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%Source : académie de Guyane
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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\begin{document}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat},
pdftitle = {Antilles-Guyane STL juin 2014 correction},
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small Antilles-Guyane}
\rfoot{\small 18 juin 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies 18  juin 2014~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} 

\medskip

{\footnotesize
Des scientifiques étudient la croissance de plants de tomates d’une variété donnée après plantation.
Ils ont établi que la hauteur des plants en centimètres peut être modélisée en fonction du temps par la
fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f (t)=\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08t}+1}\]
où $t$ est le temps en jours après le jour de plantation.
}
\bigskip

\textbf{PARTIE A : ÉTUDE DE LA FONCTION \boldmath{$f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculons la hauteur des plants le jour où ils sont plantés, c’est-à-dire $f (0)$.

 $f(0)=\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08\times 0}+1}=\dfrac{120}{5+1}=20$.
 
Les plants ont \np[cm]{20} le jour de leur plantation.
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminons $\displaystyle \lim_{ t\to +\infty}f(t)$.
\[\lim_{t\to +\infty}\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08t}+1}=\lim_{t\to +\infty}120\times \lim_{t\to +\infty}\dfrac{1}{5\e^{-0 ,08t}+1}=120\times \dfrac{1}{5\times 0+1}=120\]
 (puisque  $\displaystyle \lim_{ t\to +\infty } \e^{-0,08 t}= 0$).
	\item  

La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y=120$ comme asymptote au voisinage de l'infini puisque $f$ admet une limite finie lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

Cette asymptote  est tracée ci-dessous. 
%sur une feuille de papier millimétré fournie%

 {\footnotesize(\emph{échelle : 1 unité pour 10 jours en abscisse et 1 unité pour \np[cm]{10}  en ordonnée. L'unité choisie est le centimètre.)}}
 %Note : le graphique sera complété par la suite.}
	\item Nous pouvons traduire cela en affirmant qu'à partir d'une certaine date nous ne pouvons plus constater la croissance d’un plant. Le plant aura une taille maximale de \np[cm]{120}. 
	\end{enumerate}
\item Calculons la dérivée de $f$. 

$f=120\times\dfrac{1}{v}$ où   $v(t)= 5\e^{\np{-0.08}t}+1$.

 Par conséquent $f'=120\times\dfrac{-v'}{v^2}$ et $v'(t)=5\times \left(-\np{0.08}\e^{-\np{0.08}t}\right)=-\np{0.4}\e^{-\np{0.08}t}$.

Il en résulte $f'(t)=120\times\dfrac{-(-\np{0.4}\e^{-\np{0.08}t})}{(5\e^{-0 ,08t}+1)^2}$ ou 
en simplifiant  $f'(t)=\dfrac{48\e^{-0,08t}}{(5 \e^{-0,08t}+1)^2}$.

Nous obtenons bien ce qu'il fallait montrer.
\item Étudions le signe de $f^\prime$ sur $[0~;~+\infty[$.

Pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+\infty[$, $f'(t)$ est strictement positif comme somme, produit et quotient de nombres strictement positifs.
\item Étudions le sens de variation de $f$. 

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~+\infty[$, $f'$ étant strictement positive, $f$~est donc strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons alors le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1.1,0)(1.1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](7.57,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$+$}%\uput[u](6.6,2){$-$}
\rput(0.52,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.45,0.51){$20$}\uput[ur](7.2,1.55){$120 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item Le tableau de valeurs de la fonction $f$ est complété sur celui donné en \textbf{Annexe 1}.
\item La courbe représentative de $f$ est tracée  dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(160,130)
\multido{\n=0+5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(160,\n)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,125)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(160,126.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=10,linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(160,126.5)
\def\FF{ 120 5 2.71828 x 0.08  mul neg  exp mul 1 add div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{0}{160}{ \FF}
\psplot[linecolor=violet,linewidth=1.25pt,plotpoints=1000]{0}{160}{120}
\uput[dl](-1,-1){O}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt ]{->}(!0 /x 6.3853 def \FF)(!6.3853 /x 6.3853 def \FF)(6.3853,0)
\uput[u](164,0.5){\footnotesize $t$ en jours}\uput[ur](-5,126){\footnotesize hauteur  en cm}
\uput[u](6.3853,-7){\footnotesize $\approx 6,4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{PARTIE B : EXPLOITATION}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'inéquation permettant de déterminer au bout de combien de jours le plant mesurera plus
de \np[cm]{30} de haut est $f(t)>30$.
\item Résolvons cette inéquation 

