\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL septembre 2007~\decofourright\\Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
%\vspace{0,3cm}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 
%
%\vspace{0,3cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %On considère la suite arithmétique $\left(\theta_{n}\right)$, de raison $\dfrac{\pi}{2}$ et de premier terme 

%$\theta_{0} = \dfrac{\pi}{4}$. 

%Exprimer $\theta_{n+1}$, en fonction de $\theta_{n}$.
On a par définition d'une  suite arithmétique $\theta_{n+1} = \theta_{n} + \dfrac{\pi}{2}$.
\item  %On considère la suite géométrique $\left(\rho_{n}\right)$ de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $\rho_{0} =  8$.
 
%Exprimer $\rho_{n+1}$ en fonction de $\rho_{n}$.
On a par définition d'une  suite géométrique $\rho_{n+1} = \rho_{n}\times \dfrac{1}{2}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
%On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
 
%On considère les nombres complexes $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$ de modules respectifs $\rho_{0},~\rho_{1},~\cdots,~ \rho_{n}$, et d'arguments respectifs $\theta_{0},~\theta_{1},~\cdots,~ \theta_{n}$. 
%
%On note alors $M_{0},~M_{1},~\cdots,~M_{n}$ les points d'affixes respectives $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$					&0		&1		& 2		& 3 \\ \hline
$\rho_{n}$			&8		&4		&2		&1\\ \hline
$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\theta_{n}$&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{3\pi}{4}$&$\dfrac{5\pi}{4}$&$\dfrac{7\pi}{4}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %En utilisant les résultats du tableau précédent,  placer les points $M_{0},~M_{1},~M_{2}$ et $M_{3}$ sur la copie et tracer la ligne brisée $M_{0}M_{1}M_{2}M_{3}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2)(8,5)
\psdots(8;45)(4;135)(2;225)(1;315)
\uput[ur](8;45){$M_{0}$} \uput[ul](4;135){$M_{1}$} \uput[dl](2;225){$M_{2}$} \uput[dr](1;315){$M_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline(8;45)(4;135)(2;225)(1;315) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle (E) :

%\[ 4y' + 5y = 0\]

%où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.
On a  $4y' + 5y = 0 \iff y' = - \dfrac{5}{4}y$ ; on sait que les solutions s'écrivent $y = C\text{e}^{\dfrac{5}{4}x}$, avec $C \in \R$. 
\item  %On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer alors en utilisant la question 1. que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : 

%\[f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}.\]
On doit avoir :

$\left\{\begin{array}{l}
f(x) = C\text{e}^{- \frac{5}{4}x}\\
f(0) = 2
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l}
f(x) = C\text{e}^{- \frac{5}{4}x}\\
C = 2
\end{array}\right.$

Donc $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}$.
		\item %Calculer $f'(0)$.
On sait puisque $f$ est une solution de l'équation différentielle que 

$f'(x) = - \dfrac{5}{4}f(x) = - \dfrac{5}{4}\times  2\text{e}^{- \frac{5}{4}x} = - \dfrac{5}{2}\text{e}^{- \frac{5}{4}x}$.

Donc $f'(0) =  - \dfrac{5}{2} = - 2,5$.
		\item %Sur l'annexe 1  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0.5~;~ 3]$. Construire,  sur la figure de l'annexe 1 la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
À partir du point A on se déplace de $+ 1$ horizontalement et de $2,5$ verticalement vers le bas pour arriver à un autre point de la tangente. Voir la figure. 
	\end{enumerate}
\item %On note $D$ le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

%Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-2,-7)(7,7)
%\psline{->}(-2,0)(7,0)\uput[d](7,0){$x$}
%\psline{->}(0,-7)(0,7) \uput[l](0,7){$y$}
%\defFunction{tromp}(u,v){u}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
%sin mul}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
%cos mul}
%\psSolid[object=surfaceparametree,
%base=0 2 0 360,function=tromp,linewidth=.5\pslinewidth,ngrid=25,RotZ=137]
%\end{pspicture}
%}
%\hfill \parbox{0.5\linewidth}{
%On note $V$ le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.
%
%Calculer $V$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près). 
%
%On rappelle que $V =  \pi\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$. }
On a donc : $V =  \pi\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x = \pi\displaystyle\int_{0}^2 \left(2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}  \right)^2\:\text{d}x = \pi\displaystyle\int_{0}^2 4\text{e}^{- \frac{5}{2}x}\:\text{d}x = \pi\left[- \frac{2}{5}\times 4  \text{e}^{- \frac{5}{2}x} \right]_{0}^2 $

$= \pi\left[- \frac{8}{5}\text{e}^{- \frac{5}{2}x} \right]_{0}^2 = - \frac{8}{5}\pi\left[\text{e}^{- \frac{5}{2}\times 2} - \text{e}^{- \frac{5}{2}\times 0}  \right] = - \frac{8}{5}\pi\left(\text{e}^{-5} - 1\right) = \frac{8}{5}\pi\left(1 -  \text{e}^{-5}\right) \approx 5,0$~unités de volume à 0,1 près.
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{I.}  %On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[g(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x} = + \infty$, d'o\`u par produit des limites 

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		\item %Calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = 1$.
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 

%Calculer $g'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$ 

%$g'(x)  = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x^2}$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2\dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = 2\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$
\item %Étudier le signe de $g'(x)$, suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
Comme $x^2 > 0$ et $2 > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $1 - \ln x$.

