\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de   procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2007~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle :

\[(\text{E}) \quad 	y' - 2y = 0.\]

L'équation est de la forme $y' - ay = 0$, avec $a = 2$.

On sait que les solutions dont définies sur $\R$ par : $f(x) = C\text{e}^{2x}$ où $C$ est une constante réelle quelconque.

On note $f$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $f(0) = 1$ et $g$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $g(0) =2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{2x}$.
		On a $f(0) = 1 \iff C = 1$, donc $f(x) = \text{e}^{2x}$.
		\item %Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
		De même $g(0) = 2 \iff C\text{e}^{2 \times 0} = 2 \iff C = 2$n, d'où $g(x) = 2\text{e}^{2x}$.
	\end{enumerate}
\item  %Sur l'annexe, à rendre avec la copie, figurent les courbes représentatives $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij.

%Soit $\Delta$ la droite d'équation $y =2$. Cette droite coupe respectivement les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ aux points A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la droite $\Delta$ et placer les points A et B.
	Voir la figure à la fin.
		\item %Déterminer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$   tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$   et celui de la droite $\mathcal{T}'$  tangente en B à la courbe $\mathcal{C}'$.
		
$\bullet~~$Tangente en A : l'abscisse de A vérifie $\text{e}^{2x_{\text{A}}} = 2 \iff 2x_{\text{A}} =  \ln 2 \iff x_{\text{A}} = \dfrac{\ln 2}{2}$.

On sait que le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ en A est égal à $f'\left(x_{\text{A}} \right)$.

Or $f'(x) = 2\text{e}^{2x}$, d'où $f'\left(x_{\text{A}} \right) = 2\text{e}^{2x_{\text{A}}} = 2\text{e}^{2 \times \frac{\ln 2}{2}} = 2\text{e}{\ln 2} = 4$.

$\bullet~~$Tangente en B : l'abscisse de B vérifie $2\text{e}^{x_{\text{B}}} = 2 \iff \text{e}^{x_{\text{B}}} = 1 \iff x_{\text{B}} = 0$.

On sait que le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}'$ à $\mathcal{C}'$ en B est égal à $g'\left(x_{\text{B}} \right)$.

Or $g'(x) = 4\text{e}^{2x}$, d'où $g'\left(x_{\text{B}} \right) = 4\text{e}^{2 \times 0} =  4$.
		\item %Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ ?
Les coefficients directeurs des deux tangentes étant égaux, les tangentes  $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

%Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4. Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante:
%
%On tire au hasard une première boule de l'urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l'urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro.
%
%À l'issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2~;~3) est différent du couple (3~;~2)).

\begin{enumerate}
\item  ~%À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, établir la liste des 16 couples possibles.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.5cm,levelsep=4cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{1}\taput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{1}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{3}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{4}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}
\pstree{\TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{1}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{3}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{4}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}
\pstree{\TR{3}\tbput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{1}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{3}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{4}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}
\pstree{\TR{4}\tbput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{1}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{3}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{4}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}	
}
\end{center}
\item  Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur $16$.
	\begin{enumerate}
		\item %On note A l'évènement \og obtenir un couple de nombres pairs \fg.
		
%Montrer que la probabilité de l'évènement A est $\dfrac{4}{16}$.
Les issues favorables de l'évènement $A$ sont (2~;~2), (2~;~4), (4~;~2), (4~;~4), donc $p(A) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\item 	%On note B l'évènement \og obtenir un couple de nombres impairs \fg.

%Calculer la probabilité de l'évènement B.
Les issues favorables de l'évènement $B$ sont (1~;~1), (1~;~3), (3~;~1), (3~;~3), donc $p(B) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\item 	%On note C l'évènement \og obtenir un couple de nombres de parité différente \fg.

%Calculer la probabilité de l'évènement C.
Puisqu'on a listé les couples de même parité, il reste 8 couples de parité différente, d'où $p(C) = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
\end{enumerate}
\item 	%On organise un jeu.

%Un joueur mise 2~\euro{} et réalise ensuite l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si l'évènement A est réalisé, le joueur reçoit 8~\euro{} de l'organisateur du jeu;
%\item[$\bullet~$] Si l'évènement B est réalisé, le joueur reçoit 4~\euro{} de l'organisateur du jeu;
%\item[$\bullet~$] Si l'évènement C est réalisé, le joueur donne 4~\euro{} à l'organisateur du jeu.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
 
%On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.

%Par exemple, s'il obtient le couple (2~;~2), son gain est 6~\euro{}.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
		Les valeurs prises par la variable aléatoire $X$sont 6, 2 et $- 6$.
		\item ~%Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Le tableau de la loi de probabilité est donc :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&6				&2				&$- 6$\\ \hline
$p(X = ~~)$	&$\dfrac{4}{16}$&$\dfrac{4}{16}$&$\dfrac{8}{16}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
Ob a $\text{E}(X) = 6 \times \dfrac{4}{16} + 2 \times \dfrac{4}{16} + (- 6)\times \dfrac{8}{16} = \dfrac{24 + 8 - 48}{16} = - \dfrac{16}{16} = - 1$~(\euro).

Ceci signifie qu'en moyenne sur un grand nombre de parties le joueur perdra 1 euro par partie.
		\item %On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.

%Quelle aurait du être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ?
Avec une mise de $m$ euros le tableau devient : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&$8 - m$				&$4 - m$				&$- 4 - m$\\ \hline
$p(X = ~~)$	&$\dfrac{4}{16}$&$\dfrac{4}{16}$&$\dfrac{8}{16}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance est alors égale à :

$\text{E}(X) = (8 - m) \times \dfrac{4}{16} + (4 - m) \times \dfrac{4}{16} + (- 4 - m)\times \dfrac{8}{16} = \dfrac{32 - 4m + 16 - 4m - 32 - 8m}{16} = \dfrac{16 - 16m}{16}$.

