\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{lscape}
\usepackage{graphicx}
%tapuscrit :Jean-Claude Souque
%Corrigé : Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-bar,pst-func,pst-math,pstricks-add}
\usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\makeatletter
\def\hlinewd#1{%
\noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 %
\futurelet\reserved@a\@xhline}
\makeatother
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STL biotechnologies correction},
pdftitle = {Antilles-Guyane - 20 juin 2018 },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)\\ spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane  20 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
L’utilisation d’un antiseptique permet de diminuer la population de bactéries.

 Le tableau ci-dessous donne le nombre de bactéries en fonction du temps en minutes.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.835\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Temps en minutes : $t_i$ &0 &2 &4 &6& 8& 10\\
\hline
Nombre de bactéries : $n_i$& \np{15000}& \np{11 000} &\np{8 400}&\np{6 600}  &\np{5 500}& \np{4 600}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
}
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points de coordonnées $(t_i~;~n_i)$ est représenté sur une feuille de papier millimétré. 
%en prenant \np[cm]{1}  pour 1 minute en abscisses et \np[cm]{1}  pour \np{1000} bactéries en ordonnées.
\item On estime qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. On choisit d’effectuer un changement
de variable en posant : $y_i=\ln(n_i)$
\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant, est complété dans l’\textbf{annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}} en donnant
des valeurs approchées arrondies à 0,001 près des résultats.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{0.835\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Temps en minutes : $t_i$ &0& 2& 4& 6& 8& 10\\\hline
$y_i=\ln(n_i)$& 9,616&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres
carrés de $y$ en $t$ est $y=-\np{0.118}t+\np{9.555}$. Les coefficients sont arrondis à 0,001.
\end{enumerate}

\item Dans la suite, on suppose que la droite d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode
des moindres carrés a pour équation $y=-0,12t+9,55$. 

On admet que le modèle reste valable au-delà de 10 minutes.

\begin{enumerate}
\item  Donnons une estimation du nombre de bactéries au bout de 15 minutes. Remplaçons $t$ par sa valeur dans l'équation de la droite.

$y=-\np{0.12}\times 15+\np{9.55}=\np{7.75}$.

$y=\ln n\iff n=\e^y$. Il en résulte $n=\e^{\np{7.75}}\approx \np{2321.57}$.

Une estimation du nombre de bactéries au bout de quinze minutes est,  à la centaine près, de \np{2400}.

\item Déterminons au bout de combien de temps nous pouvons  estimer que le nombre de bactéries est inférieur
à 100.

Déterminons d'abord l'ordonnée du point de la droite correspondant à un effectif de 100. $ y=\ln 100\approx \np{4.605}$.

Déterminons maintenant l'abscisse du point correspondant à cette ordonnée. Résolvons $-\np{0.12}t+\np{9.55}=\np{4.605}$.

$\np{0.12}t=\np{9.55}-\np{4.605}$ d'où $t= \dfrac{\np{9.55}-\np{4.605}}{\np{0.12}}\approx \np{41.208}$.

Nous pouvons estimer, à la minute près, que le nombre de bactéries sera inférieur à cent au bout de quarante-deux minutes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points}

\medskip

{\footnotesize
En décembre 2017, Vincent emprunte \np{5 000} \,\euro{} à ses parents pour acheter une voiture.

Il décide de les rembourser le premier jour de chaque mois. Le 1\up{er} janvier 2018, il effectue un
premier versement de 100\,\euro. Pour limiter la durée du prêt, il décide ensuite d’augmenter les
versements de 2\,\% chaque mois.}
\begin{enumerate}
\item  À une augmentation de 2\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2}{100}$ soit \np{1.02}. 

Le montant versé le 1\up{er} février 2018 sera de $100\times \np{1.02}$ soit 102\,\euro.
\item On modélise la situation par une suite $u$. On note $u_n$ le montant versé le n-ième mois. On a
donc $u_1=100$.
\begin{enumerate}
\item   La suite $u$ est géométrique de raison \np{1.02} puisque le remboursement d'un mois $n$ à l'autre $n+1$ est multiplié par \np{1.02}.% préciser sa raison.
\item 
Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est :

 $u_n=u_1\times (q)^{n-1}$. $u_n=100\times \left(\np{1.02}\right)^{n-1}$.
\item  Le montant que Vincent versera le 1\up{er} décembre 2018 est $u_{12}$.

 $u_{12}=100\times (\np{1.02})^{11}\approx \np{124.34}$. 
Vincent remboursera, à 0,01 près, 124,34\euro.
\item Pour savoir si Vincent aura remboursé un quart de ce qu’il doit à ses parents le 30 décembre 2018, calculons la somme $S$ des versements effectués.

