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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small Polynésie }
\rfoot{\small juin 2014}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014~\decofourright\\[4pt]Polynésie}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.}
\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes à essais destinés à des laboratoires.

L'objectif de l'exercice est d'analyser la qualité de la production.

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip

La direction de l'entreprise affirme que la probabilité qu'un tube à essais ait un défaut  est
égale à 0,04.

On prélève au hasard 100 tubes à essais dans la production. La production est assez
importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100 tubes à essais, associe le
nombre de tubes à essais présentant  un défaut.

\begin{enumerate}
\item  La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues, le tube possède un défaut ou non, de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 
Le nombre $n$ de prélèvements est 100 et la probabilité que le tube à essais ait un défaut est \np{0.04}.

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (100~;\ \np{0.04}) par conséquent $p(X=k)=\binom{100}{k}(\np{0.04})^k(\np{0.96})^{100-k}$.

\item Déterminons la probabilité de l'évènement A : \og Le prélèvement contient exactement 5 tubes à essais présentant un défaut\fg. 

$p(\text{A})=p(X=5)=\dbinom{100}{5}(\np{0.04})^5(\np{0.96})^{95}\approx \np{0.160}$.
\item Déterminons la probabilité de l'évènement B : \og Le prélèvement contient au plus 2 tubes à essais présentant un défaut\fg.

$p(\text{B})=p(X\leqslant 2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=$

$p(\text{B}) = (\np{0.96})^{100}+100\times(\np{0.04})(\np{0.96})^{99}+\dbinom{100}{2}(\np{0.04})^2(\np{0.96})^{98} \approx \np{0.232}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable  aléatoire qui, à un tube à essais prélevé au hasard  dans la
production, associe son diamètre en millimètres. Le service qualité de l'entreprise estime que
la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $19,9$ et d'écart type $0,25$.
\begin{enumerate}
\item Déterminons la probabilité qu'un tube à essais ait un diamètre compris entre \np[mm]{19.5}  et
\np[mm]{20.5} c'est-à-dire $p(19,5\leqslant X \leqslant\np{20.5})$.

En utilisant la calculatrice, nous trouvons $p(19,5\leqslant X \leqslant\np{20.5})\approx \np{0.937}$.

\item Déterminons la probabilité qu'un tube à essais ait un diamètre supérieur ou égal à \np[mm]{20} c'est-à-dire $p(X\geqslant 20)$.

$p(X\geqslant 20)=1-p(X\leqslant 20)=1-\np{0.655}=\np{0.345}$.
\end{enumerate}


\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}
\medskip

Le réglage d'une machine de production est tel que 3\,\% des tubes à essais fabriqués ont une
épaisseur non conforme.
\begin{enumerate}
\item  Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des tubes à essais d'épaisseur non conforme dans un échantillon de 200 tubes à essais.

 \[\left[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~;~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\]
		 
 $\Bigg[\np{0.03} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03})}{200}}~ ;~ \np{0.03} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03} )}{200}}\Bigg]\approx \big[\np{0.006}~;~\np{0.054}\big]$		
\item On prélève un échantillon de 200 tubes à essais. On constate que dans cet échantillon 12 tubes à essais ont une épaisseur non conforme.

La proportion de tubes à essais non conforme est $\dfrac{12}{200}$ soit \np{0.060}. Cette proportion n'appartient pas à l'intervalle de confiance au seuil de 95\,\%, par conséquent 
ce constat remet en question le réglage de la machine de production.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

Dans un lac de montagne, on a observé qu'une population de poissons diminuait de 6\,\% tous
les ans en raison d'une modification écologique du lac.

On s'intéresse au nombre de poissons, $n$ années après la première observation effectuée en
2004, où l'on comptait \np{3500} poissons.

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = \np{3500}$ , $u_n$ fournissant une estimation du nombre de poissons l'année $2004 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À une baisse de 6\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{0.94} par conséquent pour écrire le terme suivant d'un élément de la suite nous multiplions toujours cet élément par le même nombre. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique  de raison \np{0.94}.
\item On propose l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables : & $U$, $N$\\
Initialisation :& $U$ prend la valeur \np{3500}\\
&$N$ prend la valeur 0\\
Traitement :& Tant que $U > \np{2500}$\\
&\hspace{2em} $U$ prend la valeur $U \times 0,94$\\
&\hspace{2em} $N$ prend la valeur $N+1$\\
&Fin du tant que\\
Sortie&\\
Afficher $N$&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La valeur de $N$ obtenue en faisant fonctionner l'algorithme  est 6.  Ce résultat permet de connaître l'année où le nombre de poissons sera inférieur à \np{2500}.
\item En 2010, une association s'est mobilisée pour améliorer les conditions écologiques du lac.
Depuis, la population de poissons a augmenté de 4\,\% chaque année.
En 2010, l'association a constaté que le lac contenait \np{2400} poissons.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons le nombre de poissons présents en 2014. Nous pouvons alors considérer la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de raison \np{1.04} et de premier terme $v_0 = \np{2400}$.
$v_n$ fournit une estimation du nombre de poissons l'année $2010 + n$. Le terme général est $v_n=\np{2400}\times (\np{1.04})^n$.

