\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{pifont}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} direct d'unité graphique 1~cm.
%
%\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
%On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 
%
%\[P(z) = z^3 - z^2 + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $-1$ est une racine du polynôme $P$.
$(- 1)^3 - 1 + 2 =  -2 + 2 = 0 \Rightarrow P(- 1) = 0$ qui signifie que  $-1$ est une racine du polynôme $P$.
\item %Déterminer les réels $a,\,b$ et $c$ tels que : $P(z) = (z + 1)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
Développons : $(z + 1)\left(az^2 + bz + c\right) = az^3 + bz^2 + cz + az^2 + bz + c =$

$az^3 + (a  + b)z^2 + (b + c)z  + c$ et en identifiant avec le polynôme $P(z)$ :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
a + b&=&- 1\\
b + c &=&0\\
c&=&2
\end{array}\right.$ d'où en \og remontant \fg{} :

$c = 2,~ b = - 2$ et $a = 1$.

Conclusion $P(z) = (z + 1)\left(z^2 - 2z + 2\right)$.
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z + 1&=&0\\
z^2 - 2z + 2&=&0
\end{array}\right.$.

La première équation a pour solution $- 1$. Pour l'équation du second degré :

$\Delta = 4 - 4 \times 1 \times 2 = - 4 = (2\text{i})^2 < 0$ ; l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

$\dfrac{2 + 2\text{i}}{2} = 1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$. Finalement :

\[S = \{-1 \quad ; \quad 1 + \text{i}\quad ; \quad 1 - \text{i}\}\]
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%On appelle A, B, C et D les points d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}} = - 1 \quad ; \quad z_{\text{B}} = 1 + \text{i} \quad;\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i} \quad\text{et}\quad z_{\text{D}} = 1 - 4\text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv.
Voir la figure à la fin. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
$\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = \sqrt{2}$.

Donc $z_{\text{B}} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{4}  \right)$, donc un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{\pi}{4}$.

Comme $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$, le module de $z_{\text{C}}$ est $\sqrt{2}$ et un de ses arguments est $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item %Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. 
		La question précédente permet d'écrire $z_{\text{B}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{C}} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Montrer que le point B est l'image du point C par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
On sait déjà que $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = \left|z_{\text{C}} \right| = \text{OC} = \sqrt{2}$.

D'autre part la relation de Chasles permet de calculer :

$\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OB}}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Conclusion : le point B est l'image du point C dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ (demi-tour).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.
On a BD$^2  = \left|z_{\text{D}} - z_{\text{B}} \right|^2 = |- 5\text{i}|^2 = 25$ ;

AB$^2  = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = |2 + \text{i}|^2 = 4 + 1 = 5$ ;

AD$^2  = \left|z_{\text{D}} - z_{\text{A}} \right|^2 = |2 - 4\text{i}|^2 = 4 + 16 = 20$.

On a donc $5 + 20 = 25 \iff \text{AB}^2 + \text{AD}^2 = \text{BD}^2  \iff$ (ABD) est un triangle rectangle en A. 
		\item %En déduire l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABD.
		On sait que le centre du cercle circonscrit au triangle ABD est le milieu de l'hypoténuse [BD] qui a pour affixe $\dfrac{z_{\text{B}} + z_{\text{D}}}{2} = 1 - \dfrac{3}{2}\text{i}$.  
		\item %Déterminer l'affixe du point E tel que le quadrilatère ABED soit un rectangle.
Si ABED est un rectangle le milieu de [BD] est le milieu de [AE]. D'après la question précédente on a donc :

$1 - \dfrac{3}{2}\text{i} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{E}}}{2} \iff z_{\text{A}} + z_{\text{E}} = 2 - 3\text{i} \iff  z_{\text{E}} = 2 - 3\text{i} - z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i} - (- 1) = 3 - 3\text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-5)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-5)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(-1,0)(1,1)(1,-1)(1,-4)(1,-1.5)(3,-3)
\uput[u](-1,0){A} \uput[u](1,1){B} \uput[ur](1,-1){C} \uput[d](1,-4){D} \uput[dr](3,-3){E}
\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(1,-1.5){2.5}\psline(-1,0)(3,-3)
\pspolygon(0,0)(1,1)(1,-1)
\pspolygon(-1,0)(1,1) (1,-4) 
\pspolygon(-1,0)(1,1)(3,-3) (1,-4) 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip 

%On estime qu'une batterie de téléphone portable perd, à chaque charge, 0,2\,\% de sa capacité. La capacité initiale de la batterie, notée $C_{0}$, est de 800~mAh (milliampères-heure). Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la capacité restante après la $n$-ième charge.
 
\begin{enumerate}
\item %Donner les valeurs de $C_{1},~ C_{2}$ et $C_{3}$ arrondies à l'unité près. 
On a $C_{0} = C_{0} - \dfrac{0,2}{100}C_{0} = \dfrac{99,8}{100}C_{0} = 0,998C_{0} = 0,998 \times 800 = 798,4 \approx 798$.

