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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL 11 septembre 2012 \decofourright\\Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{On note \emph{i} le nombre complexe de module $1$ et d'argument } $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
%\medskip
%
%On considère les nombres complexes 

\[z_{1} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{2} = 1 - \text{i}.\] 


\begin{enumerate}
\item %Calculer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$.
On a $\left|z_{1} \right|^2 = (- 1)^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2  = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_{1} \right| = 2$.

$z_1 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)$. Donc un argument de $z_1$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

De même $\left|z_{2} \right|^2 = 1^2 + 1^2  = 1 + 1 = 2 = \left(\sqrt{2}\right)^2$, donc $\left|z_{2} \right| = \sqrt{2}$.

$z_{2} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{-\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{4}\right)$. Un argument de $z_2$ est donc $- \dfrac{\pi}{4}$.
\item On donne $Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le module et un argument de $Z$ et en déduire une écriture trigonométrique de $Z$.
$|Z| = \left|\dfrac{z_{1}^2}{z_{2}} \right| =  \dfrac{\left|z_1^2 \right|}{\left|z_2 \right|} = \dfrac{\left|z_1 \right|^2}{\left|z_2 \right|} = \dfrac{2^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

arg $Z = \text{arg}\left(\dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}\right) = \text{arg}\left(z_1^2 \right) - \text{arg}z_2 = 2\text{arg}z_1 - \text{arg}z_2 = \dfrac{4\pi}{3} - \left(\dfrac{-\pi}{4}\right)	 = 	\dfrac{4\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4} =  \dfrac{16\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} =  \dfrac{19\pi}{12}$.

Donc $Z = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{19\pi}{12}}$.
		\item %Donner la forme algébrique de $Z$.
$Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}} = \dfrac{\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)^2}{1 - \text{i}} = \dfrac{1 - 3 - 2\text{i}\sqrt{3}}{1 - \text{i}}  = \dfrac{- 2 - 2\text{i}\sqrt{3}}{1 - \text{i}} = \dfrac{\left(- 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\right)(1 + \text{i})}{(1 - \text{i})(1 + \text{i})} = \dfrac{- 2 + 2\sqrt{3} + \text{i}\left(- 2 - 2\sqrt{3} \right)}{1 + 1} = - 1 +\sqrt{3} + \text{i}\left( - 1 - \sqrt{3} \right)$. 
		\item %En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$ et de $\sin \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$.
		On a $Z = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}} = 2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) + 2\sqrt{2}\text{i}\sin \left(\frac{\pi}{12} \right)  = - 1 +\sqrt{3} + \text{i}\left( - 1 - \sqrt{3} \right)$.
		
En identifiant partie réelles et parties imaginaires, on obtient :
		
$2\sqrt{2}\cos \left(\frac{19\pi}{12}\right) = - 1 +\sqrt{3}$ et $2\sqrt{2}\sin \left(\frac{19\pi}{12} \right) =  - 1 - \sqrt{3}$. Donc finalement : 

$\cos \left(\dfrac{19\pi}{12}\right) = \dfrac{- 1 +\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(- 1 +\sqrt{3} \right)}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}} = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et 

$\sin \left(\dfrac{19\pi}{12}\right)  = \dfrac{- 1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(- 1 - \sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}} = \dfrac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient 100 jetons, bleus, verts ou rouges.
 
15 jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons verts que de jetons bleus.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Un joueur tire au hasard un jeton. On considère les évènements suivants : 

%$A$ : \og Le jeton tiré est rouge \fg{} ; 
%
%$B$ : \og Le jeton tiré est vert ou bleu \fg.
% 
%Montrer que la probabilité de $A$ est de $0,4$. 
%
%En déduire la probabilité de $B$.
S'il y a $15$ jetons bleus, le nombre de jetons verts est $3\times 15 = 45$. Avec $r$ jetons rouges, on a donc :

$15 + 45 + r = 100$, soit $r + 60 = 100$ ou  $r = 40$ jetons rouges.

Donc $p(A) = \dfrac{40}{100} = 0,4$ et $p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0,4 = 0,6$.
\item %Un joueur mise 8~\euro, tire un jeton et reçoit :
 
%5~\euro{} s'il tire un jeton rouge, 9~\euro{} s'il tire un jeton vert et 10~\euro{} s'il tire un jeton bleu.
 
%Le gain du joueur (différence entre sa mise et la somme reçue après tirage) est une variable aléatoire notée $X$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs possibles pour la variable aléatoire $X$ ? 
		$X$ peut prendre les valeurs $5 - 8 = - 3$, \:$9 - 8 = 1$,\: et $10 - 8 = 2$.
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
%\emph{On présentera les résultats dans un tableau}.
Le tableau de la loi de probabilité est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sortie 					&rouge	&vert	&bleu\\ \hline
$X = x_i$				&$- 3$	&1		&2\\ \hline
$p\left(X = x_i\right)$	&0,4	&0,45	&0,15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %Calculer l'espérance du gain d'un joueur.
E$(X) = 0,4\times (- 3) + 0,45 \times 1 + 0,15 \times 2 = - 1,2 + 0,45 + 0,3 = 0,45$.

