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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Génie biologique~\decofourright
\\[4pt]juin 2012}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Une association de consommateurs réalise une enquête auprès d'une population à risque de 800 personnes pour tester l'efficacité d'un traitement sur l'obésité. Voici les informations qu'elle recueille  :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $500$ personnes ont suivi le traitement ;
\item [$\bullet$] $530$ personnes sont obèses et parmi celles-ci, 350 ont suivi le traitement.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item   Complétons le tableau suivant 
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Personnes obèses		&Personnes non obèses 	&Total\\\hline
Personnes  ayant suivi 
le traitement		&350					&150					&500\\\hline
Personnes n'ayant pas
 suivi le traitement&180					&120					&300\\\hline
Total				&530					&270					&800\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

 Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés \textbf{sous forme décimale exacte.}
\item On choisit au hasard une personne parmi les 800 dans la population à risque.
 L'univers est l'ensemble des  800 personnes d'une population à risque et la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. Pour un évènement $A$ : \[p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons  la probabilité de l'évènement $A$ : \og la personne est obèse\fg . Il y a 530 personnes obèses. Par conséquent 

\[p(A)=\dfrac{530}{800}=\np{0.6625}.\]

\item Calculons la probabilité de l'évènement $B$ : \og la personne a suivi le traitement\fg . Il y a 500 personnes qui ont suivi le traitement donc \[p(B) = \dfrac{500}{800} =\np{0.625}\]
\end{enumerate}
\item On considère les évènements suivants : 

$A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A\cap\overline{B}$; $\overline{A} \cap \overline{B}$ où $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont les évènements contraires 
respectifs de A et B. 

Donnons une définition de chacun de ces évènements  puis calculons leur probabilité. 

\begin{description}
\item[$A\cap B$]  est l'évènement :\og la personne est obèse et a suivi le traitement\fg{}.

\[ p(A \cap B)= \dfrac{350}{800}=\np{0.4375}.\]

\item[$A \cup B$]  est l'évènement :\og la personne est obèse ou a suivi le traitement\fg{}.

\[ p(A \cup B)= p(A)+p(B)-p(A \cap B)=\np{0.6625}+\np{0.625}-\np{0.4375}=\np{0.85}.\]

\item[$A\cap\overline{B}$] est l'évènement :\og la personne est obèse et n'a pas suivi le traitement\fg{}.

\[ p\left(A \cap \overline{B}\right) = \dfrac{180}{800} = \np{0.225}.\]

\item[$\overline{A}\cap\overline{B}$] est l'évènement :\og la personne n'est pas  obèse et n'a pas suivi le traitement\fg{}.

\[ p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = \dfrac{120}{800}=\np{0.15}.\]
\end{description}

{\emph{\footnotesize  Remarque $\overline{A}\cap\overline{B}$ est le complémentaire de $A \cup B$; $p\left(\overline{A} \cap\overline{B}\right) = 1 - p(A \cup B) = 1 - \np{0.85} = \np{0.15}$}}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On choisit au hasard une personne ayant suivi le traitement, calculons la probabilité $p_1$ de l'évènement : 

\og la personne est obèse\fg.
 
\[p_1=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{\np{0.4375}}{\np{0.625}}=\np{0.7}.\]

		\item	On choisit au hasard une personne n'ayant pas suivi le traitement, calculons la probabilité $p_2$ de l'évènement: \og la personne est obèse\fg.
		 
\[p_2=\dfrac{p\left(A\cap \overline{B}\right)}{p\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{\np{0.225}}{\np{0.375}}=\np{0.6}.\]

\item L'efficacité de ce traitement est très faible  puisque $p_1$ et $p_2$ sont proches.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

{\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}}

 \medskip
 
Partie A: Questionnaire à choix multiples 

\medskip

Sur {\textbf{la feuille annexe}}, dans le plan rapporté à un repère, on donne la courbe ($\mathcal{C}$) 
représentative d'une fonction $f$ définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $\mathopen{[}0~;~+\infty \mathclose{[}$. On sait que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points A $\mathopen{(}100~;~17,6 \mathclose{)}$ et B (75~;~15). 
\item[$\bullet$]La droite (d) est la tangente à cette courbe au point A. 
\item[$\bullet$]La courbe ($\mathcal{C}$) admet la droite d'équation $y = 18$ pour asymptote. 
\end{itemize}

% \begin{center}
% \framebox{
% \begin{minipage}{0.7\linewidth}
% Pour chaque proposition, une seule des réponses est exacte. 

