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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STL spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies~\decofourright\\[5pt] Polynésie -- 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Un médecin prescrit une prise de sang à son patient qui se plaint de fatigue récurrente. Cette prise
de sang fait apparaître que la concentration en vitamine B12 est anormalement basse.

Le médecin décide de lui prescrire une injection par jour de vitamine B12, ainsi qu'une prise de
sang chaque semaine pour en contrôler la concentration. On note $V(t)$ la concentration en picogramme
par millilitre (pg$\cdot$mL$^{-1}$) au bout de la semaine $t$ .

On obtient le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{6.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Durée $t_i$ écoulée (en semaine)& 0 &1& 3& 5 &7& 9\\
\hline
Concentration $y_i$ de vitamine B12 (en pg$\cdot$mL$^{-1}$) &100 &104& 118& 128& 141& 156\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On se propose de modéliser la concentration en vitamine B12 en fonction du temps écoulé depuis
le début du traitement.

Comme un ajustement affine n'est pas pertinent, on effectue le changement de variable $z_i =\ln(y_i)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  On complète le tableau suivant:.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\centering $t_i$& 0 &1& 3& 5 &7& 9\\
\hline
\centering $z_i=\ln(y_i)$&$\blue 4,605$& $\blue 4,644$ & $\blue 4,771$  & $\blue 4,852$ & $\blue 4,949$ & $\blue 5,050$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = at+b$, où les coefficients réels $a$ et  seront arrondis au millième:
on trouve $z=0,050 t + 4,605$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Pour la suite, on prend comme modèle d'ajustement, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $z = 0,05t+4,61$.

\begin{enumerate}[resume]
\item% Déduire de la question précédente que pour tout réel positif $t$, $100\e^{0,05t}$ représente la concentration en vitamine B12 exprimée en pg$\cdot$mL$^{-1}$, $t$ semaines après le début du traitement.
$z = 0,05t+4,61 \iff \ln(y) = 0,05t+4,61 \iff y=\e^{0,05t+4,61}
\iff y= \e^{0,05t}\times \e^{4,61}$

Or $\e^{4,61} \approx 100$ donc on peut dire que $100\e^{0,05t}$ représente la concentration en vitamine B12 exprimée en pg$\cdot$mL$^{-1}$, $t$ semaines après le début du traitement.

\item Le patient doit atteindre une concentration de  \np[pg\cdot mL^{-1}]{500} pour que les symptômes de fatigue disparaissent nettement. %Au bout de combien de semaines le patient peut-il espérer arrêter son traitement ?

On cherche $t$ pour que $y\geqslant 500$ c'est-à-dire \\
$100\e^{0,05t}\geqslant 500 \iff \e^{0,05t}\geqslant 5 \iff 0,05 t \geqslant \ln(5)
\iff t \geqslant \dfrac{\ln(5)}{0,05}$.

Or $ \dfrac{\ln(5)}{0,05} \approx 32,2$ c'est donc au bout de 33 semaines que le patient pourra arrêter son traitement.

\item Cet ajustement ne semble pas adapté à long terme car il nécessite 33 semaines d'injections  quotidiennes avant son arrêt..
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip


En France, l'eau du robinet est l'une des substances les plus contrôlées. Elle fait l'objet d’un suivi
sanitaire permanent, destiné à en garantir la sécurité.
Depuis plusieurs années, la communauté scientifique s'interroge sur la présence dans l'eau, à
l'état de traces, de résidus de médicaments de type anxiolytique. Chaque année, les pouvoirs publics en mesurent la concentration.
En 2010, on constatait qu'il y avait en moyenne dans l'eau du robinet 2 microgrammes par litre (\textmu g$\cdot$L$^{-1}$) de molécules d'anxiolytique.
Depuis 2010, on constate une réduction de 2\,\% par an de la quantité de molécules d'anxiolytique dans l'eau du robinet.
On choisit de modéliser la concentration de molécules d'anxiolytique par une suite. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la concentration de cette molécule d'anxiolytique dans l'eau l'année (2010+$n$). Cette concentration est exprimée en \textmu g$\cdot$L$^{-1}$.

\begin{enumerate}
\item % Donner la valeur de $C_0$ et calculer $C_1$.
En 2010, on constatait qu'il y avait en moyenne dans l'eau du robinet 2 microgrammes par litre de molécules d'anxiolytique donc $C_0=2$.