En 2014, nous avons $n=4$, $v_4=\np{2400}\times (\np{1.04})^4 =\np{2808}$ à une unité près.
 
En 2014, il y a environ \np{2808} poissons dans le lac.
		\item Cette augmentation se maintenant au même rythme, pour déterminer en quelle année la population de poissons observée retrouvera la valeur de l'année 2004, résolvons $v_n=\np{3500}$.

$\np{2400}\times (\np{1.04})^n=\np{3500}\iff \np{1.04}^n=\dfrac{3500}{2400}\iff n \ln \np{1.04}= \ln\left(\dfrac{35}{24}\right) \iff n= \dfrac{ \ln\left(\dfrac{35}{24}\right)}{\ln\np{1.04}}$. Or $\dfrac{ \ln\left(\dfrac{35}{24}\right)}{\ln\np{1.04}}\approx \np{9.62}$.

En 2020, la population du lac retrouvera la valeur de l'année 2004.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries dans une gélose nutritive non renouvelée.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

On admet que le nombre de bactéries en fonction du temps est donnée à l'instant $t$ (exprimé
en heures) par $N(t)$ où $N$, fonction définie sur $[0~,~+\infty[$, est solution de l'équation
différentielle (E) : $y' = - 0,92y$ .

Le nombre de bactéries à l'instant initial est égal à 525.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons les solutions de l'équation différentielle (E) sur $[0~,~+\infty[$.

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  $y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\np{0.92}\ b=0$ par conséquent $y(t)=C \e^{-\np{0.92}t}$ où $C$ est une constante quelconque.

\item Déterminons la fonction $N$, solution de  (E) sur $[0~,~+\infty[$, vérifiant la condition \mbox{$N(0)=525$}.

$N(0)=C \e^{-\np{0.92}\times 0}=C =525$ d'où $C=525$.

Il en résulte $N(t)=525\e^{-\np{0.92}t}$.





\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On admet que la fonction $N$ est définie sur $[0~,~+\infty[$ par $N (t ) = 525 \e^{ - 0,92 t}$ et on note $\mathcal{C}_N$ sa
courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item  Déterminons la limite de la fonction $N$ en $+\infty$. 


$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}N(t)=0$ car $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\e^{-x}=0$. 

Nous pouvons alors affirmer que la courbe $\mathcal{C}_N$ est asymptote à l'axe des abscisses au voisinage de l'infini.
\item Calculons $N'(t)$ où $N '$ désigne la fonction dérivée de $N$.

$N'(t)=525\times(-\np{0.92}\e^{\np{-0.92}t})=-483\e^{\np{-0.92}t}$ car  $\left(\e^u\right)^\prime=u'\e^u$.
\item $N '(t)$ représente la vitesse instantanée de l'évolution du nombre des bactéries à l'instant $t$ ;
cette vitesse est exprimée en nombre de bactéries par heure.

Déterminons la vitesse instantanée pour 
\begin{description}
\item[\textasteriskcentered] $t = 0 :\quad N'(0)=-483\e^0=-483$.
\item[\textasteriskcentered] $t = 3 :\quad N'(3)=-483\e^{-\np{0.92}\times 3}\approx -\np{30.57}$.
\end{description}

\item  Pour  déterminer au bout de combien de temps la vitesse instantanée sera égale à la moitié de celle à l'instant $t = 0$, résolvons $N^\prime(t)=\dfrac{1}{2}\times N^\prime(0)$.
\begin{center}
\begin{minipage}[b]{4cm}
\[
\begin{array}{rcl}
-483\e^{-\np{0.92}t}&=&-\dfrac{483}{2}\\
\e^{-\np{0.92}t}&=&\dfrac{1}{2}\\[1.75ex]
\dfrac{1}{\e^{\np{0.92}t}}&=&\dfrac{1}{2}\\[1.75ex]

\end{array}\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{4cm}
\[ 
\begin{array}{rcl}
\e^{\np{0.92}t}&=&2\\
\ln \e^{\np{0.92}t}&=& \ln 2\\
\np{0.92}t&=& \ln 2\\[1ex]
t=\dfrac{\ln 2}{\np{0.92}}&\approx&\np{0.7534}\\
\end{array}
\]
\end{minipage}
\end{center}

Au bout d'environ trois quarts d'heure, la vitesse instantanée a diminué de moitié.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de comparer les résultats, obtenus par expérience et selon un modèle
théorique, d'un titrage d'une solution d'hydroxyde de sodium (NaOH) par une solution
d'acide chlorhydrique (HCl).

