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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole 20 juin 2012 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} 
    
\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
% 
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip
 
\textbf{I.} %On considère l'équation : 
$z^2 - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$.
 
%Résoudre cette équation dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
$\Delta = \left(4\sqrt{2} \right)^2 - 4 \times 16 = 32 - 64 = - 32 = \left(4\text{i}\sqrt{2} \right)^2$. Le discriminant est négatif : il y a donc deux racines complexes conjuguées :

\[z_1 = \dfrac{4\sqrt{2} + 4\text{i}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}  + 2\text{i}\sqrt{2} \quad \text{et}\:\:z_2 = 2\sqrt{2}  - 2\text{i}\sqrt{2}.\]

On peut écrire $z_1 = 2\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et $z_2 = 2\sqrt{2}(1 - \text{i})$.
\medskip
 
\textbf{II.} %On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = 4,\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2},\quad  z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et}\:\: z_{\text{D}} = 1 - 3\text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}},  z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis donner leur  expression sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta},\: r > 0.$
$\bullet~~$$z_{\text{A}}$ a pour module 4 et pour argument 0 ; $z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}0}$

$\bullet~~$$z_{\text{B}}$ : On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2  = \left(2\sqrt{2} \right)^2 + \left(2\sqrt{2}\right)^2 = 8 + 8 = 16 = 4^2$, donc $\left|z_{\text{B}}\right| = 4$.

Son argument $\theta$ est tel que $\cos \theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Donc $z_{\text{B}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

$\bullet~~$$z_{\text{C}}$ : On a $\left|z_{\text{C}} \right|^2  = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = 2\sqrt{2}$. 

Son argument $\theta$ est tel que $\cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Donc $z_{\text{C}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. 
		\item ~%Placer les points A, B, C et D dans le repère.
		
\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2,-5.5)(5.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-5.5)(5.5,4.5)
\psarc(0,0){4}{0}{90}
\psline(4.5,4.5)
\psdots(4,0)(2.828,2.828)(2,2)(1,-3)(3,-5)(0,4)
\uput[ur](4,0){A} \uput[r](2.828,2.828){B} \uput[ul](2,2){C} \uput[dl](1,-3){D} \uput[ur](3,-5){E} 
\uput[l](0,4){B$'$}\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon[linecolor=red](4,0)(2,2)(1,-3)(3,-5)
\end{pspicture*}		
\end{center}		
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que les points O, B et C sont alignés.
$z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont le même argument $\dfrac{\pi}{4}$ ; B et C sont donc sur la bissectrice de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{v} \right)$ :  O, B et C sont alignés. 
\item %Quelle est la nature du triangle ACD ? Justifier la réponse.
On a $\vect{\text{CA}}(2~;- 2)$ et  $\vect{\text{AD}}(- 3~;~- 3)$.

Donc le produit scalaire $\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{AD}} = 2 \times (- 3) + (- 2) \times (- 3) = - 6 + 6 = 0$ ; les vecteurs sont orthogonaux, donc (CA) et (AD) sont perpendiculaires en A : le triangle CAD est rectangle en A.

\emph{Autre méthode} :sur la figure avec les carreaux unités : 

CA$^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ ; AD$^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ ;

CD$^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.

Comme $8 + 18 = 26$, $\text{CA}^2 + \text{AD}^2 = \text{CD}^2$, ce qui montre par la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle CAD est rectangle en A.
\item %Déterminer l'affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme. Placer E.
Le milieu de [AD] est le milieu de [CE] ; les coordonnées $(x~;y)$ de  vérifient donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1 + 4}{2} &=&\frac{2 + x}{2}\\
\frac{0 - 3}{2}&=&\frac{2 + y}{2} 
\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l}
5 &=&2 + x\\
- 3&=&2 + y 
\end{array}\right.$ d'où $x = 3$ et $y = - 5$. Donc E$(3~;~- 5)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que B est l'image de A par une rotation $r$ de centre O dont on déterminera l'angle.
A est sur l'axe des abscisses et on a vu qu'un argument de $z_{\text{A}}$ est $\frac{\pi}{4}$. D'autre part $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ ont le même argument 4 ; doncB est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{4}$
		\item %Calculer l'affixe du point B$'$, image de B par $r$ (on donnera le résultat sous forme algébrique). Placer le point B$'$.
On vient de voir que $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4 \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ soit $z_{\text{B}} = z_{\text{A}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

On a donc de même :