$C_1=C_0 -C_0\times \dfrac{2}{100} = 2\times \left (1-\dfrac{2}{100}\right ) =  2\times 0,98 = 1,96$.

\item\begin{enumerate}
\item %Justifier que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Réduire de 2\,\%, c'est multiplier par $0,98$ donc la suite $(C_n)$ est géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $C_0=2$.

\item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $C_n = C_0\times q^n = 2\times 0,98^n$.
\end{enumerate}
\item% Déterminer la limite de la suite v lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $0,98$; or $0<0,98<1$ donc la suite $(C_n)$ a pour limites 0 quand $n$ tend vers l'infini.

Cela signifie que  la quantité de molécules d'anxiolytique dans l'eau du robinet tend vers 0 quand les années augmentent.

\item Les pouvoirs publics souhaitent limiter la concentration en molécules d'anxiolytique à \np[\tcmu g \cdot L^{-1}]{0,5}.

Pour cela, on donne un algorithme. 

\begin{enumerate}
\item  On a complété en bleu les lignes 3 et 5 afin que cet algorithme détermine la durée nécessaire à la réalisation de l'objectif fixé par les pouvoirs publics:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c||p{4cm}|}
\hline
1& $C \longleftarrow  2$\\
2&  $N\longleftarrow  0$\\
3& Tant que $C >\blue 0,5$\\
4& \hspace*{1cm} $N \longleftarrow  N +1$\\
5& \hspace*{1cm} $C \longleftarrow C \times \blue 0,98$\\
6& Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour déterminer la valeur de la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme, on résout l'inéquation $C_n \leqslant 0,5$:

$C_n \leqslant 0,5
\iff 2\times 0,98^n \leqslant 0,5
\iff 0,98^n \leqslant 0,25
\iff \ln\left (0,98^n\right ) \leqslant \ln \left (0,25\right )\\
\phantom{C_n \leqslant 0,5}
\iff n \ln(0,98) \leqslant \ln(0,25)
\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,98)}$

$\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,98)\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 68,6$ donc $N$ vaut 69 en fin d'algorithme.

C'est donc en $2010+69=2079$ que l'objectif sera atteint.

%En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip


%\emph{Cet exercice est constitué de deux parties indépendantes.}


Dans cet exercice, on s'intéresse à la fabrication de tubes destinés à être utilisés dans un laboratoire
pharmaceutique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%\emph{Pour chacune des affirmations de cette partie, on précisera si elle est vraie ou fausse, en justifiant de manière claire et concise la réponse donnée.}

On note $C$ la variable aléatoire qui à chaque tube fabriqué associe sa capacité en millilitre (mL).

On suppose que $C$ suit la loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart type $\sigma= 2$.

\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] La probabilité que la capacité du tube soit comprise entre \np[mL]{48} et \np[mL]{52} est environ égale à 0,95.
\end{description}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$p(48 \leqslant C\leqslant 52) = p(50-2 \leqslant C \leqslant 50+2)= p(\mu-\sigma \leqslant C \leqslant \mu+\sigma) \approx 0,68$ d'après le cours.

