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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STL  Biotechnologies}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies  Métropole~\decofourright\\[7pt] 16 juin 2017}}
\end{center}
 
\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

%\vspace{0.25cm}

%\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}

%\medskip

\subsection*{PARTIE A}

%\medskip

Une société souhaite exploiter un nouveau détecteur qui permet de mesurer la désintégration de
noyaux radioactifs. Pour tester ce détecteur, la société l'utilise pour déterminer le nombre de
noyaux radioactifs présents dans un échantillon radioactif à des instants donnés. Voici les
résultats des relevés réalisés au cours des heures qui ont suivi le début du test:

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre $t_i$ d'heures écoulées depuis le début du test& 0& 2 &4& 6& 8& 10\\\hline
Nombre de noyaux $N_i$  détectés dans l'échantillon (en milliards)&500 &440& 395 &362& 316 &279\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  On complète le tableau ci-dessous en  arrondissant les valeurs à $10^{-3}$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 			&0 		&2 		&4 		&6 		&8 		&10 \\\hline
$y_i = \ln N_i$ &6,215 	&6,087	&5,979 	&5,892 	&5,756 	&5,631\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On représente le nuage de points de coordonnées $(t_i~;~ y_i)$ sur l'\textbf{annexe 1}.

\item Les points obtenus sont presque alignés donc un  ajustement affine est envisageable.

\item \label{equa} À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite $\mathcal D$ d'ajustement de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = at + b$, où les coefficients $a$ et $b$ sont arrondis à $10^{-3}$: $y=-0,057t+6,210$.

\item On trace alors la droite $\mathcal D$ sur l'\textbf{annexe 1}.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item  On choisit la droite $\mathcal D$ comme modèle d'ajustement du nuage de points $M_i(t_i~;~y_i )$.

%À l'aide de la question \ref{equa}, montrer alors que, pour tout réel $t$ positif ou nul, le nombre
%de noyaux, en milliards, détectés dans l'échantillon au bout de $t$ heures écoulées depuis
%le début du test, est de la forme: $A\e^{Bt}$ où $A$ (arrondi à l'unité) et $B$ (arrondi au millième)
%sont deux réels à préciser.

$y=-0,057t+6,210 \iff \ln(N)= -0,057t+6,210 \iff N=\e^{-0,057t+6,210} \\[3pt]
\phantom{y=-0,057t+6,210} \iff N=\e^{-0,057t} \times \e^{6,210} \iff N \approx 498\e^{-0,057t}$

\item La loi de désintégration assure que la fonction $f$, qui à tout réel $t$ positif ou nul, associe le
nombre de noyaux, en milliards, présents dans l'échantillon au bout de $t$ heures, est
définie par $f(t) = 500\e^{-0,06t}$ .
%Le test réalisé doit-il conduire la société à exploiter le nouveau détecteur? Pourquoi?

Le test conduit à la fonction qui à $t$ associe $498\e^{-0,057t}$ qui est proche de la fonction $f$: on peut donc utiliser ce dispositif.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{PARTIE B}

%\medskip
\def\interA{\cd 0~;~+\infty\cd}
On étudie à présent la fonction $f$ définie sur $\interA$ par 
$f(t) = 500\e^{- 0,06t}$.

\smallskip
\begin{enumerate}
\item On admet que : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{- 0,06t} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} 500 \e^{- 0,06t} = 0$ ce qui équivaut à $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} f(t) = 0$

On en déduit que la courbe représentant la fonction $f$ admet la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) comme asymptote horizontale en $+\infty$.

%Déterminer et interpréter graphiquement la limite de $f$ en $+\infty$.

\item %Calculer $f'(t$) où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
$f'(t) = 500\times (-0,06)\e^{-0,06t} = -30\e^{-0,06t} <0$ sur $\interA$.

\item $f(0)=500$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) \text{\,d}t = 0$; 
on déduit le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\interA$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \hspace*{\esp} & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{500} &    &    \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item %On rappelle que $f(t)$ est le nombre de noyaux, en milliards, présents dans l'échantillon radioactif $t$ heures après le début du test.
\begin{enumerate}
\item Le nombre de noyaux présents dans l'échantillon 24 heures après le début du test est en milliards
$f(24) \approx \np{118,463879341}$ donc il y a $\np{118463879341}$ noyaux.