Cela signifie que sur un grand nombre de parties la perte moyenne par partie est de 45 centimes.
	\end{enumerate} 
\item %On change le montant reçu par le joueur lorsqu'il tire un jeton bleu.
 
%Un joueur reçoit $x$~\euro{} s'il tire un jeton bleu et les autres montants sont inchangés.
 
%Pour quelle valeur de $x$ l' espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ associée est-elle nulle ?
Le nouveau tableau de la loi de probabilité est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sortie 					&rouge	&vert	&bleu\\ \hline
$X = x_i$				&$- 3$	&1		&$x - 8$\\ \hline
$p\left(X = x_i\right)$	&0,4	&0,45	&0,15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  
\end{enumerate}

Et E$(X) = 0,4\times (- 3) + 0,45 + 0,15(x - 8) = 0$ soit $- 1,2   + 0,45  + 0,15x - 1,2 = 0$ puis $0,15x =  1,95$ et $x = \dfrac{1,95}{0,15} = 13$.

Si le joueur reçoit 13~\euro{} pour la sortie d'un jeton bleu, l'espérance mathématique sera nulle.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
%Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 1~cm.
% 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7.\]
 
%La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
% 
%La courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé \Oij, notée $\mathcal{C}_{f}$, est donnée en annexe.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Tracer la droite $D$ d'équation $y = 3x + 7$ sur le même graphique que $\mathcal{C}_{f}$.
Voir à la fin. 
		\item %Montrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $- \infty$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - (3x + 7) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7 - (3x + 7) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x$.

Or on a vu que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x}  = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$ : ceci montre que la droite $D$ d'équation $y = 3x + 7$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moinsl'infini.
		\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite D suivant les valeurs de $x$.
On a vu que :

$d(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7) \right)$.

On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$, donc le signe de $d(x)$ est celui de $\text{e}^x - 7$.

$\bullet~~$$\text{e}^x - 7 = 0 $ si $\text{e}^x = 7$ ou $x = \ln 7$.

$\bullet~~$$\text{e}^x - 7 > 0 $ si $\text{e}^x > 7$ ou $x > \ln 7$.

$\bullet~~$$\text{e}^x - 7 < 0 $ si $\text{e}^x < 7$ ou $x < \ln 7$.

Donc si $x < \ln 7$, \: $d(x) < 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est en dessous de l'asymptote D ; si $x > \ln 7$, \: $d(x) > 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au  dessus de l'asymptote D. Si $x = \ln 7$ la courbe et la droite ont un point commun de coordonnées $(\ln 7~;~3\ln 7 + 7)$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout $x$ réel, $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7 + \dfrac{3x}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x}\right)$.
On a déjà vu plus haut cette factorisation.
		\item %En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3}{\text{e}^x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{7}{\text{e}^x} = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x - 7 + \dfrac{3x}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x} = + \infty$ et par produit de limites  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = + \infty$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \left( 2\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 3\right)$.
Pour tout réel $x$, \: $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3$.

Posons $\text{e}^x = X$ ; alors $f'(x) = f'(X) = 2X^2 - 7X + 3$, trinôme en X du second degré.

$\Delta = 7^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Les solutions sont $X_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3 $ et  $X_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$.

On sait qu'alors $f'(X) = 2\left(X - X_1 \right)\left(X - X_2 \right) = f'(x) = 2\left(\text{e}^x - 3\right)\left(\text{e}^x - \frac{1}{2}\right) = \left(\text{e}^x - 3\right)\left(2\text{e}^x - 1\right)$.
		\item %Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'(x)$. 
$f'(x) = 0$ si $\left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^x - 3&=&0\\
\text{ou}&&\\
2\text{e}^x - 1&=&0
\end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^x &=&3\\
\text{ou}&&\\
\text{e}^x&=&\frac{1}{2}
\end{array}\right.$ et enfin \textbf{$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\ln 3\\
\text{ou}&&\\
x &=&\ln \frac{1}{2} = - \ln 2
\end{array}\right.$}

On peut construire le tableau de signe suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)
\psline(2,0)(2,4) \psline(4,0)(4,3) \psline(6,0)(6,3)
\rput(1,3.5){$x$} \rput(2.5,3.5){$-\infty$} \rput(4,3.5){$- \ln 2$} \rput(6,3.5){$\ln 3$}\rput(7.5,3.5){$+ \infty$} 
\rput(1,2.5){$\text{e}^x - \frac{1}{2}$}
\rput(1,1.5){$\text{e}^x - 3$}\rput(3,2.5){$-$}\rput(5,2.5){$+$}\rput(7,2.5){$+$}
\rput(4,2.5){0}\rput(6,1.5){$0$}\rput(3,1.5){$-$} \rput(5,1.5){$-$} \rput(7,1.5){$+$}
\rput(1,0.5){$f'(x)$}\rput(3,0.5){$+$} \rput(5,0.5){$-$}\rput(7,0.5){$+$}
\rput(4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$0$}  
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Établir le tableau de variations de $f$.
La question précédente donne le signe de la dérivée donc les variations de la fonction.
		