% Aucune justification n'est demandée. 

% Chaque bonne réponse rapporte 1 point, une erreur ou l'absence 
% de réponse n'enlève ni ne rapporte de point. 

% \textbf{Vous écrirez sur votre copie le numéro de la proposition et la 
% lettre correspondant à votre réponse.} 
% \end{minipage}
% }
% \end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ vérifie : 

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{p{3.5 cm} p{3.5 cm} p{5cm}}  
\textbf{a.~~} \ovalbox{$f(100) = 17,6$}  &\textbf{b.~~} \cancel{$f (17,6) = 100$} &\textbf{c.~~} \cancel{$f(15)=75$} . \\ 
\end{tabular}
\end{center}
La courbe ($\mathcal{C}$) passe par le point A $\mathopen{(}100~;~17,6 \mathclose{)}$ 

\item La fonction dérivée $f^\prime$ de $f$ vérifie : 

\begin{center} 
\begin{tabular}{p{3.5 cm} p{3.5 cm} p{5cm}}  
\textbf{a.~~} \cancel{$f'(50)<0$ }&\textbf{b.~~} \ovalbox{$f'(50) >0 $} &\textbf{c.~~} \cancel{signe de $f'(50)$ inconnu }\\ 
\end{tabular}
\end{center}

$f$ est définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $\mathopen{[}0~;~+\infty \mathclose{[}$ par conséquent pour tout $x\ f^\prime(x)>0$.

\item La droite (d) a une équation de la forme $y = mt + 14,3$. 

Son coefficient directeur $m$ est égal à : 
\begin{center}
\begin{tabular}{p{3.5 cm} p{3.5 cm} p{5cm}}  
\textbf{a.~~} \cancel{$30,3$ } &\textbf{b.~~} \cancel{ $-3,2$ } &\textbf{c.~~} \ovalbox{$0,033$} \\ 
\end{tabular}
\end{center}
$m=\frac{\np{17.6}-\np{14.3}}{100-0}$
\item La fonction $f$ vérifie : 
\begin{center}
\begin{tabular}{p{3.5 cm} p{3.5 cm} p{5cm}} 
\textbf{a.~~} \cancel{$\displaystyle \lim _{t\to +\infty}f(t) = +\infty$ } &\textbf{b.~~} \cancel{$\displaystyle \lim _{t\to 18}f(t) = +\infty$}  &\textbf{c.~~}\ovalbox{$\displaystyle \lim _{t\to +\infty}f(t) = 18$ } \\ 
\end{tabular}
\end{center}
La courbe ($\mathcal{C}$) admet la droite d'équation $y = 18$ pour asymptote.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = \dfrac{18}{ 1 + 170\text{e}^{-0,09t}}$ .
	 
On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t)=18$. Car $\displaystyle \lim _{t\to +\infty}170\text{e}^{-0,09t} = 0,\quad  \lim _{t\to +\infty} 1+ 170\text{e}^{-0,09t}=1 $ et 
$\displaystyle \lim _{t\to +\infty}\dfrac{18}{1} = 18$. Il en résulte que la courbe ($\mathcal{C}$) admet la droite d'équation $y = 18$ pour asymptote. 
\item %$f^\prime$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
Pour tout nombre $t$ positif, déterminons la fonction dérivée de $f$. \[f^\prime (t) = 18 \times \dfrac{-170\times (-0.09)\text{e}^{-0,09t}}{(1+170\text{e}^{-0,09t})^2}=
\dfrac{275,4 \text{e}^{-0,09t}}{(1+170\text{e}^{-0,09t})^2}\]
 
\item $f^\prime (t)>0 $ pour tout  $t\in [0~;~+ \infty[$ comme somme, produit et quotient de nombres strictement positifs.

