% \begin{filecontents*}{donneesbacstl}
% 7 0.71
% 10 0.78
% 25 1.09
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% 100 2.78
% \end{filecontents*}
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% %-----------------------------
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\definecolor{orange}{cmyk}{0,0.61,0.87,0}
%Pour une numérotation en gras à la française: a. et pas: (a)
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u}\,,\vect{v}\,\right)$}
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\pagestyle{fancy}
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exods}[2]{% Titre-bareme
  \addtocounter{exercice}{1}
  \vspace{1em} \par \noindent
  \raisebox{-0.7ex}{\bf Exercice \no \arabic{exercice}  #1}
  \hrulefill \raisebox{-0.7ex}{\, (\, \textit{#2 points} \, )}
  \par \vspace{0.5em}
}
\theoremstyle{definition}\newtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{plain}\newtheorem{prop}{Propriété}
\theoremstyle{plain}\newtheorem{theo}{Th\'{e}or\`{e}me}
\theoremstyle{remark}\newtheorem*{rem}{Remarque}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%\maketitle
\pagestyle{fancy}
%\lfoot{\url{http://prof.pantaloni.free.fr}}
%
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S.T.L. Biochimie, génie biologique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small juin 2008}
\begin{center}
{\Large Corrigé du baccalauréat STL Biochimie, génie biologique\\[4pt] Métropole  juin 2008 ---}\\[2ex]
Durée de l'épreuve: 2h --- Coefficient:~2
\end{center}
\exods{}{10}
L'invertase est un enzyme de la muqueuse de l'intestin grêle qui
catalyse l'hydrolyse du saccharose alimentaire en glucose et
fructose. Ceci se fait suivant la réaction :
\[\text{saccharose}+\text{eau}\longleftrightarrow
\text{glucose}+\text{fructose}\]
Une série de cinétiques enzymatiques a été réalisée avec des
conditions physico-chimiques identiques (pH,
température,\dots{}). Pour chaque concentration initiale en saccharose
$S_i$, on a mesuré la vitesse initiale $V_i$ de la réaction.
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
\text{Rang de la mesure} &1&2&3&4&5&6\\ \hline
S_i\ (\text{mol.dm}^{-3})&1 \times 10^{-2} & 2\times 10^{-2}& 3\times
10^{-2}& 4\times 10^{-2}& 10\times 10^{-2}& 15 \times 10^{-2}\\ \hline
V_i\ (\mu_i.\text{mol.mn}^{-1})& 0,36&0,6 &0,8 &0,92 &1,28 &1,41\\  \hline
\end{array}
\]
On pose: $X_i=\dfrac{1}{S_i}$ et $Y_i=\dfrac{1}{V_i}$.
\begin{enumerate}
\item En gras les valeurs complétées du tableau pour obtenir le nuage de points.
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
\text{Rang de la mesure} &1&2&3&4&5&6\\ \hline
X_i& \mathbf{100} & \mathbf{50}& 33 &\mathbf{25}&\mathbf{10}&7 \\ \hline
Y_i&2,78 & \mathbf{1,67} &\mathbf{1,25} &1,09 &\mathbf{0,78} &\mathbf{0,71}\\  \hline
\end{array}
\]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=9cm]{nuagedepts}  
%\end{center}
\begin{center} 
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(11,12)
%papier millimetré
\psgrid[subgriddiv=5,%10,%10 pour pap milli
  	gridlabels=0,%
  	gridwidth=1pt,%
  	gridcolor=orange,
    subgridwidth=0.1pt,%
    subgridcolor=orange](11,12)
 %fin papier millimetré
%-------
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.7pt,griddots=2,subgriddiv=0](0,0)(11,12)
\psaxes[Dx=10,dx=1,Dy=0.25,dy=1]{->}(0,0)(11,12)
\rput(3.45,5.82){$G$}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=4cm,dotsize=0.2,linewidth=0.7pt}
\psdot[dotstyle=o](37.5,1.38) %[dotstyle=o] %G
\psdot[dotstyle=+](37.5,1.38) %[dotstyle=o] %G
\psdot[dotstyle=+](7,0.71)
\psdot[dotstyle=+](10,0.78)
\psdot[dotstyle=+](25,1.09)
\psdot[dotstyle=+](33,1.25)
\psdot[dotstyle=+](50,1.6667)
\psdot[dotstyle=+](100,2.78)
\rput(107,-0.1){$x$}
\rput(-4,2.9){$y$}
\rput(75,2.3){$d$}
	\psplot[linestyle=dashed]{0}{107}{0.0223 x mul 0.54 add} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\item Les coordonnées $(x_G;y_G)$ du point moyen $G$ sont:
  \begin{align*}
    x_G=&\frac{100+50+33+25+10+7}{6}=\frac{225}{6}=37,5\\
    y_G=&\frac{2,78+1,67+1,25+1,09+0,78+0,71}{6}=\frac{8,28}{6}=1,38
  \end{align*}
Ainsi $G$ a pour coordonnées: $G(37,5\,;1,38)$.
\item %3
	\begin{enumerate}
		\item La droite $d$ cherchée a une équation réduite de la forme:
\mbox{$y=mx+p$} avec~:\\  \mbox{$m=2,23 \times 10^{-2}$}. De plus $G$ appartient
à~$d$ donc ses coordonnées vérifient 
    
