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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Physique de laboratoire et de procédés industriels}}
\rfoot{\small{Métropole juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2005~\decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le joueur perd quand il reçoit 1 ou 2 euros. Il y a $4 + 3 = 7$ tirages où il perd sur  10 tirages possibles  équiprobables donc: 
$p_{1} = \dfrac{7}{10} = 0,7$.
 
Le joueur gagne quand il reçoit 5 (2 tirages) ou 10 euros (1 tirage).
 
Donc $p_{2} = \dfrac{3}{10} = 0,3$. 

On a bien $p_{1} + p_{2} = 1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On peut rajouter une ligne « gain », au tableau de l'énoncé, dont les nombres sont obtenus en retirant la mise de 4 euros dans chaque cas.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre inscrit &1& 2& 5& 100\\ \hline 
Nombre de boules&4&3&2&1\\ \hline 
Gain en euros&$- 3$ &$-2$& $1$& 6 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est: $\{- 3,~- 2,~1,~6\}$. 
		\item  À l'aide du tableau précédent, on obtient: 
$p(X = - 3) = \dfrac{4}{10} = 0,4$ ;

$  p(X = - 2) = \dfrac{3}{10} = 0,3 \quad  p(X = 1) = \dfrac{2}{10} = 0,2 \quad ; p(X = 6) = \dfrac{1}{10} = 0,1$. 
 
Le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donc :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Valeurs de X : $x_{i}$& $-J$& $-2$& 1 &6\\ \hline 
$p_{i} = P\left(\text{X} = x_{i}\right)$& 0,4 &0,3& 0,2 &0,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item L'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est alors :  
		
E(X) = $\displaystyle\sum p_{i} \times  x_{i} = -3 \times 0,4 - 2 \times 0,3 + 1 \times 0,2 + 6\times 0,1 = -1,2 - 0,6 + 0,2 +  0,6 = - 1$.
		
Ceci signifie qu'en moyenne on perdra 1 euro par partie.  
	\end{enumerate}
\item On change le nombre inscrit sur une seule boule portant le nombre 1. On note $x$ ce nombre. Le tableau du 2. a. s'écrit alors : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre inscrit 	&$x$		&1		&2		&5	&10\\ \hline 
Nombre de boules&1			&3		&3		&2	&1\\ \hline 
Gain en euros	&$x - 4$	&$-3$	&$- 2$	&1	&6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
La loi de probabilité de la variable aléatoire X devient:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeurs de X : $x_{i}$& $x-4$ &$- 3$& $-2$& 1& 6\\ \hline 
$p_{i} = P\left(\text{X} = x_{i}\right)$& 0,1& 0,3& 0,3& 0,2& 0,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
L'espérance mathématique de X devient: 
E(X) = $\displaystyle\sum p_{i} \times  x_{i} =$

$0,1(x-4) + (-3)(0,3) + (-2)(0,3) + (1)(0,2) + (6)(0,1) =$

$0,1x - 0,4 - 0,9 - 0,6 + 0,2 + 0,6 = 0,1x - 1,1$.
 
Donc E(X) $= 0 \iff   0,1x - 1,1 = 0  \iff  0,1x = 1,1 \iff  x = 11$.

Conclusion : Le jeu est équitable si la boule porte le nombre 11.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $z \in \C$,
		 
$(z + 2)\left(az^2 + bz + c\right) = z^3 - 2z^2 + 16 \iff $
 
$az^3 + bz^2 + cz + 2az^2 + 2bz + 2c = z^3 - 2z^2 + 16 \iff$,

$az^3 + (2a + b )z^2 + (2b + c)z + 2c = z^3 - 2z^2 + 16.$
 
Dans C,  deux polynômes égaux pour tout $z$ ont les mêmes coefficients pour les termes de même degré, d'où :
 
$a = 1,~  2a + b = - 2,~2b + c = 0$ et $2c = 16$.
 
On en déduit $a = 1,~c = 8$  puis  $2 + b = - 2 \iff b = - 4$ et $-8 + 8 = 0$. 

Conclusion : quel que soit $z \in \C,\infty  P(z) = (z + 2)\left(z^2 - 4z + 8\right)$.
		\item $P(z) = 0 \iff  (z + 2)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0 \iff \left\{
\begin{array}{l}
z + 2 = 0\\
z^2 - 4z + 8
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution $- 2$.

Pour la seconde 
$\Delta = 16 - 32 = 16 = (4\text{i})^2$. Le discriminant étant négatif, l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[ \dfrac{4 + 4\text{i}}{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et}~~2 - 2\text{i}\]

Finalement l'équation a trois solutions : $- 2,~2 + 2\text{i},~2 - 2\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 2^2 + 2^2 = 8 = \left(2\sqrt{2}\right)^2$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = 2\sqrt{2}$.
		
On peut donc écrire : $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)$ (écriture trigonométrique) et finalement $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{ \frac{\pi}{4}}$ (écriture exponentielle).

On sait que $z_{\text{A}} = \overline{z_{\text{B}}} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} - \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \text{i}\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}$.
		\item Les points A et B se placent facilement. Voir plus bas.
		\item On a $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = 2 \sqrt{2} = \left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA}$. le triangle OAB est isocèle en O.
		
D'autre part : $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}} \right) = \frac{\pi}{4} - \left(- \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$. Le triangle OAB est donc rectangle isocèle en O.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La transformation T est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
		\item On sait que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		
Avec $z_{\text{A}'}$ affixe du point A$'$, on a : 

$z_{\text{A}'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times 2\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{3} -  \frac{\pi}{4}\right)} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{12}\right)} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{\pi}{12} \right)$.