Cette espérance est nulle si $16 - 16m = 0 \iff 16 = 16m \iff 1 = m \iff  m = 1$~\euro.

Pour que le jeu soit équitable il faut que la mise soit de 1~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(2x^2 - 5x +2\right)\text{e}^x.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		Comme $2x^2 - 5x +2 = x^2\left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{5}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x^2} = 0$, il résulte que 
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x^2} = 2$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2\left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right) = + \infty$.
		
		Or on a aussi $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, par produit de limites on a finalement :
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on donne $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \text{e}^x = 0$).
		
$f(x) = 2x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 2\text{e}^x$ : la limite de chaque terme étant nulle par somme de limites on a :
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.		
		
%En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.
Ce dernier résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate}
\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \left(2x^2 - x - 3\right)\text{e}^x$.
		$ f = u \times v$, donc $f'(x) = u'v + uv' = (4x - 5)\text{e}^x + \left(2x^2 - 5x +2\right)\text{e}^x = \text{e}^x\left(4x - 5 + 2x^2 - 5x +2 \right) = \left(2x^2 - x - 3\right)\text{e}^x$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui du trinôme $2x^2 - x - 3$.

$- 1$ est une racine évidente et on a donc $2x^2 - x - 3 = (x + 1)(2x  - 3)$. L'autre racine est donc $\dfrac{3}{2}$.

Ce trinôme est positif sauf entre les racines donc sur l'intervalle $\left]- 1~;~\dfrac{3}{2}\right[$.

Le signe de $f'(x)$ est donc donné par le tableau :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)\psline(0,1)(8,1)\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.5,1){$- \infty$}\uput[u](4,1){$- 1$}\uput[u](6,1){$\frac{3}{2}$}\uput[u](7.5,1){$+ \infty$}
\rput(1,0.5){$f'(x)$}\rput(3,0.5){+} \rput(4,0.5){0}\rput(5,0.5){$-$}\rput(6,0.5){0}\rput(7,0.5){+}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Donner le tableau des variations de la fonction $f$ (préciser la valeur exacte de chaque extremum).
$\bullet~~$$f$ est donc croissante sur $]- \infty~;~- 1[$ de 0 à $f(- 1) = (2 + 5 + 2)\text{e}^{-1} = 9\text{e}^{-1} \approx 3,31$ ;

$\bullet~~$$f$ est décroissante sur $]- 1~;~\frac{3}{2}[$ de $9\text{e}^{-1}$ à $f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(2\times \frac{9}{4} - 5\times \frac{3}{2} + 2\right)\text{e}^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{9}{2} - \frac{15}{2}  + \frac{4}{2}\right)\text{e}^{-\frac{3}{2}} = - \text{e}^{-\frac{3}{2}} \approx - 0,223$ ;

$\bullet~~$$f$ est  croissante sur $]\frac{3}{2}~;~+ \infty[$ de  $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$ à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 2$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3].
L'intervalle [2~;~3] est inclus dans l'intervalle $]\frac{3}{2}~;~+ \infty[$, donc $f$ est strictement croissante de $f(2) = 0$  à $f(3) = 5\text{e}^{3} \approx 100,4$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [2~;~3]$ tel que $f(x) = 2$.
		\item %Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du nombre $\alpha$.
Comme $f(2) = 0$ et $f(2,1) \approx 2,6$, on a $2 < \alpha < 2,1$ ;

$f(2,07) \approx 1,74$ et $f(2,08) \approx 2,02$, on a $2,07 < \alpha < 2,08$.
	\end{enumerate}
\item ~%Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et placer son point A d'abscisse $\alpha$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-5.1)(5.1,5.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000,linecolor=blue]{-5}{5}{x dup mul 2 mul 5 x mul sub 2 add 2.71828 x exp mul}
\psdots(2.08,2)\uput[ur](2.08,2){A}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-5,2)(5,2)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psline(0.5,0)(2,0)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{2}{0.5}{x dup mul 2 mul 5 x mul sub 2 add 2.71828 x exp mul}
}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : calcul d'une intégrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On désigne par $F$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[F(x)= \left(2x^2 - 9x + 11\right)\text{e}^x.\]

%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = (4x - 9)\text{e}^x + \left(2x^2 - 9x + 11\right)\text{e}^x = \text{e}^x\left(4x - 9 +  2x^2 - 9x + 11\right) = \left(2x^2 - 5x + 2 \right)\text{e}^x = f(x)$.

Cette égalité montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item   %Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x$.
D'après la question précédente : I $= \displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{0,5}^2 = F(2) - F(0,5) = \left(2\times 2^2 - 9\times 2 + 11\right)\text{e}^2 - \left(2\times 0,5^2 - 9\times 0,5 + 11\right)\text{e}^{0,5} = \text{e}^2 - 7\text{e}^{0,5} \approx - 4,152$~(unités d'aire).
\item   %Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
On a $f(0,5)  = f(2) = 0$, donc sur l'intervalle [0,5~;~2], la fonction $f$ est négative, donc l'intégrale  est égale à l'opposée de l'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x  = 0,5$ et $x = 2$.

On peut vérifier approximativement ce résultat  sur le graphique. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}


\vspace{2cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(1,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,0)(1,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,0)(1,4)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.695}{2.71828 x 2 mul exp}
\uput[r](0.65,3.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[ur](0.35,2){\red A}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.348}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul}
\uput[l](0.35,3.8){\blue $\mathcal{C}'$}\uput[ul](0,2){\blue B}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,2)(1,2) \uput[u](-2.8,2){$y = 2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}