\item La moitié des noyaux présents dans l'échantillon au début du test aura disparu quand $t$ sera tel que
$f(t)=250$; on résout cette équation:

$f(t)=250 \iff 500\e^{-0,06t} = 250 \iff \e^{-0,06t} = 0,5 \iff -0,06 t = \ln(0,5) \iff $

$t= -\dfrac{\ln(0,5)}{0,06}$

Or $ -\dfrac{\ln(0,5)}{0,06} \approx 11,6$ donc la moitié des noyaux présents aura disparu au bout de 12 heures.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}
    
\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

%\vspace{0.25cm}

On s'intéresse à une modélisation de la concentration d'un médicament, injecté dans le sang d'un patient, en fonction du temps.
À 7 heures du matin, on injecte le médicament au patient. Toutes les heures, on relève la
concentration de médicament dans le sang, exprimée en $\micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$. À l'injection, cette concentration est égale à \np[\micro g\cdot mL^{-1}]{3,4}.

Le nuage de points ci-dessous donne la concentration de ce médicament dans le sang en fonction du temps écoulé depuis l'injection.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.6cm,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,-0.9)(6,4.5)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=1,Dy=1,labels=x]{-}(0,0)(6,4)
\multido{\n=0+0.500}{9}{\uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}}
\psdots[dotstyle=square,fillcolor=gray,dotscale =1.4,dotangle=45](0,3.4)(1,2.72)(2,2.176)(3,1.741)(4,1.393)(5,1.114)
\uput[r](0.1,3.4){\np{3.400}} \uput[r](1.1,2.72){\np{2.720}}\uput[r](2.1,2.176){\np{2.176}}\uput[r](3.1,1.741){\np{1,741}}\uput[r](4.1,1.393){1,393}\uput[r](5.1,1.114){1,114}\uput[d](3,-0.25){\footnotesize temps en heures} \uput[l](-0.5,2){\rotatebox{90}{\footnotesize Concentration en $\micro \mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

%\medskip

\subsection*{PARTIE A}

%\medskip

Dans cette partie, on modélise la concentration de ce médicament par une fonction définie sur l'intervalle [0~;~5].

Parmi les trois modélisations proposées, une seule est correcte. %Laquelle? Justifier.

\textbf{a~~}$f :x\longmapsto  0,6x+3,4$\hfill
\textbf{b~~} $g: x \longmapsto 3,4\e^{ -0,223x}$\hfill
\textbf{c~~} $h: x\longmapsto \dfrac{9}{3+x}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $f$ est croissante donc ne peut modéliser la concentration du médicament.
\item $h(0)=3 \neq 3,4$ donc la fonction $h$ ne modélise pas la concentration du médicament.
\item C'est donc la fonction $g$ qui modélise la concentration du médicament.
\end{list}

%\medskip

\subsection*{PARTIE B}

%\medskip

Dans cette partie, on choisit de modéliser la concentration du médicament par une suite, en prenant, pour valeurs des trois premiers termes de la suite, les valeurs données par le graphique placé avant la partie A.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la concentration, exprimée en $\micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$, au bout de $n$ heures, de ce médicament dans le sang.% Une partie de ce médicament est éliminée toutes les heures.
	\begin{enumerate}
		\item  Par lecture du graphique: $C_0=3,400$, $C_1=2,720$ et $C_2=2,176$.
		\item %Que peut-on alors conjecturer sur la nature de la suite $\left(C_n\right)$ ? Pourquoi ?
$\dfrac{C_1}{C_0}= \dfrac{2,72}{3,4} = 0,8$ et $\dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{2,176}{2,72\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=0,8$ donc $C_0$, $C_1$ et $C_2$ sont les premiers termes d'une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $C_0=3,4$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
On admet qu'à chaque heure, la concentration du médicament restante baisse de 20\,\%.

\begin{enumerate}[resume]
\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Baisser de 20\,\%, c'est multiplier par $0,8$ donc la suite $(C_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $C_0=3,4$ donc, pour tout $n$, $C_n=C_0\times q^n = 3,4\times 0,8^n$.

\item% Déterminer alors la limite de la suite $\left(C_n\right)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et $0<0,8<1$ donc la suite $(C_n)$ a pour limite 0 quand $n$ tend vers l'infini.

La concentration du médicament tend vers 0 quand le temps augmente indéfiniment.