%(\emph{on donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à l’unité du résultat}).
\begin{minipage}[t]{0.4 \linewidth}
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08t}+1}&>30&\\[2 ex]
\dfrac{4}{5\e^{-0 ,08t}+1}&>1&\text{\footnotesize division par 30}\\[2 ex]
5\e^{-0 ,08t}+1&<4&\\ 
 \e^{-\np{0.08}t}&<\dfrac{3}{5}& \\
\end{array}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.55 \linewidth}
$\begin{array}{rcl}
\e^{\np{0.08}t}&> \dfrac{5}{3}&\text{\footnotesize passage à l'inverse}\\[2ex]
 \np{0.08}t&>\ln \dfrac{5}{3}& \ln \text{\footnotesize strictement croissante  sur }]0~;~+\infty[\\[2ex]
 t&>\dfrac{ \ln \left(\frac{5}{3}\right)}{\np{0.08}} \\[2ex]
\end{array}$
\end{minipage}

$\dfrac{ \ln \left(\frac{5}{3}\right)}{\np{0.08}} \approx 6,385$.

À partir d'environ sept jours, le plant aura atteint une hauteur de  plus de \np[cm]{30}.

\item Pour retrouver le résultat du \textbf{2.}, nous allons chercher la valeur pour laquelle $f(t)=30$. 

Cette solution sera la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle le plant dépassera \np[cm]{30}.

 En utilisant 
\begin{itemize}
\item la courbe représentative de $f$. Nous lisons l'abscisse du point d'intersection de la droite d'équation $y=30$ avec la courbe. Nous obtenons environ 6,4. 
\item la calculatrice. Nous dressons la table des valeurs de la fonction $f$ en utilisant un pas de 0,1. Pour 6,3 nous obtenons \np{29.85} valeur inférieure à 30. Pour 6,4 nous obtenons \np{30.03} valeur supérieure à 30. La solution est entre ces deux valeurs 6,3 et 6,4.
\end{itemize}
%ou (Dans les deux cas, on explicitera la démarche suivie).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C : ALGORITHME }

\medskip
{\footnotesize
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{5.1cm}
\textbf{\uline {Initialisations}}

$t$ prend la valeur 0\\
$f$ prend la valeur 20\\

\textbf{\uline{Traitement}}

\textbf{Tant que \boldmath $f < 30$}\\
\phantom{mmm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\
\phantom{mmm}$f$ prend la valeur $\dfrac{120}{5\e^{-0,08t}+1 }$
   
\textbf{Fin Tant que}

\vspace{1ex}

\textbf{\uline{Sortie}}

Afficher $t$
\end{minipage}
}
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item  L’entrée dans la boucle \textbf{Tant que} de cet algorithme dépend d’une condition. 
Elle se fait lorsque $f$ est strictement inférieure à 30 et la sortie lorsque $f$ est au moins égal à 30. 
\item Les trois premières valeurs de la variable $t$  sont 0, 1 et 2. Nous obtenons pour  les valeurs correspondantes de la
variable $f$, respectivement 20, 21 et 23 (\emph{\footnotesize les résultats étant arrondis à l’unité}).
\item La valeur de $t$ affichée à la fin de l’algorithme est 7.  Cette valeur  représente concrètement le nombre de jours qu'il faut attendre pour que le plant dépasse \np[cm]{30}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x) = 2x \ln(x) + x $.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f $ de cette fonction dans un repère orthonormé est donnée en \textbf{Annexe 2}.

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par    $F(x) = x^2 \ln(x)$ est une primitive de $f$ lorsque $F'=f$.
\[F'(x)=2x\ln(x)+x^2\times \left(\dfrac{1}{x}\right)=2x\ln x+x=f(x).\]
$F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Calculons $\displaystyle A = \int_{1}^{ 2}  (2x \ln(x) + x) \mathrm{d}x  $

\[A=\left[x^2\ln x \right]_1^2=2^2\ln 2-\left( 1^2 \ln 1 \right)=4\ln 2.\]

%(\emph {on donnera la valeur exacte du résultat, puis une valeur approchée à  $10^{-2}$ près})
$A=4\ln 2\approx \np{2.77}$.
\item Sur l'intervalle [1~;~2] $f$ est strictement positive, par conséquent  cette intégrale correspond  sur le graphique de l’\textbf{Annexe 2 } à l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x=2$.

