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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\newcommand{\E}{\mathbb{E}}% espérance d'une loi de probabilité 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\[5pt]Métropole 10 septembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\smallskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des boîtes de Petri destinées à des laboratoires d'analyses microbiologiques.

Dans cet exercice, on étudie la qualité de la production de ces boîtes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise affirme que la probabilité qu'une boîte ait un défaut est égale à 0,03. On prélève au hasard $100$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$ boîtes, associe le nombre de boîtes présentant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.

La loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,03$.

 $X$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p= \np{0.03}$ puisque il y a répétition de cent tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit la boîte a un défaut avec une probabilité  $p=0,03$  soit la boîte n'a pas de défaut  de probabilité $q=1-p=0,97$.
 
 Par conséquent, $p(X=k)=\binom{100}{k}(\np{0.03})^k(\np{0.97})^{100-k}$.

\item Déterminons la probabilité de l'évènement $A$ : \og Le prélèvement contient exactement 4 boîtes ayant un défaut\fg{} c'est-à-dire $p(X = 4)$ 

$p(X=4)=\binom{100}{4}(\np{0.03})^{96}(\np{0.97})^{96}\approx \np{0.17}$
 
\item  Déterminons la probabilité de l'évènement $B$ : \og Le prélèvement contient au plus 3 boîtes ayant un défaut \fg.

L'évènement B  est composé des évènements élémentaires suivant :  \og Le prélèvement contient exactement 0 boîte ayant un défaut\fg,  \og Le prélèvement contient exactement 1 boîte ayant un défaut\fg,  \og Le prélèvement contient exactement 2 boîtes ayant un défaut\fg,  \og Le prélèvement contient exactement 3 boîtes ayant un défaut\fg.

$P(B)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$. 

$P(B)=\np{0.04755}+\np{0.14707}+\np{0.22515}+\np{0.22747}=\np{0.64724}$

La probabilité de l'évènement $B$ : \og Le prélèvement contient au plus 3 boîtes ayant un défaut \fg est à $10^{-2}$ près \np{0.65}.

{\footnotesize \emph{Remarque :} Certaines calculatrices donnent directement $P(0\leqslant X \leqslant 3)=\np{0.647}$}
\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à une boîte de Petri prélevée au hasard, associe son diamètre en millimètre.
 
Le service qualité de l'entreprise estime que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance \mbox{\textmu $= 89,7$} et d'écart type \textsigma ~ $= 0,20$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la probabilité $P(89,3 \leqslant Y \leqslant 90,1)$.

 À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $P(\np{89.3}\leqslant Y\leqslant \np{90.1})\approx \np{0.95}$.

\emph{Remarque :}{\footnotesize{} Nous pouvions remarquer que \textmu $-2$ \textsigma $= \np{89.7}-2\times \np{0.20}=\np{89.3}$, \textmu $+ 2$ \textsigma $=\np{89.7}+2\times \np{0.20}=\np{90.1}$ \\
 $P(\text{\textmu}-2\text{\textsigma} \leqslant X \leqslant \text{\textmu}+2\text{\textsigma})\approx \np{0.95}$}
\item Déterminons la probabilité qu'une boîte de Petri ait un diamètre supérieur ou égal à $89,9$~mm. $P(Y\geqslant 89,9)\approx\np{0.16}$.

{\footnotesize\emph{Remarque : } \textmu $+$\textsigma = \np{89.7}+\np{0.2}=\np{89.9}. $P(X\leqslant \text{\textmu} -\text{\textsigma})=P(X\geqslant \text{\textmu}+\text{\textsigma})=\dfrac{1}{2}\left(1-P(\text{\textmu} -\text{\textsigma}\leqslant X \leqslant \text{\textmu}  +\text{\textsigma}\right)=\dfrac{1}{2}(1-\np{0.683})=\np{0.1585}$}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
La machine de production a été réglée dans le but que 3\,\% au maximum des boîtes de Petri soient non conformes. On prélève un échantillon de $200$ boîtes de Petri et on constate que parmi celles-ci, 9 sont non conformes.
 