\item Soit l'algorithme suivant:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
\textbf{Variables:}\\[5pt]
\hspace*{1.2em}$n$ entier naturel\\
\hspace*{1.2em}$C$ réel\\[5pt]
\textbf{Initialisation :}\\[5pt]
\hspace*{1.2em}Affecter à $n$ la valeur 0\\
\hspace*{1.2em}Affecter à $C$ la valeur 3,4\\[5pt]
\textbf{Traitement:}\\[5pt]
\hspace*{1.2em}Tant que $C$ est supérieur à 1\\
\hspace*{3.2em}Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\
\hspace*{3.2em}Affecter à $C$ la valeur $0,8\times C$\\
\hspace*{1.2em}Fin tant que\\[5pt]
\textbf{Sortie:}\\[5pt]
\hspace*{1.2em}Afficher $n$\\[5pt]
\end{tabular}
}
\end{center}

%Quelle valeur affiche l'algorithme ? Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
Dans l'algorithme, la variable $C$ correspond à la concentration $C_n$ au bout de $n$ heures.

On fait tourner l'algorithme en arrondissant les résultats au centième:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*8{>{\ca}X|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \textcolor{red}{6} \\
\hline
$C_n$ & $3,4$ & $2,72$ & $2,18$ & $1,74$ & $1,39$ & $1,11$ & \textcolor{red}{$0,89$} \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Au bout de 6 heures, la concentration du médicament devient inférieure à 1 \micro g.mL$^{-1}$.

\emph{Remarque} - On peut aussi résoudre l'inéquation $C_n \pp 1$ c'est-à-dire $3,4\times 0,8^n \pp 1$.

\item Pour des raisons d'efficacité, le patient reçoit immédiatement une nouvelle injection de médicament dès que, lors d'un relevé à une heure donnée, la concentration $\boldsymbol{c}$ du médicament dans le sang est inférieure ou égale à \np[\micro \mathrm{g}\cdot mL^{-1}]{1}. À la nouvelle injection, la concentration du médicament dans le sang est alors égale à $\boldsymbol{c} + 3,4\, \micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Le patient devra-t-il recevoir une deuxième injection dès la 6\ieme{} heure.
		\item d'après le tableau de la question précédente, la 6\ieme{} heure avant la deuxième injection le taux de médicament dans le sang est de $0,89$~$\micro$g.mL$^{-1}$; après la deuxième injection, la concentration est de $0,89 + 3,4 = 4,29$ soit en arrondissant: $4,3~\micro$g.mL$^{-1}$

%On arrondira le résultat à \np[\micro g\cdot mL^{-1}]{0.1}.

		\item% À quelle heure le patient devra-t-il recevoir une troisième injection?
On continue le processus, en arrondissant au dixième:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*8{>{\ca}X|}}
\hline
$n$ & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \textcolor{red}{13} \\
\hline
{\small Concentration} & $4,3$ & $3,4$ & $2,7$ & $2,2$ & $1,8$ & $1,4$ & $1,1$ & \textcolor{red}{$0,9$} \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il faudra donc procéder à une troisième injection dès la 13\ieme{} heure.

\emph{Remarque} - On peut également résoudre l'inéquation d'inconnue $n$: $4,3\times 0,8^n \pp 1$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

%\vspace{0.25cm}

La Direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques (Drees) affirme qu'en France : 7 adultes sur 10 portent des lunettes.
On prélève au hasard un échantillon de 40 adultes parmi la population française. On assimile ce
prélèvement à un tirage avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe le nombre de porteurs de
lunettes dans l'échantillon.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  %Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de porteurs de lunettes suit une loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=\dfrac{7}{10}=0,7$.

\item La probabilité qu'il y ait au moins 30 porteurs de lunettes dans un tel échantillon de 40 adultes est $p5X\pg 30)$; à la calculatrice, on trouve, arrondi à $10^{-3}$, $0,309$.

% On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.

\end{enumerate}
On admet que la loi binomiale de la variable aléatoire $X$ précédente peut être approchée par une loi normale de paramètres \textmu{} et $\sigma$.
\item On a représenté ci-dessous un diagramme en bâtons et une courbe $\mathcal C$. L'une de ces deux représentations est la représentation de la loi binomiale suivie par $X$; l'autre celle de la loi normale de paramètres \textmu{} et $\sigma$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=40cm,arrowsize=5pt,yAxis=false}
\begin{pspicture*}(17,-0.02)(42,0.14)
  %\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
  \psaxes[Dx=2,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(40,0.20)
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=28,sigma=2.898]{18}{40}
  \psBinomial[linewidth=1.2pt,markZeros,fillstyle=vlines]{40}{0.7}  
  \rput(23,0.06){\red $\mathcal C$}
\end{pspicture*} 

\end{center}

\begin{enumerate}
\item La loi binomiale est associée au diagramme en bâtons car c'est une loi discrète.