Ce domaine est hachuré sur le graphique de l'annexe 2.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

{\footnotesize
\medskip
\emph{\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\smallskip

Production de l’antibiotique spiramycine.

\smallskip

L’espèce \emph{Streptomyces ambofaciens} a été sélectionnée pour sa production de spiramycine. Cet
antibiotique est obtenu par la fermentation de la \emph{Streptomyces ambofaciens} en bioréacteur.

Afin de prévoir au mieux la production de cet antibiotique, on cherche le développement de la
\emph{Streptomyces ambofaciens} dans le bioréacteur.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

À $t=0$ heure, la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} est mesuré à \np[g/l]{3.10}. Puis, à $t= \np[h]{1}$, elle est
mesurée à \np[g/l]{3,22}.

En conséquence dans cette partie, on suppose que la concentration augmente de 4\,\% par heure.
\begin{tabbing}
On note : \qquad\=  $c_0$ la concentration au temps $t=0$, et $c_0 = 3,10$ .\\
  \> $c_1$ la concentration au temps $t=1$\\
\>\qquad \dots \\
 \> $c_n$ la concentration au temps $t= n$\\
\end{tabbing}

\emph{Tous les résultats de cette partie sont arrondis au centième.}
}
\begin{enumerate}
\item 
À une augmentation de 4\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{4}{100}$ soit \np{1.04}.

 $c_1=\np{3.10}\times \np{1.04}\approx\np{3.22} $,  $c_2=\np{3.22}\times \np{1.04}\approx\np{3.35}$ et  $c_3=\np{3.35}\times \np{1.04}\approx\np{3.48}$.
\item  $c_{n +1}= c_n \times \np{1.04}$.
\item La suite $\left(c_n\right)$ est par définition une suite géométrique de raison \np{1.04} et de premier terme \np{3.10}.
\item  Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$c_{n}=\np{3.10}\times(\np{1.04})^n$.
\item  Si la fermentation se produit pendant 24 heures,  la concentration \emph{Streptomyces ambofaciens}
au bout de \np[h]{24} est~$c_{24}$.  $c_{24}=\np{3.10}\times(\np{1.04})^{24}\approx \np{7.95}$.

La concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} au bout de \np[h]{24} est d'environ $\np[g/l]{7.95}$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
{\footnotesize
Après \np[h]{24} le milieu est renouvelé au sein du bioréacteur, à partir de ce moment on obtient le relevé suivant :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Heures								&24 	&29	  &32	&34  &36	&38		&40\\\hline
Rang de l’heure :  $x_i$			&0		&5	  &8	&10	 &12	&14		&16\\\hline
Concentration de \emph{Streptomyces
 ambofaciens }:  $y_i$				&7,95	&11,05&12,05&13,45&14,15&15,45	&16,75\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal, construisons le nuage de points  $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$. {\footnotesize En abscisse, pour le rang de l’heure, on prendra comme échelle \np[cm]{1}  pour 2 heures et en ordonnée \np[cm]{1} pour \np[g/l]{2} ; on
positionnera l’intersection des axes de coordonnées au point de coordonnées (0~;~7).}
\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[\overline{x_G} = \frac{0+5+\dots+14+16}{7}\approx \np{9.3} \quad \overline{y_G} = \frac{\np{7.95}+\np{11.05}+\dots+\np{15.45}+\np{16.75}}{7}\approx\np{13.0}\]

G$\left(\np{9.3}~;~\np{13.0} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
\item À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.53}x+\np{8.03}$. \emph{\footnotesize Les coefficients sont arrondis à  $10^{-2}$ près}.
\item  On décide d’ajuster le nuage avec la droite (D) d’équation $y = 0,53x +8,03$.
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) est tracée dans le repère précédent.
		\item En utilisant cet ajustement affine, une estimation  par une méthode graphique de la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} au bout de \np[h]{48} sera l'ordonnée du point de (D) d'abscisse 24, rang de l'heure correspondant à 48. Nous lisons environ \np{20.8}.
Au bout de \np[h]{48}, la concentration sera d'environ \np[g/l]{20,8}.
%(la réponse sera accompagnée de tracés sur le graphique).
		\item Pour déterminer à partir de quelle heure la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} dépassera \np[g/l]{30}, résolvons $\np{0.53}x+\np{8.03} = 30$.