On a $f(- \ln 2) = \left(\text{e}^{- \ln 2}\right)^2 - 7\text{e}^{- \ln 2} - 3\ln 2 + 7 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{7}{2} - 3\ln 2 + 7 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{2} - 3\ln 2 + 7 = \frac{15}{4} - 3\ln 2$.

$f(\ln 3) = \left(\text{e}^{- \ln 3}\right)^2 - 7\text{e}^{\ln 3} + 3\ln 3 + 7 = 3^2 - 7\times 3 + 3\ln 3 + 7 = 3\ln 3 - 5$.		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4)\psline(0,2)(11,2)\psline(0,3)(11,3)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.5,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$- \ln 2$} \uput[u](8,3){$\ln 3$} \uput[u](10.5,3){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$}\rput(3.5,2.5){+} \rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$-$}\rput(8,2.5){0}\rput(9.5,2.5){+} 
\psline{->}(2.5,0.5)(4.25,1.5)\psline{->}(5.75,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](5,2){$\frac{15}{4} - 3\ln 2$}\uput[u](8,0){$3\ln 3 - 5$} \uput[d](10.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}		 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation $f'(x) = 3$. 
$f'(x) = 3$ ou 	$2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3 = 3$ soit $2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x = 0 $ ou $\text{e}^x\left(2\text{e}^x - 7 \right) = 0$.

On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$, donc il reste $2\text{e}^x - 7 = 0$ soit $\text{e}^x = \frac{7}{2}$, d'où $x = \ln \frac{7}{2}$.

Le coefficient directeur de la droite D est égal à 3, donc le nombre dérivé étant le coefficient directeur de la tangente en un point, il existe un seul point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $x = 	\ln \frac{7}{2}$ où la tangente est parallèle à D.
%En déduire l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ où la tangente notée $D'$ est parallèle à la droite $D$. 
		\item %Vérifier que le point A de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, d'abscisse $\ln 7$, est un point de la droite $D$.
	Pour $x = \ln 7$, \: $f(\ln 7) = \text{e}^{2\ln 7} - 7 \text{e}^{\ln 7} + 3\ln 7 + 7 = \left( \text{e}^{\ln 7}\right)^2 - 7 \times 7 +  3\ln 7 + 7 = 7^2 - 49  +  3\ln 7 + 7 =  3\ln 7 + 7$.
	
Or le point de D d'abscisse $\ln 7$ a pour image $3\times \ln 7 + 7 = 3\ln 7 + 7$ soit la même ordonnée. 

\emph{Rem.} On avait déjà vu celà à la question 1. d.
		\item %Dans le repère \Oij, placer les points A et B et tracer $D'$.
Voir à la fin.
	\end{enumerate} 
\item  %On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 7$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
Voit à la fin. 
		\item %Calculer la valeur de l'aire $\mathcal{A}$.
L'aire de la surface comprise entre la droite et la courbe se calcul en intégrant la fonction différence des deux fonctions : $x \longmapsto (3x + 7) - \left(\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7 \right)  = 7\text{e}^x - \text{e}^{2x}$.

Donc :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{\ln 7} \left(7\text{e}^x - \text{e}^{2x} \right)\:\text{d}t = \left[7\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_0^{\ln 7} = 7\text{e}^{\ln 7} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 7} - \left( 7\text{e}^0 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0}\right) = 7 \times 7 - \left(\dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 7}\right)^2 - \left(7 - \dfrac{1}{2}\right) = 49 - \dfrac{49}{2} - 7 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{98 - 49 - 14 + 1}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$~cm$^2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(4,15) 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linestyle=dashed,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-4)(4,15) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.58}{1.985}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 7 mul sub 3 x mul add 7 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.58}{1.985}{3 x mul 7 add}
\psline[linestyle=dashed](1.946,0)(1.946,12.84)(0,12.84)\uput[l](1.946,12.84){A}
\uput[r](1.253,-1.49){B}
\psdots(1.946,12.84)(1.253,-1.49)
\psline(0.253,-4.49)(2.253,1.51)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1.946}{3 x mul 7 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.946}{0}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 7 mul sub 3 x mul add 7 add}
}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}