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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2008~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}} \end{center}
    
%\vspace{0,4cm}
%
% Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 

%\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
On a $\Delta = \left(2\sqrt{3} \right)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 12 - 16 = - 4 = (2\text{i})^2$.

$\Delta < 0$, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = \sqrt{3}  + \text{i}\quad \text{et} \quad \sqrt{3}  - \text{i}.\]
%On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire  est positive et $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
$z_{1} = \sqrt{3}  + \text{i}$, donc $\left|z_{1} \right|^2 = \left(\sqrt{3} \right)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{1} \right| = 2$.

On peut écrire $z_{1} = 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\sin \dfrac{1}{2} \right) = 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{1}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

Comme $z_{2} = \overline{z_{1}}$, on a $\left|z_{2} \right| = 2$ et un argument de $z_{2}$ est égal à $- \dfrac{\pi}{6}$.
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique : $2$~cm).

%On considère les points A, B et C d'affixes respectives

%\[z_{\text{A}}= 2\text{e}^{5\text{i}\frac{\pi}{6}	}\quad 	;\quad 	z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-5\text{i}\frac{\pi}{6}}\quad ; \quad 	z_{\text{C}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$  et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
$z_{\text{A}}= 2\text{e}^{5\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2 \left(\cos \left[\frac{5\pi}{6} \right] + \text{i}\sin \left[\frac{5\pi}{6} \right]\right)  = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = - \sqrt{3} + \text{i} = - z_{2}$.

$z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-5\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2 \left(\cos \left[\frac{-5\pi}{6} \right] + \text{i}\sin \left[\frac{-5\pi}{6} \right] \right) = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac{1}{2}  \right) = - \sqrt{3} - \text{i} = - z_{1}$.

$z_{\text{C}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 4\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 4\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
		\item  %Placer les points A, B et C sur une figure.
		Le point A est sur le cercle de centre O de rayon 2 et sur la droite d'équation $y = 1$, le point B sur le même cercle et sur le droite d'équation $y = - 1$ et le point C sur le cercle centré en O de rayon 4 et sur le droite d'équation $x = 2$. Voir plus bas.
		\item  %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Quelle est la nature du triangle AOC ?
On a AC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}  \right|^2  = \left|2 + 2\text{i}\sqrt{3} - \left(- \sqrt{3} + \text{i} \right)  \right|^2 = \left|2 + 2\text{i}\sqrt{3} + \sqrt{3} - \text{i}   \right|^2 =$

$\left(2 + \sqrt{3} \right)^2 + \left(2\sqrt{3} - 1 \right)^2 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} + 12 + 1 - 4\sqrt{3} = 20$.

On sait d'autre part que OA$^2 = 4$ et que OC$^2	 = 16$.

Donc $20 = 4 + 16 \iff \text{AC}^2 = \text{OA}^2 + \text{OC}^2 \iff $ OAC est un triangle rectangle en O.

\emph{Autre méthode :} On a $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}} \right) = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$ ce qui montre que l'angle $\widehat{\text{AOC}}$ est droit.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psdots(-1.732,1)(-1.732,-1)(2,3.464)
\uput[ul](-1.732,1){A} \uput[dl](-1.732,-1){B}\uput[ur](2,3.464){C}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](-3,1)(3,1)\psline[linestyle=dashed](-3,-1)(3,-1)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4)
\pspolygon(-1.732,1)(0,0)(2,3.464)
\pscircle(0,0){2} \pscircle(0,0){4} 
\end{pspicture}
\end{center}	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Dans cet exercice, l'unité de temps est l'heure et l'unité de température est le degré Celsius.
%
%A l'instant $t =  0$, une tarte  sort d'un four, à la température de 220~\degres. Elle est alors placée dans une salle à 20~\degres.
%
%On désigne par $f(t)$ la température de la tarte à l'instant $t$. On définit ainsi une fonction $f$ dérivable sur
%l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
%On suppose que la vitesse $f'(t)$ de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la température de la tarte et celle de la salle, c'est-à-dire $f(t) - 20$.
%
%On admet donc qu'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que, pour tout nombre réel positif $t$,
% 
%\[f'(t) = \lambda[f(t) - 20].\]

\begin{enumerate}
\item  %On pose : $y(t) = f(t) - 20.$
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $y$ ainsi définie est solution de l'équation différentielle $y' = \lambda y$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[.$
$y$ est définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

De 	$y(t) = f(t) - 20$ on déduit $y'(t) = f'(t)$. D'o\`u en remplaçant dans l'équation différentielle $f(t) - 20 $ par $y(t)$ :

$y'(t) = \lambda y(t)$.	 
		\item %Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[.$
		On sait que les solutions de cette équation s'écrivent $y(t) =  C\text{e}^{\lambda t}$, avec $C \in \R$.
		\item %En déduire que, pour tout nombre réel positif $t,~f (t) = C\text{e}^{\lambda t} + 20$, où $C$ est un nombre réel.
		On a donc $y(t) = f(t) - 20 =  C\text{e}^{\lambda t} \iff f(t) = 20 + C\text{e}^{\lambda t}$ avec $C \in \R$.
		\item %En utilisant la valeur de $f(0)$, déterminer $C$.
$f(0) = 220 \iff 20 + C = 220 \iff C = 200$, d'o\`u l'écriture :

$f(t) = 20 + 200\text{e}^{\lambda t}$.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Au bout d'un quart d'heure (c'est-à-dire pour $t =\frac{1}{4}$), la température de la tarte est égale à 60\degres.
		