$y_G=mx_G+p$. On en déduit~$p$:
\begin{align*}
% y_G&=mx_G+p\quad\text{donc:}\\
p&=y_G-mx_G\\
&=1,38-2,23 \times 10^{-2} \times 37,5\\
&\approx 0,54.
\end{align*}
	\item La droite $d$ est tracée sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item %4
   \begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{S}=\frac{1}{20 \times10^{-2}}=5 $
		\item Pour estimer $V$ on utilise la droite~$d$. Le point
     d'abscisse $x=5$ a pour ordonnée~$\frac{1}{V}$ où:
\begin{align*}
\frac{1}{V}&=m \times 5+p\\
&= 2,23 \times 10^{-2}\times
5+0,54\quad\text{donc:}\\
V&=\frac{1}{2,23 \times 10^{-2}\times 5+0,54}\\
&\approx 1,53
\end{align*}
   \end{enumerate}
\item %5 
  L'équation de $d$ nous donne la relation:
\[ \frac{1}{V}= 2,23 \times 10^{-2}\times
       \frac{1}{S}+0,54\]
La formule donnée dans l'énoncé nous donne une relation affine de la même forme:
\[\frac{1}{V}=\frac{K}{V_{max}} \times \frac{1}{S}+\frac{1}{V_{max}}\]
	\begin{enumerate}
		\item En identifiant les ordonnées à l'origine, on obtient
$\frac{1}{V_{max}}=0,54$ et donc $V_{max}=\frac{1}{0,54}$ D'où: $V_{max}\approx 1,85$
		\item En identifiant les coefficients directeurs, on obtient
$\frac{K}{V_{max}}=2,23 \times 10^{-2}$. On en déduit~$K$:
\begin{align*}
    K&=V_{max} \times 2,23 \times 10^{-2}\\
 K   &\approx 1,85\times 2,23 \times 10^{-2}\\
K    &\approx 0,041
  \end{align*}
 % Ainsi $K\approx 0,041$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%##################################################
\exods{}{10}
\noindent\textbf{Partie A.}%\medskip\\
\[f(x)=4-\frac{1}{x+2}\qquad g(x)=(x-1)\e^{-x}+4\qquad
h(x)=3+\ln(x+1)\qquad i(x)=-\e^{-x}+4\]

\begin{enumerate}
\item Dérivons ces fonctions.
  \begin{itemize}
  \item[$\bullet \ $Calcul de $f'(x)$:] On a la formule $(1/v)'=-v'/v^2$ avec
    $v(x)=x+2$ et donc $v'(x)=1$ on obtient: 
\[ f'(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\]
\item[$\bullet \ $Calcul de $g'(x)$:] On a la formule $(\e^u)'=u'\e^u$. Posons
  $v(x)=\e^{-x}$. Avec $u(x)=-x$ on en déduit que $v'(x)=-\e^{-x}$. De plus $g(x)$ est un produit, or
  $(uv)'=u'v+uv'$. Avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\e^{-x}$, on obtient:
\[g'(x)=1 \times \e^{-x}+(x-1) \times (-\e^{-x})=\e^{-x}(1-(x-1))=(-x+2)\e^{-x}\]
\item[$\bullet \ $Calcul de $h'(x)$:] On a la formule $(\ln(u))'=u'/u$. Avec
  $u(x)=x+1$ on en déduit que:
\[h'(x)=\frac{1}{x+1}\]
\item[$\bullet \ $Calcul de $i'(x)$:] On a vu que si $v(x)=\e^{-x}$, alors
  $v'(x)=-\e^{-x}$, d'où $i'(x)=\e^{-x}$.
  \end{itemize}
Finalement:
\[\boxed{f'(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\qquad g'(x)=(-x+2)\e^{-x}\qquad
h'(x)=\frac{1}{x+1}\qquad i'(x)=\e^{-x}}\]