$\displaystyle S=\sum_{i=1}^{i=12}u_i=u_1\times \dfrac{q^{12}-1}{q-1}.\  S=100\times \dfrac{\np{1.02}^{12}-1}{\np{0.02}}\approx \np{1341.21}$.

Au 30 décembre 2018, Vincent aura remboursé un peu plus du quart de la somme due (\np{1341.21}>\np{1250}).
\end{enumerate}
\item On considère l’algorithme suivant :
\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$n \longleftarrow 1$\\
$u \longleftarrow  100$\\
$S \longleftarrow  100$\\
Tant que $S < \np{5000}$\\
\hspace{3em}$n \longleftarrow  n + 1$\\
\hspace{3em}$u \longleftarrow  1,02 \times u$\\
\hspace{3em}$S \longleftarrow  S + u$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Nous avons exécuté pas à pas cet algorithme en remplissant le tableau en\textbf{ annexe à rendre avec la
copie, page \pageref{annexe}}, avec les premières valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ arrondies au centime.
 
 \smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Valeurs de $n$&1& 2& 3& 4\\\hline
Valeurs de $u$ &100&&&\\\hline
Valeurs de $S$ &100&&&\cellcolor{lightgray}\\\hline
\end{tabularx}

\item Le nombre inscrit dans la cellule grisée représente le total de ses remboursements au 30 avril 2018.
\item La valeur de la variable $n$ représente, après l’exécution complète de l’algorithme, le nombre de remboursements effectués ou la durée du remboursement. 

\emph{Il n’est pas attendu de la calculer. À titre informatif,  il faut compter trois ans.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 5 points}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Une catastrophe a rendu impropre à la consommation l’eau potable d’une commune. L’eau du
réseau contient une substance chimique dont l’évolution de la concentration en fonction du
temps $t$ écoulé depuis le début de la pollution est modélisée par la fonction $f$ telle que :
\[ f(t)=30\e^{-0,06t}\]
La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$.

$f(t)$ est en mg$\cdot \mathrm{L}^{-1}$ et $t$ en heures.
}

\begin{enumerate}
\item  Résolvons l’équation différentielle (E) : $y'+\np{0.06}y=0$

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  

$y(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=-\np{0.06}$  par conséquent sur $[0~;~+\infty[$, $f(t)=C \e^{-\np{0.06}t}$ où $C$ est une constante quelconque.

\item La fonction $f$ est une solution de l’équation différentielle (E) où $C=30$.
\item  $f(0)=30$. Ce résultat est la concentration en mg$\cdot$L$^{-1}$de la substance chimique dans l'eau potable au début de la pollution.
\item La concentration, à $10^{-2}$ près, de la substance chimique dans l’eau au bout d’une
journée est $f(24)$. $f(24)=30\e^{-\np{0.06}\times 24}\approx \np{7.11}$.
\item L’eau sera à nouveau consommable si la concentration de la substance chimique dans l’eau
est inférieure à \np [mg\cdot L^{-1}]{0,05}. Pour connaître au bout de combien de temps  nous pourrons de nouveau
consommer l’eau du robinet, résolvons $f(t)\leqslant \np{0.05}$. 

\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
30\e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \np{0.05}\\
\e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \dfrac{\np{0.05}}{30}\\
\e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \dfrac{1}{600}\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
\ln\left(\e^{-\np{0.06}t}\right)&\leqslant \ln \dfrac{1}{600}\\
-\np{0.06}t&\leqslant -\ln  600\\
t &\geqslant \dfrac{\ln 600}{\np{0.06}}\\
\end{align*}
\end{minipage}

$\dfrac{\ln 600}{\np{0.06}}\approx \np{106.615}$

Nous pouvons estimer que l'eau sera de nouveau potable  au bout de quatre jours dix heures trente-sept minutes.

{\footnotesize \emph{Remarque} si la réponse est à une heure près, la réponse est \np[h]{107}.}
\item On admet que la concentration moyenne de la substance chimique dans l’eau, lors des douze
premières heures, est donnée par la formule :
\[C=\dfrac{1}{12}\int_{0}^{12} f(t)\mathrm{d}t\]
\begin{enumerate}
\item  Vérifions que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t)=-500\e^{-0,06t}$ est une primitive
de $f$. Pour ce faire, dérivons $F$.

$F'(t)=-500\times (-\np{0.06})\e^{-\np{0.06}t}=30\e^{-\np{0.06}t}=f(t)$.

$F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Calculons la valeur exacte de $C$.

$C=\displaystyle \dfrac{1}{12}\int_{0}^{12} f(t)\mathrm{d}t=\dfrac{1}{12}\left[-500\e^{-0,06t} \right]_0^{12}=\dfrac{1}{12}\left( -500\e^{-\np{0.06}\times12}+500\right)$.