$z_{\text{B}'} = z_{\text{B}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 4\text{i}$. Le point B$'$ est sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Une entreprise commercialise un appareil électrique. Un client qui achète cet appareil peut l'emporter immédiatement, ou se faire livrer à domicile.
%
%\medskip
% 
%Dans le cas de la livraison, deux services sont proposés aux clients  : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item livraison simple 
%\item livraison avec mise en service
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le prix de l'appareil en magasin est de 120\:\euro.
%
%
%En cas de livraison, les tarifs des services supplémentaires sont les suivants :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{3cm}X}  
%- frais de livraison :& 15 euros pour une livraison à une distance inférieure ou égale à 50 km \\
%& 25 euros pour une livraison à une distance supérieure à 50 km\\  
%- frais de mise en service :&20 euros\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Une étude a été réalisée sur un lot de \np{1000} appareils vendus. Le tableau suivant indique la répartition des effectifs, en fonction des choix des clients et des distances de livraison : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
%\multicolumn{1}{c|}{~}	&Emporté&Livré de 0 à 50 km &Livré à plus de 50 km& TOTAL\\ \hline
%Sans mise en service  	&550	&100	& 50		& 700\\ \hline
%Avec mise en service 	&		&200 	&100 		&300\\ \hline 
%						&550 	&300 	&150		&\np{1000}\\ \hline  
%\end{tabularx} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré avec mise en service.
$p_1 = \dfrac{300}{\np{1000}} = 0,3$. 
		\item %Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré.
$p_2 = \dfrac{300 + 150}{\np{1000}} = \dfrac{450}{\np{1000}}  = 0,45$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $F$ la variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les cinq valeurs prises par la variable aléatoire $F$. (Par exemple, pour un appareil livré à moins de 50 km avec mise en service, $F$ prend la valeur 155).
$F$ peut prendre 120,\:135,\: 145,\:155,\:165 comme valeurs.  
		\item ~%Déterminer la loi de probabilité de $F$.
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$		&120	&135	&145	&155	&165\\ \hline
$p(F = x_i)$	&0,55	&0,1	&0,05	&0,2	&0,1\\ \hline
\end{tabularx}		 
		\item %Calculer son espérance mathématique.
On a E$(F) = 120 \times 0,55 + 135\times  0,1 + 145 \times 0,05 + 155 \times 0,2 + 165 \times 0,1 = 134,25$. 
		\item %Interpréter ce résultat.
On peut estimer la dépense moyenne moyenne pour chacune des personnes interrogées à 134,25~\euro. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : utilisation d'un graphique}

\medskip

Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la représentation graphique d'une 
fonction $g$, définie sur $]0~;~- \infty[$, que l'on se propose de déterminer. La droite $d$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1 et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 

\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](6.8,2){$d$}\uput[d](5.5,4.7){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{6.93}{x 1 add x ln sub}
\psline(-0.5,2)(7,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, en utilisant le graphique: 
	\begin{enumerate}
		\item %le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$ et la valeur en laquelle il est atteint.
Le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$ semble être 2.
		\item %le signe de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
La fonction est positive et même $g(x) \geqslant 2$. 
		\item %la limite de $g$ en $0$.
	Il semble que $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = + \infty$.
	\end{enumerate} 
\item  %Expliquer pourquoi $g^{\prime}(1) = 0$.
Puisque $d$ est tangente à  $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1, le nombre dérivé en 1 est nul : $f'(1) = 0$.
%On admet que la fonction $g$ a pour expression : $g(x) = a x + b - \ln x$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on souhaite déterminer.
 
%En utilisant les résultats des questions 1. a. et 2. déterminer les valeurs de $a$ et $b$ et en déduire que : 
%
%\[g(x) = x + 1 - \ln x.\]
On a $g(1) = 2$, soit $a + b - \ln 1 = 2$ ou $a + b = 2$ ;

D'autre part $g'(x) = a - \dfrac{1}{x}$, donc $g'(1) = 0$ s'écrit $a - 1 = 0$, d'où $a = 1$ et d'après la relation $a + b = 2$, $b = 1$.

Conclusion $g(x) = x + 1 - \ln x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x}.\]
 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = + \infty$.
		\item %En remarquant que $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
$f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, d'où par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}_{f}$		 
%Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$ : 
On a $f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x + 1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
%\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]

		\item  %Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.
On a vu que sur  $]0~;~ +\infty[, \: g(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0~;~ +\infty[$ de moins l'infini à plus l'infini. De plus $f(1 ) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ : 

%\[f(x) = \dfrac{(x+1)\ln x}{x}\]
$f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{x\ln x}{x} + \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{x\ln x + \ln x}{x} = \dfrac{(x + 1)\ln x}{x}$.
		\item %En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
D'après l'écriture précédente $f(x) = 0$ si $(x + 1)\ln x = 0$ soit si 

$x + 1 = 0$ ou $\ln x = 0$, donc si $x = -1$ ou $x = 1$. Seule la seconde solution est possible.

Conclusion : $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse 1.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1.
On a $f'(1) = \dfrac{g(1)}{1^2} = g(1) = 2$.

Une équation de T est donc $y = f(1) + (x - 1)f'(1)$, soit $y = 0 + 2(x - 1)$ et enfin $y = 2x - 2$. 
\item ~%~Tracer la droite $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère orthonormé \Oij{} sur une feuille de papier millimétré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-5.5)(7,2.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-5.5)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-5.5)(7,2.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](6.8,2.2){\cyan $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{6.73}{1 x div  1 add  x ln mul}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{2.71828}{1 x div  1 add  x ln mul}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : détermination d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On appelle $\mathcal{A}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
%Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique précédent.
Voir ci-dessus. 
\item %On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[F(x) = x \ln x - x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\]

On a $F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{1}{2}\times 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x =  \ln x + 1 - 1  + \dfrac{\ln x}{x} = \ln x + \dfrac{\ln x}{x} = f(x)$, ce qui montre que $F$ est une primitive de $f$ sur  $]0~;~+\infty[$.
%Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item %Déterminer la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan, exprimée en unités d'aire, 
%puis en cm$^2$ ?
On a donc  $\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x) \:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_1^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) = \text{e} \ln \text{e} - \text{e} + \dfrac{1}{2} (\ln \text{e})^2 - \left[1 \ln 1 - 1 + \dfrac{1}{2} (\ln 1)^2 \right] = \text{e} - \text{e} + \dfrac{1}{2} + 1  = \dfrac{3}{2} = 1,5$~unité d'aire.

Comme une unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on a :

\[\mathcal{A} = 1,5 \times 4 = 6~\text{cm}^2.\]
\end{enumerate}
\end{document}