$\np{0.53}x+\np{8.03}=30 \iff \np{0.53}x=30-\np{8.03} \iff x=\dfrac{30-\np{8.03}}{\np{0.53}}\approx \np{41.45}$.

À partir de \np[h]{66}, la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} dépassera \np[g/l]{30}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(29,22)
\psaxes[Ox=0,Oy=7,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(28.7,21.32)
\multido{\n=0+1}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,21)}
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,0.95)(5,4.05)(8,5.05)(10,6.45)(12,7.15)(14,8.45)(16,9.75)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{28}{x 0.53  mul 1.03 add }
\uput[u] (27.5,15.4){(D)}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](9.2857,5.9786)
\uput[ul](9.2857,5.9786){\textcolor{red}{$G$}}
% \uput[l](0,92){\scriptsize\textcolor{violet}{$\approx \np{3690}$}}
\def\Func{x 0.53 mul 1.03 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 24 def \Func)(!24 /x 24 def \Func)(24,0)
\rput(2,22.60){\footnotesize Concentration en g/l }
\rput(3,21.9){\footnotesize de \emph{ Streptomyces ambofaciens}}
\rput(27,0.43){\footnotesize rang de l'heure}
\uput[dl](-0.3,-0.3){O}\uput[dl](0,13.75){\textcolor{violet}{\scriptsize $\approx\np{20.8}$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\vspace{0.3cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\textbf{
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.\\
Toutes les probabilités seront données à \boldmath{$10^{-3}$} près.}

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

Une entreprise agroalimentaire dispose d’un parc de machines d’ensachage toutes identiques.

La durée de vie en année d’une machine d’ensachage est une variable aléatoire X qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

On rappelle que :    $ P( X\leqslant a)=1 -  \e^{-\lambda a}$

Sur l’\textbf{Annexe 3}, on donne la courbe de la fonction représentative $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par   $f(t)= \lambda\e^{-\lambda t }$.
\begin{enumerate}
\item Caractérisation de la loi.
	\begin{enumerate}
	\item Graphiquement sur l’\textbf{Annexe 3} la probabilité $P(X > 20)$ est l'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=20$.
	\item Pour déduire du graphique la valeur de $\lambda$, nous lisons la valeur de $f(0)$ soit \np{0.1}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item   La probabilité qu’une machine d’ensachage tombe en panne entre la dixième et la vingtième année est 

   $ P( 10< X \leqslant 20)$.
\begin{align*}
P( 10< X \leqslant 20)&=P(X \leqslant 20)- P(X \leqslant 10)\\
&=1 -\e^{-\np{0.1}\times 20}-\left(1- \e^{-\np{0.1} \times 10}\right)\\
&=1-\e^{- 2}- \left(1-\e^{-1}\right)\\
&=\e^{-1}-\e^{-2}\\
&\approx~\np{0.233}
\end{align*}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
{\footnotesize 
L’entreprise lance une production de paquets de préparation pour pancakes. Les paquets doivent contenir
\np[g]{650}  de préparation. On considère qu’un paquet est commercialisable s’il contient entre \np[g]{648} et \np[g]{652}.

On considère que la quantité Q, exprimée en grammes (g), de préparation réellement introduite dans les
paquets par une machine d’ensachage suit une loi normale d’espérance $\mu= 650$ et d’écart-type $\sigma= 1$.