De m\^eme $C_{2} = 0,998C_{1} = 0,998 \times 798,4 = 796,003 \approx 796$ et $C_{3} = 0,998C_{2} = 0,998 \times 796,003 \approx 795$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout entier naturel $n,\, C_{n+1} = 0,998 C_{n}$.
On a  $C_{n+1} = C_{n} - 0,002C_{n} = (1 - 0,002)C_{n} = 0,998C_{n}$.
		\item %En déduire la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$. On donnera son premier terme et sa raison.
		La relation précédente montre que la suite $\left(C_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_{0} = 800$ et de raison $0,998$.
	\end{enumerate} 
\item %Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $C_{n} = C_{0} \times 0,998^n = 800  \times 0,998^n$.
\item %Calculer la valeur arrondie à l'unité près de la capacité restante de la batterie après 100 charges.
On a $C_{100} =  800  \times 0,998^{100} \approx 655$.
\item %On considère que la batterie est hors d'usage lorsque sa capacité est inférieure à 10~mAh.
 
%Déterminer à partir de combien de charges la batterie est hors d'usage.
Il faut résoudre dans $\N$ l'inéquation :

$800  \times 0,998^n < 10 \iff 0,998^n < \dfrac{1}{80} \iff$ {}{} par croissance de la fonction logarithme népérien {}{} $n \ln 0,998 < \ln \frac{1}{80} \iff  n \ln 0,998 < -\ln 80 \iff n > - \dfrac{\ln 80}{\ln 0,998}$ (car $\ln 0,998 < 0$).

Or $- \dfrac{\ln 80}{\ln 0,998} \approx \np{2188,8} \approx \np{2189}$.

La batterie est hors d'usage après \np{2189} charges.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

%\emph{La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première partie.}
%
%\medskip
 
\textbf{Première partie : résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
%Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle
% 
%\[(\text{E}) :\quad  y' + y = 2x - \dfrac{3}{2}\]
% 
%où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$. 

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad  y' + y = 0$.
On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $\R$ par $x \longmapsto C\text{e}^{- x}$, avec $C \in \R$ quelconque.
\item %Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = 2x - \dfrac{7}{2}$ est une solution de l'équation différentielle (E).
$u$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $u'(x) = 2$.

Donc $u'(x) + u(x) = 2 + 2x - \dfrac{7}{2} = 2x - \dfrac{3}{2}$.

$u'(x) + u(x)  = 2x - \dfrac{3}{2}$ signifie que la fonction $u$ est une solution de l'équation (E).
\item %Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x) = C\text{e}^{-x} + u(x)$ où $C$ est un réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $h$ est solution de l'équation (E).
$h$  est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $h'(x) = - C\text{e}^{- x} + u'(x) = - C\text{e}^{- x} + 2$.

Donc $h'(x) + h(x) = - C\text{e}^{- x} + 2 + C\text{e}^{-x} + u(x) = 2 + u(x) = 2 + 2x - \dfrac{7}{2} = 2x - \dfrac{3}{2}$.

Or $h'(x) + h(x)  = 2x - \dfrac{3}{2}$ signifie que la fonction $h$ est une solution de l'équation (E).
		\item %Déterminer le nombre réel $C$ tel que $h(0) = - \dfrac{1}{2}$.
On a $h(0) = C\text{e}^{-0} + 2 \times 0 - \dfrac{7}{2} = C  - \dfrac{7}{2}$, donc 
$h(0) = - \dfrac{1}{2} \iff C  - \dfrac{7}{2} = - \dfrac{1}{2}  \iff C = 3$.

La solution particulière $h$ de (E) vérifiant  $h(0) = - \dfrac{1}{2}$ est donc définie par :  

$x \longmapsto h(x) = 3\text{e}^{- x} + 2x - \dfrac{7}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : étude de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
%
%\[f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2}\]
%
%et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \text{e}^{-x} = 0$, donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  3\text{e}^{-x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  2x = + \infty$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = + \infty$.
		\item %Justifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{-x}\left(2x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} + 3\right)$, puis en déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
		On peut écrire $f(x) =  \text{e}^{-x} \times 3 + 2x \times \text{e}^{-x} \times \text{e}^{x} - \dfrac{7}{2} \times \text{e}^{-x} \times \text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(3 + 2 x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} \right)$.
		
Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  3 + 2 x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} = 3$.

D'autre part on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  x\text{e}^{x} = 0$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^{-x} = + \infty$, donc finalement par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x)  = + \infty$
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - \dfrac{7}{2}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - 2x - \dfrac{7}{2} = 3\text{e}^{-x}$.
		 
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  3\text{e}^{-x} = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  d(x) = 0$ ce qui montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - \dfrac{7}{2}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 3\text{e}^{-x} + 2$.

Or $f'(x) \geqslant 0  \iff - 3\text{e}^{-x} + 2 \geqslant 0 \iff 2 \geqslant 3\text{e}^{-x} \iff \dfrac{2}{3} \geqslant \text{e}^{-x}$ {}{} soit par croissance de la fonction logarithme népérien : $\ln \dfrac{2}{3} \geqslant - x \iff x \geqslant - \ln \dfrac{2}{3} \iff x \geqslant \ln \dfrac{3}{2}$.

Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur $\left]\ln \dfrac{3}{2}~;~+ \infty\right[$.

Par un raisonnement analogue on montre que $f$ est décroissante sur  $\left]- \infty~;~\ln \dfrac{3}{2} \right[$.

Il y a donc un minimum $f\left(\ln \dfrac{3}{2} \right) = 3\text{e}^{- \ln \frac{3}{2}} + 2\times\ln \frac{3}{2}  - \dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{\text{e}^{\ln \frac{3}{2}}} + 2\ln \frac{3}{2}  - \dfrac{7}{2} = 2  + 2\ln \frac{3}{2}  - \dfrac{7}{2} = 2\ln \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} \approx - 0,69$.
\item %Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $f'(0) = - 3 + 2 = -1$ et contient le point de coordonnées $\left(0~;~- \frac{1}{2}\right)$.

Son équation est donc de la forme $y = - x + b$ et vérifie  $- \frac{1}{2} = 0 + b \iff b = - \frac{1}{2}$.

L'équation réduite de $\mathcal{T}$ est donc $y = - x - \dfrac{1}{2}$.
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-4)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{0}{4}{2 x mul 3.5 sub}\uput[dr](0,-3.5){$\mathcal{D}$}
\psplot{-2}{3.5}{x neg 0.5 sub}\uput[d](3,-3.5){$\mathcal{T}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.313}{4}{3 2.71828 x exp div x 2 mul add 3.5 sub}\uput[u](2.5,1.75){\blue $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{3 2.71828 x exp div x 2 mul add 3.5 sub}
\psline(4,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.8,0.8)(3.2,1.2)\rput(3,1){$\mathcal{E}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Troisième partie : calcul d'une aire}

\medskip
 
%On appelle $\mathcal{E}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$. 
\begin{enumerate}
\item %Donner une estimation de l'ordre de grandeur en cm$^2$ de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en calculant l'aire d'un trapèze \footnote{On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $\dfrac{B + b}{2} \times h$, où $B,\, b$ et $h$ sont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur.} que l'on précisera.
Les sommets du trapèze ont pour coordonnées (2~;~0), (4~;~0) et approximativement (2~;~1) et (4~;~4,5). Donc une bonne approximation de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ est donnée par l'aire du trapèze de côtés 1 et 4,5 et de hauteur 2, donc d'aire $\dfrac{1 + 4,5}{2} \times 2 = 5,5$ unités d'aire.

Or une unité d'aire vaut $2 \times 1 = 2$~cm$^2$.

Donc l'aire du trapèze vaut approximativement $2 \times 5,5 = 11$~cm$^2$.
\item %Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en unités d'aire. Donner sa valeur arrondie en cm$^2$ à $0,01$ cm$^2$ près.
La fonction $f$ est positive sur l'intervalle [2~;~4], donc l'aire en unités d'aire de la partie hachurée est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{2}^4 \left(3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2}\right)\:\text{d}x = \left[- 3\text{e}^{-x} + x^2 -  \dfrac{7}{2}x \right]_{2}^4 =$

$- 3\text{e}^{-4} + 4^2 -  \dfrac{7}{2}\times 4 - \left(- 3\text{e}^{-2} + 2^2 -  \dfrac{7}{2} \times 2\right) = 3\text{e}^{-2} - 3\text{e}^{-4}  + 12 - 14 + 7 = 5 + 3\text{e}^{-2} - 3\text{e}^{-4}$~unités d'aire soit $10 + 6\text{e}^{-2} - 6\text{e}^{-4}$~cm$^2$ soit environ 10,70~cm$^2$ à 0,01~cm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}