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\begin{description}
\item[Affirmation 2 :] 30\,\% des tubes ont une capacité inférieure ou égale à \np[mL]{49}, à \np[\%]{1} près.
\end{description}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On cherche $p(C\leqslant 49)$; à la calculatrice, on trouve environ $0,309$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\medskip

On note $E $ l'événement \og Le tube présente un défaut de fabrication. \fg.
On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $P(E)=0,03$.
On prélève au hasard dans la chaîne de production 200 tubes pour vérification. On suppose que la production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 200 tubes, associe le nombre de tubes ayant un défaut.

\begin{description}[resume]
\item[Affirmation 3 :] $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p = 0,03$.
\end{description}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On a une répétition avec remise de 200 tirages qui n'ont que 2 issues et dont le succès a pour probabilité $0,03$; donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,03$.
\smallskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}
\end{tabular}

\medskip
\begin{description}
\item[Affirmation 4 : ] En moyenne, un lot de 200 tubes contient 5 tubes avec défaut.
\end{description}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
L'espérance mathématique d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$, ce qui donne ici  $200 \times 0,03 = 6$. Il y a donc en moyenne 6 tubes défectueux.

\smallskip

\textbf{Affirmation 4 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\begin{description}
\item[Affirmation 5 : ] La probabilité qu'au moins 5 tubes soient défectueux est 0,719 au millième près.
\end{description}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On cherche $p(X\geqslant 5)$; à la calculatrice, on trouve environ $0,719$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}

%\medskip

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le fabricant veut améliorer la qualité de fabrication de ses tubes.
Pour cela, il en teste 400 et constate que 90\,\% n'ont pas de défaut.
Après des réglages permettant d'améliorer la qualité de fabrication, un nouvel échantillon de 400 tubes est prélevé : 94\,\% sont sans défaut.

%Est-il raisonnable, au niveau de confiance 95\,\%, de penser que la qualité de fabrication s’est améliorée ?

\smallskip

%On rappelle les formules suivantes :
%\begin{itemize}
%\item  L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon
%de taille $n$, lorsque la proportion $p$ dans la population est connue est :
%
%\[\left[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p)}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\]
%
%\item Un intervalle de confiance à 95\,\% d’une proportion, calculé à partir d’une fréquence $f$ sur un
%échantillon de taille $n$ est  donné par :
%\[\left[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\right]\]
%\end{itemize}

%{\red
%On fait l'hypothèse que 90\,\% des tubes n'ont pas de défaut; on a donc une proportion de $p=0,9$ de tubes sans défaut. On va tester cette hypothèse sur un échantillon de taille $n=400$.
%
%$n=400\geqslant 30$, $np=400\times 0,9=360 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 400\times 0,1=40 \geqslant
%5$ donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:
%
%\smallskip
%
%$I=\left[p -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p (1- p)}{n}} ~,~ p +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]
%= \left[0,9 -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{400}} ~,~0,9 +1,96\ds\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{400}}\right]\\
%\phantom{I}
%= \left [ \np{0,8706}~;\, \np{0,9294}\strut\right ]$
%
%\smallskip
%
%Mais dans le nouvel échantillon, il y a 94\,\% de tubes sans défaut. Or $0,94 \notin I$ donc on peut raisonnablement penser que la qualité de fabrication s'est améliorée.
%}%%% fin du rouge
%
%\medskip

%{\blue
Pour savoir si la différence de pourcentage de tubes sans défaut est significative ou non, on regarde si les deux intervalles de confiance sont disjoints ou non.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le premier intervalle de confiance correspondant à un pourcentage de 90\,\% est

$I_1 = \left[0,9 -1,96 \sqrt{\dfrac{0,9 (1- 0,9 )}{400}} ~;~ 0,9 +1,96 \sqrt{\dfrac{0,9 (1- 0,9 )}{400}}\right]
\approx \left [  \np{0,8706}~;\, \np{0,9294}\strut\right ]$

\item Le second intervalle de confiance correspondant à un pourcentage de 94\,\% est

$I_2 = \left[0,94 -1,96 \sqrt{\dfrac{0,94(1- 0,94 )}{400}} ~;~ 0,94 +1,96 \sqrt{\dfrac{0,94 (1- 0,94 )}{400}}\right]
\approx \left [  \np{0,9167}~;\, \np{0,9633}\strut\right ]$
\end{list}

Les deux intervalles de confiance ne sont pas disjoints, donc la différence entre les taux de 90\,\% et 94\,\% n'est pas significative: on ne peut donc pas dire que la qualité de fabrication s'est améliorée.
%}%fin du bleu