Suite à ce constat, doit-on accepter le réglage de cette machine ? Pour ce faire, déterminons un intervalle de fluctuation.
L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon
de taille $n$, lorsque la proportion $p$ dans la population est connue est :

\[\left[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p)}{n}} ~;~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\] 

\[I=\left[\np{0.03} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03})}{100}} ~;~ \np{0.03} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03} )}{100}}\right]=[-\np{0.004}~;~ \np{0.063}]\]

La fréquence obtenue est : $\dfrac{9}{200}=\np{0.045}$. Appartenant à l'intervalle de fluctuation, il n'y a pas lieu de remettre en cause le réglage de cette machine.

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}  

\medskip
 
Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques destinés à fonctionner de manière continue. On a étudié la durée de vie, en jour, de ces composants.

La variable aléatoire $D$ associée à cette durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre 

$\lambda = \np{0,0005}$.

On rappelle que $P(D \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, on précisera si elle est vraie ou fausse en justifiant de manière claire et concise la réponse donnée.

\textbf{Affirmation 1 }: L'espérance de cette loi est égale à \np{2000}. 

\textbf{\large Vraie} car $\E(D)=\dfrac{1}{\np{0.0005}}=\np{2000}$. 

\textbf{Affirmation 2 }: La probabilité qu'un composant de ce type tombe en panne après les $500$ premiers jours est environ $0,221$.

\textbf{\large Fausse} car $P(D\geqslant 500)= 1- P(D\leqslant 500)= 1-\left(1- \e^{-\np{0.0005}\times 500}\right)\approx \np{0.779}.$

\textbf{Affirmation 3 }: L'entreprise souhaite qu'au maximum 10\,\% des composants tombent en panne au cours de la période de garantie. Cette période de garantie doit être d'environ $210$ jours.

\textbf{\large Vraie} Cherchons $t$ tel que $P(D<\np{0.1})$. 

$1-\e^{-\np{0.0005}t}<\np{0.1}\quad \e^{-\np{0.0005}t}>\np{0.9}\quad -\np{0.0005}t>\np{0.9}\quad t< \dfrac{\ln  \np{0.9}}{ -\np{0.0005}}$ or $ \dfrac{\ln  \np{0.9}}{ -\np{0.0005}}\approx 210,7$

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip


Dans un laboratoire d'industrie laitière, on cultive une population de bactéries qui compte initialement \np{60000}~individus. On étudie l'évolution du nombre de bactéries en fonction du temps.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On émet l'hypothèse que la population augmente de 18\,\% toutes les heures et on modélise l'évolution de cette population par une suite $\left(u_n\right)$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de bactéries de la population étudiée après $n$ heures. On a alors $u_0 = \np{60000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

À un taux d'évolution de 0,18 correspond un coefficient multiplicateur de 1+0,18 soit 1,18.

 $u_1= u_0\times 1,18 =\np{60000}\times \np{1.18}=\np{70800}$ et $u_2=\np{70800}\times \np{1.18}=\np{83544}$.
\item  $u_{n+1}=\np{1.18}\times u_n$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.18} et de premier terme \np{60000}.
\item Exprimons alors $u_n$ en fonction de $n$.
Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$.

$u_n=\np{60000}\times \left(\np{1.18}\right)^n$.

\item  $u_6 =\np{60000}\times \left(\np{1.18}\right)^6\approx \np{161973}$, à l'unité près.

Cette valeur correspond au nombre de bactéries  de la population étudiée après six heures.
  %et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On souhaite déterminer à partir de combien d'heures la population de bactéries dépassera \np{200000}~individus. Pour cela, on utilise un algorithme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Complétons l'algorithme de sorte qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre d'heures cherché.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|c X|}\hline
\blue 1&$N \gets 0$\\
\blue 2&$U \gets \np{60000}$\\
\blue 3&Tant que $U < \textcolor{violet}{\np{200000}}$ :\\
\blue 4&\hspace{0.3cm}|$N \gets N + 1$\\
\blue 5&\hspace{0.3cm}|$U \gets \textcolor{violet}{ \np{1.18}U}$\\
\blue 6& Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminons le nombre d'heures à partir duquel la population de bactéries dépassera \np{200000}.