La loi normale est continue, elle est donc associée à la courbe $\mathcal C$.

\item La courbe $\mathcal C$ est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=\mu$; par lecture graphique on peut dire que $\mu=28$.

\item On affirme que l'écart type $\sigma$ de la loi normale est égal à 8. %Cette affirmation est-elle correcte ? Pourquoi ?

On sait que, si $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, $p(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$, ce qui donnerait avec $\mu=28$ et $\sigma=8$: $p(20\pp X \pp 36)\approx 0,68$.

Il faudrait donc que l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=20$ et $x=28$ soit égale à $0,68$, sachant que l'aire totale sous la courbe est égale à 1. C'est mainfestement faux donc l'écart-type n'est pas égal à 8.

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item%  Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des porteurs de lunettes dans un échantillon aléatoire de 40 adultes en France. On arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
$n=40 \pg 30$, $np=40\times 0,7=28\pg 5$ et $n(1-p) = 40\times 0,3 = 12 \pg 5$ donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation à 95\,\%:

\smallskip

$I = \left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]
= $

$\left [ 0,7-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,7\times 0,3}{40}}~;~0,7+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,7\times 0,3}{40}}\right ] \approx \cd 0,558~;~0,842 \cg$

\smallskip

\item Dans un échantillon de 40 adultes en France, on compte 24 porteurs de lunettes, ce qui fait une fréquence de $f=\dfrac{24}{40}=0,6$.
%Déduire de la question précédente si cet échantillon remet en cause l'affirmation de la Drees qui figure au début de l'exercice.

$f\in I$ donc cet échantillon ne remet pas en cause l'affirmation de la Drees.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}
    
\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

%\vspace{0.25cm}
\def\interA{\cd 0~;~7\cg}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\interA$ par 
$f(x) = 20x\e^{-x}\qquad \text{ et }\qquad g(x)= 20x^2\e^{-x}$.

 On note $C_f$ et $C_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$ représentées en \textbf{annexe 2}.

\begin{enumerate}
\item  On note :

\begin{itemize}
\item  $D_1$ l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites  d'équations $x = 1$ et $x = 3$ ;
\item $D_2$ l'aire du domaine délimité par les courbes $C_g$, $C_f$ et les droites d'équation $x = 3$
et $x = 6$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  On hachure les domaines $D_l$ et $D_2$ sur le graphique donné en \textbf{annexe 2}.
\item% Encadrer, par deux entiers consécutifs, les aires, en unités d'aire, des domaines $D_1$ et $D_2$.
%\emph{Il paraît très difficile d'encadrer les domaines $D_1$ et $D_2$ par deux entiers consécutifs en déterminant des polygones intérieurs et extérieurs aux domaines; ou alors il faut faire des découpages \og audacieux \fg{}.}
On encadre la première surface par deux trapèzes de même hauteur 2 et de bases respectives 3 et 7 pour l'intérieur (en vert) et 3 et 8 pour l'extérieur (en rouge), ce qui donne :

\[\dfrac{3 + 7}{2} \times 2 = 10 < D_1 < \dfrac{3 + 8}{2}{2} = 11.\]

%On trouve néanmoins $10<D_1<11$ et  $10<D_2<11$.

La deuxième surface est plus délicate à encadrer. En utilisant pour l'intérieur les points de coordonnées (3~;~3) (3~;~9) (4,5~;~4,5) (6~;~1,5) (6~;~0,5) (4,5~;~1) et pour l'extérieur les points de coordonnées (3~;~3) (3~;~9) (4,5~;~4,5) (6~;~1,5) (6~;~0,5) (4,5~;~1) on obtient l'encadrement 

\[10,625 < D_2 < 11,5.\]

On trouve donc une aire proche de 11. 
\end{enumerate}
\item La commande $Int(f(x),x,a,b)$ d'un logiciel de calcul formel permet de calculer la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$.
 On obtient alors les résultats suivants pour quatre intégrales:

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.7}

\begin{tabular}{|c| m{7cm}|}
\hlinewd{1mm}
1& $Int(20x\e^{-x} ,x,1,2)$\\\hline
&$40\e^{-1}-60\e^{-2}$\\\hlinewd{1mm}
2&$Int(20x\e^{-x}, x,2,3$)\\\hline
&$60\e^{-2}-80\e^{-3}$\\\hlinewd{1mm}
3& $Int(20x\e^{-x}, x,3,6)$\\
&$80\e^{-3} -140\e^{-6}$\\\hlinewd{1mm}
4& $Int(20x^2\e^{-x} ,x,3,6)$\\
&$340\e^{-3} -\np{1 000}\e^{-6}$\\\hlinewd{1mm}

\end{tabular}

\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les aires des domaines $D_1$ et $D_2$ en justifiant la réponse. On donnera les valeurs exactes.
La fonction $f$ est positive sur $\cd 1~;~3\cg$ donc $D_1 = \ds\int_{1}^{3} f(x) \d x$:	
		
$D_1 = \ds\int_{1}^{3} f(x) \d x	= \ds\int_{1}^{2} f(x) \d x + \ds\int_{2}^{3} f(x) \d x
= 	\left (40\e^{-1}-60\e^{-2}\right ) + \left (60\e^{-2}-80\e^{-3} \right )\\[5pt]
\phantom{D_1}
= 40\e^{-1}-80\e^{-3}$~U.A.

\smallskip

La fonction $g$ est supérieure à $f$ sur $\cd 3~;~6\cg$ donc $g-f>0$ et donc $D_2 = \ds\int_{3}^{6} \left ( g(x)- f(x)\right ) \d x	$:

$D_2 = \ds\int_{3}^{6} \left ( g(x)- f(x)\right ) \d x	
= \ds\int_{3}^{6} g(x) \d x	 - \ds\int_{3}^{6}  f(x) \d x	
=$

$D_2 = \left (340\e^{-3} -\np{1 000}\e^{-6} \right ) - \left ( 80\e^{-3} -140\e^{-6}\right )
= 340\e^{-3} -\np{1 000}\e^{-6}  -  80\e^{-3} +140\e^{-6}
= $

$D_2 =260\e^{-3} - 860\e^{-6}$~U.A.
		
		\item% Comparer les valeurs des deux aires obtenues.
$D_1= 40\e^{-1}-80\e^{-3} \approx 10,73$ et $D_2 = 260\e^{-3} - 860\e^{-6} \approx 10,81$ donc $D_1<D_2$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\section*{Annexe 1 \hspace{1em}(exercice 1)}

\textbf{(À rendre avec la copie)}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(19,1)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.8)}
\multido{\n=0+0.1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=5.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(19,0.8)
\uput[dr](0,0.8){$y_i$}\uput[ur](18.5,0){$t_i$}
\psset{unit=1cm}
\psdots[linecolor=red](0,6.215)(2,6.087)(4,5.979)(6,5.892)(8,5.756)(10,5.631)
\psplot[linecolor=blue]{0}{18}{6.21 0.057 neg x mul add}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\section*{Annexe 2\hspace{1em}(exercice 4)}

\textbf{(À rendre avec la copie)}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,13)
\multido{\n=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,12.1)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(7.1,\n)}

\def\f{2.71828 x neg exp x mul 20 mul }
\def\g{2.71828 x neg exp x 2 exp mul 20 mul}

\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=4000]{1}{3}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{1}{0}
\closepath
}

\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]
{\psplot[plotpoints=4000]{3}{6}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{6}{3}{\g}
\closepath
}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=1]{->}(0,0)(7.3,12.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{7}{\g}

\uput[ur](0.2,5.9){\blue $C_f$}\uput[ur](2.5,9){\cyan $C_g$}
\rput*(2,2){\red \large $D_1$} \rput*(4.5,2.8){\blue \large $D_2$}
\pspolygon[linecolor=green,linewidth=1.5pt](1,0)(1,7)(3,3)(3,0)
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0.98,0)(0.98,8)(3.02,3)(3.02,0)
\pspolygon[linecolor=green,linewidth=1.5pt](3.02,3.02)(3.02,8.98)(4.48,4.48)(5.98,1.48)(5.98,0.48)(4.48,0.98)
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2.98,2.98)(2.98,9.02)(4.02,6.02)(4.52,4.52)(5.5,2.48)(6.02,2.02)(6.02,0.02)(4.5,0.98)(3.5,1.98)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}
\end{document}