$1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x$ par croissance de la fonction exponentielle.

Donc $g'(x) > 0$ sur l'intervalle $]0~;~\text{e}[$.

De même $g'(x) < 0 \iff x > \text{e}$ : donc $g'(x) < 0$ sur $]\text{e}~;~+ \infty[$.

On a donc un maximum en e  : $g(\text{e}) = 2\dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} + 1 =  1 + \dfrac{2}{\text{e}}$.  
%Donner le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (on indiquera la valeur exacte de $g(\text{e})$.
On en déduit le tableau de variations suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3) 
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\text{e}$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$g'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){0}\rput(6.5,2.25){$-$}
\psline(2.1,2.5)(2.1,0)
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[d](5,2){$1 + \frac{2}{\text{e}}$}\uput[u](2.6,0){$-\infty$} \uput[u](7.8,0){$1$}\rput(1,1){$g(x)$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Le tableau de variations montre que $g(x)$ s'annule une seule fois en $x_{0}$  sur l'intervalle $]- \infty~;~\text{e}[$ 
		\item %Déterminer la valeur du nombre réel $x_{0}$ arrondie au dixième.
La calculatrice donne $g(0,7) \approx -0,02$ et $g(0,8) \approx 0,44$, donc  

$0,7 < x_{0}< 0,8$.
		\item %Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$, suivant les valeurs de $x$.
		De la question précédente et du tableau de variations on en déduit que :
		
		- sur $]0~;~x_{0}[,~g(x) < 0$ ;
		
		- $g\left(x_{0} \right) = 0$ ; 
		
		- sur $]x_{0}~;~+ \infty[,~g(x) > 0$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{II.}  %On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[f(x) = (\ln x)^2  + x. \]
 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. 

%\medskip
%
%Sur l'annexe 2,  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle ]0~;~3]. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\ln x)^2 = + \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$, par somme de limites on conclut que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.		
%Interpréter graphiquement ce résultat.
Graphiquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées (d'équation $x = 0$) est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (\ln x)^2 = + \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ on en déduit par somme de limites que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.		
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
%Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[,~f'(x) = g(x)$.
$f'(x) = 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} + 1 = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1 = g(x)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
On a trouvé dans la première partie le signe de $g(x)$ donc celui de $f'(x)$. On en déduit le tableau de variations de $f$ :
		
\medskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3) 
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$x_{0}$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){0}\rput(6.5,2.25){$+$}
\psline(2.1,2.5)(2.1,0)
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](5,0){$\approx 0,83$}
\uput[d](2.6,2){$+\infty$} \uput[d](7.7,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center} 		 
		\item %Calculer la valeur de $f\left(x_{0}\right)$ arrondie au dixième (on utilisera pour $x_{0}$ la valeur 0,7).
On a $f\left(x_{0}\right) \approx f(0,7) = (\ln 0,7)^2 + 0,7 \approx 0,83$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
Une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f(1) + f'(1)(x - 1)$.

$f(1) = 1$v et $f'(1) = 1$ donc une équation de  $\mathcal{T}$ est $y = 1 + 1(x - 1) = x$ soit $y = x$..
		\item %Étudier la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - x = 2\dfrac{\ln x}{x}$.
		
$d(x)$ est du signe de $\ln x$ donc positive si $x > 1$ et négative si $x < 1$.

Conclusion : la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la tangente $\mathcal{T}$ sur $]0~;~1[$ et au dessus de la tangente $\mathcal{T}$ sur $]1~;~+ \infty[$.
		\item %Construire la droite $\mathcal{T}$ sur la figure de l'annexe 2.
		Voir l'annexe 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(3,4) \uput[dr](0,0){O}

\uput[l](-0.55,3.75){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{-0.553}{3}{2.71828 1.25 x mul neg exp 2 mul}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(3,4)
\psline[linecolor=green](0,2)(1,2)(1,-0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,-0.5)(-0.5,3.25)
\uput[u](0.5,2){+ 1}\uput[r](1,0.75){$-2,5$} 
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(3.2,4) \uput[dr](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(3,4) 
\uput[u](2.8,3.6){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0.14}{2.88}{x ln 2 exp  x add}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,0.5)(1.5,1.5)\uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}