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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{8 septembre 2023}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Nouvelle-Calédonie -- 8 septembre 2023}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats\hfill 2 points \\[7pt]\phantom{exercice1communxxxxxx}(physique-chimie et mathématiques)}

\medskip

\textbf{Étude mathématique de la concentration}

\medskip

Par la suite, on note $C$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ modélisant la concentration de peroxodisulfate $C(t)$ (exprimée en mol· L$^{-1}$) en fonction du temps $t$ (exprimé en seconde).

Pour une évolution de la concentration donnée par une relation d'ordre 1, les données physiques de l'expérience conduisent à résoudre l'équation différentielle $(E)$ :
\[y' = - \np{0,0085}y.\]

\begin{enumerate}[start=6]
\item Déterminons la fonction $C$, solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant $C(0) = \np{0,0042}$.

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  

$y(x)=\lambda\e^{-ax}$ où $\lambda$ est une constante quelconque.

$a=\np{0.0085}$  par conséquent sur $[0~;~+\infty[$ $C(t)=\lambda\e^{-\np{0.0085}t}$ 
 où $\lambda$ est une constante quelconque.

Déterminons $\lambda$ sachant que $C(0)=\np{0.0042}$
\begin{align*}
C(0)=\lambda\e^{-\np{0.0085}t}&=\np{0.0042}\\
\lambda\e^{-\np{0.0085}\times 0}&=\np{0.0042}\\
\lambda \e^0&=\np{0.0042}\\
\lambda&=\np{0.0042}\\
\end{align*}

La fonction $C$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $C(t)=\np{0.0042}\e^{-\np{0.0085}t}$

\item Résolvons l'équation 
\[C(t) = \np{0,00021}\]
\begin{align*}
\np{0.0042}\e^{-\np{0.0085}t}&=\np{0.00021}\\
\e^{-\np{0.0085}t}&=\dfrac{\np{0.00021}}{\np{0.0042}}\\
\e^{-\np{0.0085}t}&=\dfrac{1}{20}\\
-\np{0.0085}t&=-\ln(20)\\
t&=\dfrac{\ln(20)}{\np{0.0085}}\\
t&=\dfrac{\np{10000}\times\ln(20)}{\np{85}}\\
\end{align*}

$t\approx \np{352.439}$

Une valeur approchée à la seconde près de la durée nécessaire pour que la concentration résiduelle en peroxodisulfate, correspondant à une oxydation de $95\,\%$ du réactif limitant, soit égale à \np{0,00021} mol.L$^{-1}$ est $\np[s]{352}$ .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \e^{-x} + 0,5x - 3\]
dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée dans le repère orthonormé du plan ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-3.1)(8.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-3)(8.5,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,labelFontSize=\scripstyle]{-3}{8.5}{0.5 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\psplotTangent{-1.293}{4}{0.5 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\psplotTangent{0}{4}{0.5 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-1.293,0){\small A}\uput[ul](6,0){\small B}\uput[ur](0,-2){\small D}
\uput[d](8.3,0){$x$} \uput[r](0,4.25){$y$}\uput[r](-2.1,4){\red $\mathcal{C}_f$}
\psdots(-1.293,0)(6,0)(0,-2)
\end{pspicture*}
\end{center}

Les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses sont nommés A et B.

L'abscisse de A est négative et celle de B est positive.

Le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées est nommé D.

Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ en A et D sont représentées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons la limite de $f$  en $+\infty$.
\[\ds \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\e^{-x}+\lim_{x\to +\infty} 0,5x-3=0+(+\infty)=+\infty.\]

\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

Déterminons $f'(0)$ par lecture graphique.

Prenons deux points appartenant à cette droite et calculons son coefficient directeur 

Par exemple $M\ (-2~;~-1)$ et $N\ (2~;~-3)$  le coefficient directeur de $(MN)$ est  : 
\[\dfrac{-3+1}{2+2}=-\dfrac{1}{2}\ \text{d'où }\ f'(0)=-\dfrac{1}{2}\].

\item Calculons $f'(x)$
\[f'(x)=-\e^{-x}+\np{0.5}\] 

et vérifions par le calcul le résultat obtenu à la question 2

\[f'(0)=-\e^0+\np{0.5}=-1+\np{0.5}=-\np{0.5}.\]
Nous obtenons bien le même résultat.

\item Étudions  les variations de $f$ sur $\R$.

Étudions le signe de $f'(x)$. Pour cela résolvons $-\e^{-x}+\dfrac{1}{2}>0$

\begin{align*}
-\e^{-x}+\dfrac{1}{2}&>0\\
-\e^{-x}&>-\dfrac{1}{2}\\
\e^{-x}&<\dfrac{1}{2}\\
-x<-\ln 2\\
x>\ln 2
\end{align*}

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$.

Sur $]-\infty~;~\ln 2[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]\ln 2~;~+\infty[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

Dressons le tableau de variations :

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(12,3)
\psline(0,1.5)(12,1.5)\psline(0,2.5)(12,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[ur](3.35,2.5){$-\infty$}\uput[u](11.6,2.5){$+\infty$}\uput[u](7.8,2.5){$\ln 2$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](7.8,1.5)(7.8,2.5)
\uput[u](7.8,1.75){$0$} 
\uput[u](5.7,1.75){$-$}
\uput[u](10.2,1.75){$+$}
%\psline{->}(4,0.5)(8.2,1.25)
\psline{->}(4,1.25)(7.1,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(11,1.25)
\uput[dl](4.2,1.5){\small $+\infty$} \uput[u](8,0.15) {\small $\dfrac{\ln 2-5}{2}$}
\uput[d](11.5,1.5){$+\infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
$f(\ln 2) =\e^{-\ln 2}+\frac{\ln 2}{2}-3=-\frac{1}2+\frac{\ln 2}{2}-3=\frac{\ln 2-5}{2}\approx -\np{2.15}$

\item On considère le programme Python suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
from math import exp\\
def abscisse():\\
\quad $x=-1.5$\\
\quad while exp$(-x)+0.5*x-3 > 0:$\\
\quad \quad $x = x + 0.01$\\
\quad return $x$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

L'exécution de l'instruction {\ttfamily abscisse()} renvoie la valeur $-1,29$ à $10^{-2}$ près.

Cette valeur dans le contexte de l'exercice est l'abscisse de A.

\item Reproduisons et modifions  le programme Python précédent pour que l'exécution de l'instruction {\ttfamily abscisse()} renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'abscisse du point~B.
En rouge, les modifications.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
from math import exp\\
def abscisse():\\
\quad \textcolor{red}{$x=5.5$}\\
\quad while exp$(-x)+0.5*x-3 \textcolor{red}{<} 0:$\\
\quad \quad $x = x + 0.01$\\
\quad return $x$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}