Exécutons l'algorithme. 
			
		\smallskip
	{\footnotesize	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$N$& 0 &1& 2& 3& 4 &5& 6&7&8&9\\\hline
 $P$ &\np{60000}&\np{70800}&\np{83544}&\np{98582}&\np{116327}&\np{137265}&\np{161973}&\np{191128}&\np{225532}&\\\hline
 $P<\np{200000}$&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Faux&\\\hline
\end{tabularx}
}
\smallskip

Par conséquent au bout de huit heures, le nombre de bactéries  dépassera les \np{200000}~individus.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}  

\medskip

Des scientifiques étudient la croissance d'une plante vivace d'une variété donnée. Pour cela, ils ont relevé tous les mois la hauteur de plants témoins, mesurant tous $12$~cm au début de l'expérimentation.

Dans le tableau ci-dessous, $h$ désigne la hauteur moyenne des plants, exprimée en centimètre, au bout de $t$ mois.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (exprimé en mois)			& 0 	&1 		&2 	&3 	&4 		&5 		&6\\ \hline
$h_i$ (exprimé en centimètre)	& 12 	&16,6 	&20 &22 &23,1 	&23,6 	&23,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $M_i\left(t_i~;~h_i\right)$ correspondant au tableau ci-dessus a été construit sur l'annexe.
\item L'utilisation d'un ajustement affine du nuage de points  ne semble pas  pertinente. Les points ne semblent pas suivre une direction donnée.
\item On pose $y_i = \ln \left(\dfrac{24}{h_i} - 1\right)$.

Nous avons complété la troisième ligne du tableau donné en annexe  en arrondissant les valeurs à $0,001$ près.
\item  On nomme $\mathcal{D}$ la droite d'ajustement de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

L'équation réduite de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = at + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. En utilisant la calculatrice, nous obtenons $a=-\np{0.804}$ et $b=-\np{0.005}$ à $0,001$ près.
\item  On admet que $h(t)  = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8t}}$.

Estimons, au centimètre près, la hauteur du plant au bout de $10$ mois.
Remplaçons $t$ par 10. $h(10)= \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8\times 10}}\approx \np{23.99}$.

Une estimation de la hauteur du plant au bout de dix mois serait de \np[cm]{24}.

{\footnotesize \emph{Remarque :} Dans le cas où $h=24$, nous aurions alors $y= \ln 0$ ce qui est impossible.}

\item  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8x}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on admet que:

\[g'(x) = \dfrac{19,2\text{e}^{-0,8x}}{\left(1 + \text{e}^{-0,8x}\right)^2}.\]

Étudions les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

Pour tout $x\in [0~;~+\infty[,\  g'(x)>0$ comme quotient de nombres réels strictement positifs.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[0~;~+\infty[, \: g'(x)>0$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

		\item Déterminons la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.

 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(g(x)) = 24$ puisque  $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\e^{-0,8x}\right)= 1 + \lim_{x \to + \infty}\left(\e^{-0,8x}\right)=1$.
		
Graphiquement, la droite d'équation $y=24$ est  asymptote à la courbe au voisinage de $+\infty$.		
\item La taille de la plante  ne pourra jamais atteindre \np[cm]{25} puisque la fonction est croissante et majorée par 24.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4, question 1}

\medskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.75)(8.5,14.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10]{->}(0,0)(0,0)(8.5,14.5)
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\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=blue,dotangle=45](0,2)(1,6.6)(2,10)(3,12)(4,13.1)(5,13.6)(6,13.8)

\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4, question 3}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&0 	&1 		&2 	&3 	&4 		&5 		&6\\ \hline
$h_i$&12 	&16,6 	&20 &22 &23,1 	&23,6 	&23,8\\ \hline
$y_i$&	0	&	$-\np{0.808}$	&$-\np{1.609}$	&$-\np{2.398}$	&$-\np{3.245}$		&$-\np{4.078}$		&$-\np{4.779}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}