%Montrer que, pour tout nombre réel positif $t,~ f(t) = 200\text{e}^{(-4\ln  5)t} + 20$.
On a donc $f\left(\frac{1}{4}\right) = 60 \iff 20 + 200\text{e}^{\lambda \times \frac{1}{4}} = 60 \iff 200\text{e}^{\frac{\lambda}{4}} = 40 \iff 5\text{e}^{\frac{\lambda}{4}} = 1 \iff \text{e}^{\frac{\lambda}{4}} = \dfrac{1}{5} \iff \dfrac{\lambda}{4} = \ln \dfrac{1}{5} \iff \dfrac{\lambda}{4} = - \ln 5 \iff \lambda = - 4\ln 5$.

Finalement la température à l'instant $t$ est donnée par :

$f(t) = 200\text{e}^{(-4\ln  5)t} + 20$.
		\item  %Déterminer la température de la tarte au bout d'une demi-heure.
Une demi-heure correspond à un temps de $\dfrac{1}{2}$, d'o\`u :

$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 20 + 200\text{e}^{(-4\ln  5)\times \dfrac{1}{2}} = 20  + 200\text{e}^{(-2\ln  5)} = 20 + \dfrac{200}{\text{e}^{(2\ln  5)}}  = 20 + \dfrac{200}{\text{e}^{\left(\ln  5^2\right)}} = 20 + \dfrac{200}{25} = 20 + 8 = 28$(~\degres).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%\[f(x) = \text{e}^{2x} - 10 \text{e}^x + 16.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{}(unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + 16$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x - 8\right)$.
Développons $\left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x - 8\right) = \text{e}^x{2x} - 8\text{e}^x - 2\text{e}^x + 16 = \text{e}^{2x} - 10 \text{e}^x + 16 = f(x)$.
		\item 	%En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x - 2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x - 8 = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x, ~f'(x) =  2 \text{e}^x \left(\text{e}^x -5\right)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et :

$f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 10 \text{e}^x = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 5 \right)$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de 
$\text{e}^x - 5$.

Or $\text{e}^x - 5 > 0 \iff \text{e}^x   > 5 \iff x > \ln 5$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) ; la fonction est croissante sur $]\ln 5~;~+ \infty[$ ;

De même  $\text{e}^x - 5 < 0 \iff \text{e}^x   < 5 \iff x < \ln 5$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) ; la fonction est décroissante sur $]- \infty~;~\ln 5[$
	\end{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au dixième.

\medskip
		
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-3$&$-2$	&$-1$	&0	&1		&2		&2,2\\ \hline
$f(x)$	&15,5&14,61	&2,5	&7	&$-3,8$	&$-3,3$	&7,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$ est le nombre dérivé $f'(0) = 2\text{e}^{2\times 0} - 10 \text{e}^0 = 2 - 10 = - 8$.
		\item %Construire la droite $\mathcal{T}$ puis, sur le même graphique, la partie de la courbe correspondant aux valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[-3~;~2,2]$.
Voir à la fin.
		\item %Compléter le graphique précédent en traçant la droite d'équation $y = 16$. On mettra en évidence le point B  d'abscisse $\ln 5$, ainsi que la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(\ln 2)$. Indiquer, sans justification, le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$.
$f(\ln 2) = \text{e}^{2\ln 2} - 10\text{e}^{\ln 2} + 16 = \text{e}^{\ln 2^2} - 10\text{e}^{\ln 2} + 16 = 4 - 20 + 16 = 0$.

Puisque $f$ s'annule en $x = \ln 2$ et que $f$ est décroissante sur $[0~;~\ln 2]$ on peut en déduire que sur cet intervalle $f(x) \geqslant 0$.
		\item %On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et  la droite d'équation $x = \ln 2$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$).
		On vient de voir que sur $[0~;~\ln 2],~f(x) \geqslant 0$, donc l'aire, en unité d'aire du domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et  la droite d'équation $x = \ln 2$ est égale à l'intégrale :
		
$\displaystyle\lim_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\lim_{0}^{\ln 2} \left(\text{e}^{2x} - 10 \text{e}^x + 16 \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{\text{e}^{2x}}{2} - 10\text{e}^x + 16 x  \right]_{0}^{\ln 2} = \dfrac{\text{e}^{2\ln 2}}{2} - 10\text{e}^{\ln 2} + 16 \ln 2 - \left(\dfrac{\text{e}^{2\times 0}}{2} - 10\text{e}^0 + 16 \times 0 \right) = \dfrac{\text{e}^{\ln 2^2}}{2} - 10 \times 2 + 16\ln 2 - \left(\dfrac{1}{2} - 10\right) = 2 - 20 + 16\ln 2 - \dfrac{1}{2} + 10 = 16\ln 2  -\dfrac{17}{2}$~(u. a.) 

Une unité d'aire est égale à $2 \times 0,5 = 1$~cm$^2$, donc $\mathcal{D} = 16\ln 2  - \dfrac{17}{2}$~(cm$^2$).
		\item %Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième par défaut.
On a $\mathcal{D} \approx 2,59$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-10)(3,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-10)(3,16)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-10)(2.5,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linestyle=<->]{-1}{1}{7 8 x mul sub}\uput[dl](0.69,0){$\ln 2$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](-0.7,13){$\mathcal{T}$}\uput[u](-2.5,15.3){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ur](0,7){A}\uput[d](1.60944,-9){B}\uput[u](1.60944,0){$\ln 5$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.693147}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 10 mul sub 16 add}
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\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2.2}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 10 mul sub 16 add}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1.60944,0)(1.60944,-9)(0,-9)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}