Si pour tout $x\in I,\: f'(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $t \in [0~;~+ \infty[,\ f' (t) > 0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
\item $f(0)=\dfrac{18}{ 1 + 170\text{e}^{-0,09\times 0}}=\dfrac{18}{171}\approx\np{0.1}$. 
\item Dressons le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}  \uput[u](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.25,0.91){$\tfrac{18}{171}$}\uput[d](7.72,2.05){$18$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.4,1.75)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  $f'(100)=\dfrac{\np{275.4}\text{e}^{-0.09\times 100}}{ 1 + 170\text{e}^{- 0,09\times100}}= \dfrac{\np{275.4}\text{e}^{-9}}{ 1 + 170\text{e}^{-9}}\approx\np{0.0336}$.
 
 Ce nombre correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 100  à la courbe représentative de $f$, $(\mathcal{C})$ . 
 
{\emph{\small Nous retrouvons bien la réponse à la question 3 du QCM.}} 
\end{enumerate}

\medskip

Partie C: {\textbf{Application.}} 

%\begin{multicols}{2}
{\small On admet que:
% \begin{flushright}
% \includegraphics[scale=0.5]{tribolium}%}
% \end{flushright}
% \end{multicols}
% \vspace{-0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$, définie dans la partie B, modélise le nombre d'insectes d'une 
population de tribolions bruns de la farine (ou tribolium confusum) étudiée, pendant 200 jours, dans une petite quantité de farine. Cet insecte altère la qualité de la farine et la fait notamment tourner au gris lorsqu'il 
s'y trouve en assez grand nombre. 
\item[$\bullet$]  La variable $t$ représente le nombre de jours de l'étude et $f(t)$ le nombre de 
ces insectes {\textbf{exprimé en centaines}}. 
\item[$\bullet$]  La courbe représentative de cette fonction est celle donnée en annexe. 
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item Déterminons la population initiale ($t=0$). Nous avons calculé à la question précédente $f(0)$ Donc à l'instant initial, il y avait environ 10 tribolions

Déterminons  la population finale ($t=200$) de ces insectes.  Calculons $f(200)$.
 
$f(200)=\dfrac{18}{ 1 + 170\text{e}^{-0,09\times200}}=\dfrac{18}{1 + 170\text{e}^{-18}}\approx \np{17.99}$. 
 
Au bout de 200 jours, la population s'élevait à environ \np{1800} tribolions.
\item  La farine a visiblement tourné au gris dès le 75\up{e} jour. 
Calculons $f(75)$. 

$f(75)=\dfrac{18}{ 1 + 170\text{e}^{-0,09\times 75}}=\dfrac{18}{1 + 170\text{e}^{-\np{6.75}}}\approx\np{15.01}$

Au bout de 75 jours, la population s'élevait à environ \np{1500} tribolions.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons, le jour à partir duquel la population de tribolions bruns avait atteint les 900 individus. 
Pour ce faire, résolvons $f(t)=9$
\begin{align*}
\dfrac{18}{1 + 170\text{e}^{-0,09t}}&=9\\
18&=9(1 + 170\text{e}^{-0,09t})\\
 2&=1 + 170\text{e}^{-0,09t}\\
 1&= 170\text{e}^{-0,09t}\\
 \text{e}^{0,09t}&=170\\
 \ln(\text{e}^{0,09t})&=\ln 170\\
\np{0.09}t&=\ln 170\\
 t&=\dfrac{\ln 170}{\np{0.09}}\\
 t&\approx 57,06
\end{align*}
À partir du 57\up{e} jour, la population de tribolions bruns a atteint les 900 individus.
		\item Vérification graphique, voir annexe 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

{\textbf{\large{ANNEXE} à rendre avec la copie}}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-12.5,-2)(212.5,24)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=4,xunit=25,yunit=2](0,0)(8.375,12.5)
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\uput[u](190,16.95){$\mathcal{(C)}$}\uput[u](29,15.3){(d)}\psdot[dotstyle=BoldMul,dotscale=1.5](75,15)\uput[dr](75,15){B}
\psdot[dotstyle=BoldMul,dotscale=1.5](100,17.630)\uput[ur](100,17.630){A}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\rput(213,-0.5){$t$}\rput(-3.125,24.5){$y$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt](0,9)(57.06,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt](57.06,9)(57,0)
\rput(57.06,-0.5){$57$}
\rput(-5,9){$9$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}