{x} = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff x = \text{e}$.
Donc I$(\text{e}~;~0)$.
\item %On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.

%Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$.
Une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f(1) + f'(1)(x - 1)$.

$f(1) = \dfrac{1}{1} = 1$ et $f'(1) = \dfrac{\ln 1 - 2}{1^2} = - 2$.

Une équation de $\mathcal{T}$ est donc $y = -2(x - 1) + 1 \iff y = - 2x + 3$.
\item %Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{T}$.

%On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~;~ \vect{\imath}\right)$ et 5~cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
Voir \`a la fin.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
		 
%\[g(x) = (\ln  x)^2.\]

%On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

%Calculer $g'(x)$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle : $g'(x) = 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = 2 \dfrac{\ln x}{x}$.
		\item %En déduire une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		Du résultat précédent on déduit qu'une primitive sur $]0~;~ +\infty[$ de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{2}(\ln  x)^2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer J $= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
J $= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{1 - \ln x}{x} \:\text{d}x= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \left[\dfrac{1}{x}\right]\:\text{d}x - \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \left[\dfrac{\ln x}{x}\right]\:\text{d}x = [\ln x]_{1}^{\text{e}} - \left[\dfrac{1}{2}(\ln  x)^2 \right]_{1}^{\text{e}} = \ln \text{e} - \ln 1 - \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 + \dfrac{1}{2}(\ln 1)^2 = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$~(u. a.)
\item %Interpréter graphiquement l'intégrale J.
On a $f(1) = 1$ et $f(\text{e}) = 0$. La fonction $f$ est donc positive sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$. L'intégrale précédente représente donc l'aire en unité d'aire de la surface limitée par le courbe $\mathcal{C}$, l'axe des des abscisses et les deux droites verticales d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(10,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(10,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](10,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$}
\uput[d](9.5,-0.12){$\mathcal{C}$}\uput[r](2,-0.9){$T$}
\uput[l](0,-0.135){$-1/\text{e}^2$}\uput[u](7.389,0){$\text{e}^2$}
\psline(0.5,2)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed](7.389,0)(7.389,-0.135)(0,-0.135)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.692}{10}{1 x ln sub x div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x ln sub x div}
\psline(2.71828,0)(1,0)}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 