A l’aide d’un logiciel, on obtient les résultats suivants :
}
\medskip

\framebox[\linewidth]{
\psset{xunit=2.05cm,yunit=9cm,arrowscale=1.5,comma=true,}
\begin{pspicture}(-4,-0.05)(3.6,0.475)
\psaxes[Ox=650,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-3.6,-0.028)(3.2,0.43)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{-1}{x 0 1 GAUSS}
\psline(-1,0.24197)(-1,0)
}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(2,0)(2,0.05399)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{2}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
}
\uput[l](-2.7,0.07){\fbox{Zone A}}\psline{->}(-2.765,0.07)(-1.5,0.06)
\uput[u](2,0.11){\fbox{Zone B}}\psline{->}(2,0.129)(2.3,0.015)
\uput[u](-2.45,0.11){\footnotesize $P(X \leqslant 649)=\np{0.1587}$}
\uput[ur](2.09,0.06){\footnotesize $P(X \geqslant 652)=\np{0.023}$}
\uput[d](0,-0.01){\scriptsize 650}
\end{pspicture}
}

\medskip



\begin{enumerate}
\item  Déterminons la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la
production a pour masse entre \np[g]{649} et \np[g]{652} c'est-à-dire $P(649<X<652)$.

$P(649<X<652)=1-\left(P(X\leqslant 649)+P(X\geqslant 652)\right)$.

En utilisant les renseignements fournis sur le graphique 

$P(649<X<652)=1-\left(\np{0.1587}+\np{0.023}\right)=\np{0.8183}$.
\item Calculons la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la production a
pour masse moins de \np[g]{648}. En utilisant la calculatrice, $P(X < 648)=\np{0.023}$.

{\footnotesize \emph{remarque :}  La courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, $P(x\leqslant \mu - t)=P(X\geqslant \mu+t)$. \\
Par conséquent $P (X\leqslant 650-2)=P(X\geqslant 650+2)$. Or nous avons $P(X\geqslant 650+2)=\np{0.023}$, d'où le résultat.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip
Les réglages de la machine d’ensachage ont été modifiés dans l’objectif d’obtenir une proportion $ p = 97\,\%$
de paquets de préparation commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un premier échantillon
de 400 paquets fabriqués.
\begin{enumerate}
\item  En supposant que cet objectif a été atteint déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95\,\% de la proportion de paquets de préparation commercialisables dans un échantillon de
taille 400.

		 \[\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~;~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]
		 
 $\Bigg[\np{0.97} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.97} (1- \np{0.97} )}{400}}~;~ \np{0.97} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.97} (1- \np{0.97} )}{400}})\Bigg]\approx \big[\np{0.9532}~;~\np{0.9867}\big]$	

\item Parmi les 400 paquets de l’échantillon, 381 sont commercialisables soit une proportion de $\dfrac{381}{400}\approx \np{0.9525}$.

Cette valeur n'appartient pas à l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, nous pouvons estimer au seuil de 95\,\% que l’objectif n'a pas été atteint.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 1 \hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 1 :~} Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $f$ } 

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t$&0&10&20&30&40&50&60\\\hline
$f(t)$&20&\np{37.0}&\np{59.7}&\np{82.6}&\np{100.0}&\np{110.0}&\np{115.2}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{-2ex}
{\footnotesize Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près}

\vspace{0.3cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 2 \hspace{1em}À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$} 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,6.5)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.3,\n)(4.3,\n)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.3)(\n,6)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(4.5,6.2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.0001}{2.28}{2 x mul x ln mul x add}
\uput[l](-0.75,6){\boldmath{$f(x)$}}  \uput[dl](3,6){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[dr](4.1,-0.35){\boldmath{$x$}}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=0.95pt]{
\psline[linewidth=0.1pt](1,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{1}{2}{ 2 x mul x ln mul x add }
\psline (2,4.7725888)(2,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE~3\hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}\textbf{\textsc{Exercice 4 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=40cm,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(30,0.16)
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-1.9,-0.01)(30.3,0.155)
 \multido{\n=-2+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.005)(\n,0.155)}
 \multido{\n=0+0.01}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-2,\n)(30.1,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=2000]{0}{30.1}{ 2.71828 x 0.1 neg mul exp 0.1 mul }
 \uput[dl] (0,0.156){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](30,-0.0015){$x$}
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\psline[linewidth=0.001pt](20,0)(20,0.0135335)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{20}{30}{2.71828 x 0.1 neg mul exp 0.1 mul}
\psline[linewidth=0.0001pt,linecolor=orange](30,0.004978)(30,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}