$C=\dfrac{1}{12}\left(500-500\e^{-\np{0.72}}\right)=\dfrac{125}{3}\left(1-\e^{-\np{0.72}}\right)$.
\item  Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la concentration moyenne de la substance
chimique dans l’eau, lors des douze premières heures est de $\np[mg\cdot L^{-1}]{21.39}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill 5 points}

\medskip

{\footnotesize
Une entreprise fabrique en grande série des éprouvettes de volume théorique 20 mL, destinées à être utilisées en laboratoire.

\emph{Les résultats seront donnés par des valeurs approchées, arrondies à 0,001.}
}
\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque éprouvette, associe son volume en mL.

$X$ suit une loi normale dont la densité est représentée ci-dessous.

On admet que l’écart-type de $X$ est $\sigma = 0,01$.

\begin{center}
\psset{xunit=100cm,yunit=0.14cm,arrowsize=5pt,yAxis=false,comma=true}
\scalebox{0.5}{
\begin{pspicture}(-0.012,-10)(0.07,40)
%\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=0.01,Ox=19.96]{->}(0,0)(-0.009,0)(0.09,40)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.09}
\psline[linewidth=0.75pt](0.04,0)(0.04,39.8942)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(0,0.013383)
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.02}
\psline[linewidth=0.4pt](0.02,5.3991)(0.02,0)
}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  En utilisant le graphique, l’espérance de $X$ est \textmu{} soit 20.
\item L’aire de la partie grisée sur le graphique représente la probabilité que $X$ soit inférieure à \np{19.98}, autrement dit $P(X\leqslant \np{19.98})$.
\item Calculons la probabilité que le volume de l’éprouvette soit compris entre \np[mL]{19,975}  et
\np[mL]{20,025}.

 À l'aide de la calculatrice , arrondie à $10^{-3}, P(\np{19.975}\leqslant X \leqslant \np{20.025})\approx \np{0.988}$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
{\footnotesize
Une éprouvette est dite conforme si son volume est compris entre \np[mL]{19,975}  et \np[mL]{20,025}.

Un laboratoire commande un lot de \np{1000} éprouvettes. Ces éprouvettes sont prélevées dans le stock de manière aléatoire. On considère le stock suffisamment grand pour que le prélèvement soit assimilé à un tirage aléatoire avec remise. L’entreprise assure que la probabilité qu’une éprouvette ne soit pas conforme, dans un tel stock, est de 0,012.}
\begin{enumerate}
\item  $n > 30,\ np = 12 > 5,\ np(1-p)=\np{11.856} > 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion observée  est :

\[\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]

$\Bigg[\np{0.012} - 1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.012} (1- \np{0.012} )}{\np{1000}}}~ ;~ \np{0.012} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.012} (1- \np{0.012})}{\np{1000}}}\Bigg]\approx \big[\np{0.006}~;~\np{0.018}\big]$	
	
{\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$}

\item Dans ce lot de \np{1000} éprouvettes, le laboratoire a trouvé 9 éprouvettes non conformes.

La fréquence d'éprouvettes qui ne sont pas conformes est $\dfrac{9}{\np{1000}}=\np{0.009}$.
	
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, nous pouvons dire, que la proportion 
d'éprouvettes non conformes appartient  à l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5\,\%
l’annonce faite par l’entreprise est  acceptable. 

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe à numéroter et à remettre avec la copie à la fin de
l’épreuve même non complétée }

%\smallskip

%\textbf{(placer à l’intérieur de la copie pour agrafage)}

\vspace{0.5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\textbf{\textsc{Exercice} 1 Question 2. a.}
\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en minutes : $t_i$ 	&0 		&2 	&4 	&6	&8	& 10\\\hline
$y_i=\ln(n_i)$				&9,616	&\np{9.306}	&\np{9.036}	&\np{8.795}	&\np{8.613}	&\np{8.434}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{EXERCICE }2 Question 3. a.}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Valeurs de $n$&1& 2& 3& 4\\\hline
Valeurs de $u$ &100&102&\np{104.04}&\np{106.12}\\\hline
Valeurs de $S$ &100&202&\np{306.04}&\np{412.16}\cellcolor{lightgray}\\\hline
\end{tabularx}
\label{annexe}

\medskip

\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\scalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,17000)
\multido{\n=0+100}{161}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
 \multido{\n=0+0.1}{121}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,16000)}
 \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,16000)}
\multido{\n=0+1000}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=1000]{->}(0,0)(-0.1,-100)(12.6,16500)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6, dotangle=45](0,15000)(2,11000)(4,8400)(6,6600)(8,5500)(10,4600)
\end{pspicture}
}
\end{center}
\end{document}























\end{document}