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Expérience et approximation affine}
\end{center}

\medskip

Lors d'une expérience, on obtient les mesures suivantes :

\smallskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de la mesure 				&1		&2		&3		&4		&5	   &6 \\\hline
Volume en ml d'acide versé : $x_i$	&0		&10		&20		&40		&50	   &60\\\hline
pH : $y_i$							&11,80	&11,68 	&11,52	&11,32	&11,22 &11,08\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Sur l'annexe page \pageref{reglin}, nous avons représenté le nuage de points M$_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item  \begin{enumerate}
\item  À l'aide d'une calculatrice,  une équation de la droite D d'ajustement de $y$ en $x$ par
la méthode des moindres carrés est $y=-\np{0.0117} x+\np{11.7881}$.(\emph{\footnotesize  Les coefficients sont arrondis à $10^{-4}$ près}).
\item En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente, déterminons le pH du mélange
après versement de 35 ml d'acide chlorhydrique. 

Pour ce faire, remplaçons $x$ par $35$ dans l'équation de la droite de régression.

 $y=-\np{0.0117} \times 35+\np{11.7881} = \np{11.3786}$.
 
Le pH, après versement de \np[ml]{35}, est d'environ \np{11.4}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Modèle théorique}
\end{center}

\medskip


Pour un volume $x$ (en ml) d'acide chlorhydrique ajouté, compris entre 0 et 150, le pH de la
solution est égal à $f (x)$ où $f$ est la fonction définie sur [0~,~150] par : $ f(x)=\np{3.8} -\np{0.01}x+\dfrac{8}{1+\e^{\np{0.2}x-16}}$.

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur [0~,~150].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la fonction dérivée de $f$, pour tout $x$ de l'intervalle [0~,~150].
		
		$f=u+8\times\dfrac{1}{v}$ où $u(x)=\np{3.8}-\np{0.01}x$ et $v(x)=1+\e^{\np{0.2}x-16}$. 
		
		Par conséquent  $f'(x)=u'(x)+8\times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}.$

$u'(x)=-\np{0.01} \quad v'(x)=\np{0.2}\e^{\np{0.2}x-16}$

$f'(x)= -\np{0.01} + 8\times \dfrac{-\np{0.2}\e^{\np{0.2}x-16}}{\left(1+\e^{\np{0.2}x-16}\right)^2}$.

Il en résulte :	
$f'(x)=-\np{0.01}-\dfrac{\np{1.6}\e^{\np{0.2}x-16}}{\left(1+\e^{\np{0.2}x-16}\right)^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~,~150]
		\item Déterminons le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~,~150]. Déterminons d'abord le signe de $f^\prime(x)$.
		
Pour tout $x$ de l'intervalle [0~,~150], $f'(x)<0$ comme somme de termes négatifs.
		
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
		
Par conséquent $f$ est strictement décroissante  pour tout $x$ de l'intervalle [0~,~150]
	\end{enumerate}
\item La courbe représentative de $f$ est tracée sur le graphique de la partie A, annexe page \pageref{reglin}.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C : Comparaison}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour \np[ml]{60} d'acide versé, comparons la valeur du pH obtenue par l'ajustement affine réalisé
dans la partie A et celle obtenue par le modèle théorique de la partie B.
\begin{description}
\item[\textasteriskcentered] la valeur du pH obtenue par l'ajustement affine: $y=-\np{0.0117} \times 60+\np{11.7881}=\np{11.0861} $
\item[\textasteriskcentered] celle obtenue par le modèle théorique :$ f(x)=\np{3.8} -\np{0.01}\times 60+\dfrac{8}{1+\e^{\np{0.2}\times 60-16}}\approx \np{11.0561}$.
\end{description}
Les valeurs sont sensiblement les mêmes, celle de la partie B légèrement inférieure à celle de la partie A.
\item Le modèle théorique étant validé, l'ajustement affine réalisé dans la partie A pour $x$
appartenant à [0~;~60] n'est plus pertinent sur ]60~,~150]. À partir de \np[ml]{60}  le pH décroît fortement.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large Annexe} (à  rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-1)(162,14)
\multido{\n=0.0+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](0,\n)(160,\n)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(160,12.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=1](0,0)(0,0)(160,12.5)
\uput[d](145,-0.5){Volume d'acide versé}\uput[r](0,12.25){pH de la solution}\uput[r](160,-0.2){$x$}\uput[l](0,12.5){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{150}{8 2.71828 x 0.2 mul 16 sub exp 1 add div 3.8 x 0.01 mul sub add}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,11.8)(10,11.68)(20,11.52)(40,11.32)(50,11.22)(60,11.08)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=violet]{0}{80}{0.0117 neg x mul 11.7881 add}
\def \Func {0.0117 neg x mul 11.7881 add}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-<,linecolor=cyan]{<-}(!0 /x 35 def \Func)(!35 /x 35 def \Func)(35,0)
\uput[l](0,11.378){\color{cyan}{$\approx \np{11.4}$}}\uput[d](35,-0.13){\color{cyan}{35}}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{reglin}
\end{document}