On a également :

$z_{\text{A}'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z_{\text{A}} = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)(2 - 2\text{i}) = 1 - \text{i} + \text{i}\sqrt{3}  + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3}  + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1 \right)$
		\item En identifiant les deux écritures précédentes on obtient :
		
\[\left\{\begin{array}{l}
\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\
\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1 }{2\sqrt{2}}\\
\end{array}\right.\]		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }  \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}(x + 1)^2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, d'o\`u par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item En développant :
		
$f(x) = \left(x^2 + 2x + 1 \right)\text{e}^{- x} = x^2\text{e}^{- x} + 2x\text{e}^{- x}b + \text{e}^{- x} = x^2\text{e}^{- x}\left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 1$ et l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n \text{e}^{-n} = 0$ (avec $n$ naturel), d'o\`u par produit de limites :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Graphiquement de résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En reprenant l'énoncé et en appliquant la formule de la dérivée d'un produit, on obtient :
		
$f'(x) = 2(x + 1)\text{e}^{-x} - (x + 1)^2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(2x + 2 - x^2 - 2x - 1 \right) = \left(1 - x^2 \right)\text{e}^{-x}$.
		\item Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $1 - x^2 = (1 + x)(1 - x)$ négatif sauf entre ses racines $- 1$ et $1$. Le signe de la dérivée induit les variations de $f$ :
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$-1$} \uput[u](8,2.5){$1$} \uput[u](10.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$} \rput(8,2.25){$0$} \rput(9.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.7,0.5)\psline{->}(5.3,0.5)(7.7,1.5)\psline{->}(8.3,1.5)(10.7,0.5) \uput[d](2.4,2){$+\infty$}\uput[u](10.9,0){$0$}
\uput[u](5,0){$0$}\uput[d](8,2){$4\text{e}^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}
\item Une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f(0) + (x - 0)f'(0)$ donc ici $y = 1 + x\times 1 \iff y = x + 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - (x + 1) =$
		
$(x + 1)^2\text{e}^{x} - (x + 1) = \dfrac{(x + 1)^2}{\text{e}^x} - \dfrac{(x + 1)\text{e}^x}{\text{e}^x} = \dfrac{(x + 1)\left[(x + 1) - \text{e}^x \right]}{\text{e}^x} =$

$(x + 1)\text{e}^{-x}\left(x + 1 - \text{e}^x \right)$, soit en posant $g(x) = x + 1 - \text{e}^x$,

$f(x) - (x + 1) = (x + 1)\text{e}^{-x}g(x)$.
		\item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = 1 - \text{e}^x$.
		
On a $g'(x) = 0 \iff 1 - \text{e}^x = 0 \iff 1 =  \text{e}^x$ soit par croissance de la fonction ln : $\ln 1 = \ln\left(\text{e}^x \right) \iff 0 = x$.

De même  $g'(x) > 0 \iff 1 - \text{e}^x > 0 \iff 1 >  \text{e}^x$ soit par croissance de la fonction ln : $\ln 1 > \ln\left(\text{e}^x \right) \iff 0 > x$.

Enfin $g'(x) < 0 \iff x > 0$.
		\item Des résultats précédents résultent les variations de $g$, avec 
		
$g(0) = 0 + 1 - 1 = 0$ :
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,3)(2,0)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} 
\rput(1,2.25){$g'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\psline{->}(2.5,0.4)(4.6,1.7) \psline{->}(5.4,1.7)(7.5,0.4)
\rput(1,1){$g(x)$}\uput[d](5,2){$0$}
\end{pspicture} 
\end{center}
		\item De ce tableau résulte que pour tout $x \in \R,~g(x) \leqslant 0$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$, quel que soit $x$, il résulte que le signe de $[f(x) - (x + 1)]$ est l'opposé du signe de $(x + 1)$, soit :
		
-- si $x < - 1,~f(x) - (x + 1) > 0 \iff f(x) > x + 1$, ce qui graphiquement signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{T}$ ;

-- si $x > - 1,~f(x) - (x + 1) < 0 \iff f(x) < x + 1$, ce qui graphiquement signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $\mathcal{T}$.
 	\end{enumerate}
\item Tableau de valeurs :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$&$-1$	&$-0,5$	&0&0,5	&1		&2		&3		&4		&6\\ \hline
$f(x)$	&7,39&0		&0,41	&1&1,36	&1,47	&1,22	&0,80	&0,46	&0,12
\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Figure à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$, il suffit de montrer que, pour tout réel $x$,~$F'(x) = f(x)$.
 
Or quel que soit $x \in \R,~F'(x) = (- 2x - 4 )\text{e}^{-x} - \left(- x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{-x}$

$ = \left(- 2x - 4 + x^2 + 4x + 5\right)\text{e}^{-x} = \left(x^2 + 2x + 1\right)\text{e}^{-x} = (x + 1)^2\text{e}^{-x} = f(x)$. 

Conclusion :  $F$ est une primitive de $f$. 
\item On sait que sur [0~;~3], $f(x) > 0$, donc l'aire de la surface est en unité d'aire égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^3 f(x) \:\text{d}x = [F(x)]_{0}^3 = F(3) - F(0) = (- 9 - 12 - 5)\text{e}^{-3} - (-5)\text{e}^{-0} = 5 - 26\text{e}^{-3}$~(u. a.).
 
Le repère est orthonormal et l'unité de longueur est égale à  2 cm,  donc 1 u. a. $=  2 \times 2 = 4$ cm$^2$. 

Donc l'aire de la surface est égale à $20 - 104\text{e}^{-3}$~cm$^2
 ~\approx 14,82$~cm$^2$ au centième près.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-2,-1)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{5}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.933}{6}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](5.5,0.2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](4.5,5.5){$\mathcal{T}$}\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\psline(3,0)(0,0)
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.933}{6}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}