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

À un patient souffrant de douleurs intenses, on injecte un antidouleur en perfusion au rythme de
4 milligrammes par heure.
On suppose que cet antidouleur n'était pas présent dans le sang avant la perfusion.
La quantité d'antidouleur présent à un instant donné est modélisée par une fonction $f$.
Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heure, depuis le début de la perfusion, $f(t)$ représente la quantité, en milligramme, d'antidouleur présent dans le sang.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ de l'équation différentielle $(\mathcal{E})$: $y'+0,02y = 4$.

\begin{enumerate}
\item % Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(\mathcal{E})$ sur l'intervalle [$[0~;~+\infty[$.
L'équation différentielle $y'+ay=b$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-at}+\dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque, donc l'équation différentielle $y'+0,02y = 4$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,02t}+ \dfrac{4}{0,02}$, c'est-à-dire $f(t)=k\e^{-0,02t}+ 200$  où $k$ est un réel quelconque.

\item On admet que $f(0)=0$.% En déduire une expression de $f(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$f(0)=0\iff k\e^{0}+ 200 = 0\iff k=-200$; donc la solution cherchée est la fonction $f$ définie sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par $f(t)=-200\e^{-0,02t} + 200$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
%\[f (t)=-200\e^{-0,02t} +200\]

\begin{enumerate}
\item  On admet que $f'(t )$ est donnée sur l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par:
$f '(t )=4\e^{-0,02t}$.

%Quelle information peut-on en déduire sur les variations de la fonction $f$ ?

Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc, pour tout $t$ de  $\left [0~;~+\infty\strut\right [$, $\e^{-0,02t}>0$ donc $f'(t)>0$; on en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
\end{enumerate}

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\mathcal{D}$, asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.04cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-10,-10)(260,220)
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(260,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20,]{->}(0,0)(260,220)
\def\Func{2.71828 x 0.02 neg mul exp 200 neg mul 200 add}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{260}{\Func}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{260}{200}
 \uput[u](15,200){\cyan $\displaystyle \mathcal{D}$}
 \uput[dl](35,110){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
% \uput[u](-8,13000){\rotatebox{90}{Bénéfice en euros} }
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item À l'aide du graphique, on peut dire que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est 200.
\end{enumerate}

Cette valeur représente la quantité limite de l’antidouleur présent dans le sang.

\begin{enumerate}[resume]
\item Le débit de perfusion est satisfaisant si au bout de vingt-quatre heures, le sang contient au
moins 50\,\% de la quantité limite de l’antidouleur.

Il faut donc que $f(24)\geqslant 100$.

$f(24)=-200\e^{-0,02\times 24} + 200 \approx 76,2<100$;
donc le débit de perfusion n'est pas satisfaisant.

\item On admet que la quantité moyenne de l’antidouleur présent dans le sang pendant les dix
premières heures de perfusion est égale à
$\displaystyle \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10}f(t)\d t$.

\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par $F(t)=\np{10000}\e^{-0,02t}+200t$.

$F'(t)= \np{10000}\times (-0,02)\e^{-0,02t} + 200 = -200\e^{-0,02t} + 200 = f(t)$ donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur  $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.

\item On pose $\displaystyle I=\int_{0}^{10}f(t)\d t$. 

$I=F(10)-F(0) = \left (\np{10000}\e^{-0,02\times 10} +200\times 10\right ) - \left (\np{10000}\e^{-0,02\times 0} +200\times 0\right ) 
= \np{10000}\e^{-0,2} -\np{8000} \\
\phantom{I}
\approx 187,31$

%Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième, de $I$ .

\item $\dfrac{187,31}{10} = 18,731$ donc une valeur approchée, au dixième de milligramme près, de la quantité moyenne de l’antidouleur présent dans le sang pendant les dix premières heures de perfusion est $18,7$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
SESSION 2019
MATHÉMATIQUES
Série : Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : BIOTECHNOLOGIES
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 4
L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie.
19MABIPO1 Page 1/6