On remplit ainsi la dernière colonne  du
  tableau. \ding{172}: $f'(0)=\frac{1}{2^2}=0,25$. \ding{174}: $h'(0)=\frac{1}{0+1}=1$
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
\text{Fonction} &\text{Valeur en 0}&\text{Limite en}\
+\infty&\text{Nombre dérivé en 0}\\ \hline
f&3,5&4\phantom{x}&\hspace{\stretch{2}}0,25\hspace{\stretch{1}}(^*)\text{\ding{172}}\\ \hline
g&3&\hspace{\stretch{2}}4\hspace{\stretch{1}}(^*)\text{\ding{173}}&2\\ \hline
h&0&+\infty&\hspace{\stretch{2}}1\hspace{\stretch{1}}(^*)\text{\ding{174}} \\\hline
i&4&\hspace{\stretch{2}}4\hspace{\stretch{1}}(^*)\text{\ding{175}}&1 \\\hline
\end{array}
\]
Il reste à étudier les limites:

\ding{173}:
$g(x)=x\e^{-x}-\e^{-x}+4=\frac{x}{\e^x}-\frac{1}{\e^x}+4$. Or on sait
que la limite en~$+\infty$ de $\e^x$ et de $\frac{\e^x}{x}$ est
$+\infty$ (par croissance comparée pour cette dernière). Ainsi leurs
inverses  tendent
vers~0 en~$+\infty$. Donc: 
\[\lim\limits_{ x \to +\infty } g(x)=\lim\limits_{ x \to +\infty
}\frac{x}{\e^x}-\lim\limits_{ x \to +\infty
}\frac{1}{\e^x}+4=0+0+4=4\]
\ding{175}: $i(x)=-\frac{1}{\e^x}+4$ et, on a déja vu que: $\lim\limits_{ x \to +\infty
}\frac{1}{\e^x}=0$, d'où le résultat.
\item Traduisons les données pour la fonction~$F$ dont on a la courbe~$\mathscr{C}$:
\begin{dinglist}{43}

\item Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ appartient à  $\mathscr{C}$: $\boxed{F(0)=3}$
\item  la droite $\Delta$ d'équation $y = 4$ est asymptote à
    $\mathscr{C}$: $\boxed{\lim\limits_{ x \to +\infty}F(x)=4}$
  \item La droite $(AB)$ où $B$ est le point de coordonnées $(1 ; 5)$
    est tangente à~$\mathscr{C}$ en~$A$:\\
 Le coefficient directeur de  $(AB)$ est $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-3}{1-0}=2$. On veut
    donc $\boxed{F'(0)=2}$
  \end{dinglist}
La fonction $g$ vérifie ces trois conditions, et c'est la seule parmi
les quatre proposées.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a trouvé $g'(x)=(-x+2)\e^{-x}$. Or $\e^X$ est strictement
  positif quel que soit le réel~$X$, donc $g'(x)$ est du signe de
  $(-x+2)$, soit positif sur $\left]-\infty~;~2\right]$, nul en 2 et
  négatif sur $\left[2~;~+\infty\right[$. 
\item On en déduit les variations de $g$ sur~$\mathbb{R}^+$:
\begin{center}
    \begin{variations}
      x       &\phantom{-}0&   &  2  &   &\pI\\
      \filet
      g'(x)   &   & + &  0  & - &   \\
      \filet
      \m{g(x)}&\phantom{-}3&\c &\h{4+\e^{-2}}&\d &4\\
    \end{variations}
  \end{center}
\end{enumerate}
\end{document}