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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies }  
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small 19 juin 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies 19 juin 2014~\decofourright\\[4pt]  Métropole}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 


On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution de la production annuelle en Indonésie de la 
vanille, épice utilisée dans les industries agroalimentaire et cosmétique. 
Le tableau ci-dessous donne la production de vanille en Indonésie : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&1970&1980	&1990		&1995 	&2000 	&2005	&2010 \\\hline
Rang de l'année : $x_i$			&0 	 &10 	&20			&25		&30		&35		&40\\\hline 			Production en tonnes : $y_i$&250 &761 	&\np{1262}	&\np{1958} &\np{1681} &\np{2366} &\np{2600} \\\hline
\multicolumn{1}{l}{\footnotesize Source: FAOSTAT}
\end{tabularx}	
\end{center}					

\begin{enumerate}
\item 	On pose $z_i = \ln \left(y_i\right)$. 

Complétons le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$    &	0 &	10 &	20& 	25& 	30& 	35& 	40\\\hline 				
\centering{ $z_i$}& \np{5,52}	  &\np{6,63}&\np{7,14} &\np{7,58}&\np{7.43}&\np{7,77}&\np{7,86} \\\hline
\end{tabularx}	
\end{center}				
\item  Le nuage de points $M_i\left(x_i~;~z_i\right)$ est représenté dans le plan muni d'un repère orthogonal sur l'annexe, page \pageref{stat}. 

\item Calculons les coordonnées à $10^{-2}$ près de $G$, point moyen du nuage. Ses coordonnées  sont $\left(\overline{x}~;~\overline{z}\right)$.

\[
\overline{x_G}=\frac{0+10+\dots+35+40}{7}=\np{22,86} \quad \overline{z_G} = \frac{\np{5,52}+\np{6,63}+\dots+\np{7,86}}{7}=\np{7,13}\]

G$\left(\np{22,86}~;~\np{7,13} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.

\item On réalise un ajustement affine de ce nuage de points $M_i\left(x_i~;~z_i\right)$. 

À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est : $z=\np{0,0558}x+\np{5,8568}$ ({\footnotesize les coefficients sont arrondis à $10^{-4}$ près}). 

La droite $D$ est tracée sur le graphique de l'annexe, page \pageref{stat}. 
\item  Selon ce modèle d'ajustement, l'expression de la production $y$ en fonction du rang de l'année $x$ est alors

$y = \e^{\np{0,0558}x+\np{5,8568}}$
\item Pour déterminer quelle serait, selon ce modèle d'ajustement, la production de vanille en Indonésie en 2015, remplaçons $x$ par 45, rang de l'année 2015. $y = \e^{\np{0,0558}\times 45 + \np{5,8568} }\approx \np{4306,15} \approx \np{4306}$ à l'unité.

La production de vanille en Indonésie en 2015 serait d'environ \np{4306} tonnes.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On injecte dans le sang par piqûre intraveineuse une dose de \np[cm^3]{2}  d'un antalgique. 

L'organisme du patient élimine 5\,\% du produit présent tous les quarts d'heure. 

On s'intéresse à la quantité d'antalgique, en mm$^3$, présent dans le sang du patient au bout de $n $
quarts d'heure après le début de l'injection. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 2000$, $u_n$
représentant une estimation de la quantité d'antalgique en mm$^3$ présent dans le sang du patient 
après $n$ quarts d'heure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 	Vérifions que la quantité de produit présent dans le sang du patient un quart d'heure après 
l'injection est égale à \np[mm^3]{1900}. Pour ce faire, calculons $u_1$. 
À une baisse de 5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{0,95} par conséquent $u_1=\np{2000}\times \np{0,95}=\np{1900}$.

Un quart d'heure après, il y avait \np[mm^3]{1900}d'antalgique dans le sang du patient.

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  $u_{n+1}=\np{0,95}\times u_n$.
		\item Pour obtenir le terme suivant d'un élément de la suite, nous multiplions cet élément toujours par le même nombre.

 Il en résulte que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.95} et de premier terme \np{2000}. 
		\item  Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  
		
$u_n = u_0q^n$. Ici $u_n = \np{2000}(\np{0.95})^n$.
		\end{enumerate}
\item Déterminons la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. La raison étant positive et inférieure à 1, la suite converge vers 0. $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n =0$

 La quantité d'antalgique dans le sang du patient  tend à disparaître au fil du temps. 
\item Le produit est jugé inefficace lorsque la quantité présente dans le sang est inférieure à \np[mm^3]{1500}. 

Déterminons au bout de combien de quarts d'heure le produit devient inefficace. Pour ce faire, résolvons $u_n\leqslant 1500$. 

$\np{2000}\times (\np{0.95})^n\leqslant \np{1500}\iff \np{0,95}^n \leqslant \np{0.75}\iff n\ln \np{0,95}\leqslant \ln\np{0,75} \quad $

$\text{ \scriptsize $\ln$ est une fonction strictement croissante sur $\R_+^*$}
\iff n\geqslant \dfrac{\ln\np{0.75}}{\ln \np{0,95}} (\text{ \footnotesize $\ln \np{0.95}$ est un nombre négatif}).$

$\dfrac{\ln\np{0,75}}{\ln \np{0,95}}\approx \np{5,6086}$.

Au bout de six quarts d'heure c'est-à-dire au bout d'une heure et trente minutes, le produit devient inefficace.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pendant une durée égale à $N$ quarts d'heure, on décide de réinjecter \np[mm^3]{500}  du même antalgique dès que la quantité du produit présent dans le sang devient inférieure à \np[mm^3]{1500}.
		
L'algorithme déterminant la quantité d'antalgique présent dans le sang du patient au bout de ces $N$ quarts d'heure est complété, sur l'annexe page \pageref{stat}. 
		\item En faisant fonctionner l'algorithme pour $N=16$,  la quantité d'antalgique présent dans le 
		sang au bout de quatre heures est d'environ \np[mm^3]{1586,87}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de l'exercice est de suivre l'évolution d'une concentration de bactéries. 

Les unités choisies sont l'heure pour le temps et le million de bactéries par millilitre pour la concentration. 

\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}

On admet que la concentration de bactéries en fonction du temps est donnée à l'instant $t$ par 
$f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0,+\infty[$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ : 

\[(E):\quad  y'+ 0, 2 y = 8.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résolvons l'équation différentielle (E) sur $[0, +\infty[$. 

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ ay = b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  $y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\np{0,2}\ b=8$ par conséquent $y(t)=C \e^{-\np{0.2}t}+40$ où $C$ est une constante quelconque.

\item À l'instant $t = 0$, la concentration est de 4 millions de bactéries par millilitre.  
 Déterminons la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 4$

$f(0)=C \e^{-\np{0,2}\times 0}+ 40=C +40=4$ d'où $C= - 36$.

Il en résulte $f(t)= - 36\e^{-\np{0,2}t}+40$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$  par $f(t ) = - 36\e^{- 0,2 t} + 40$ et on note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$.

\[\displaystyle \lim_{t\to +\infty}f(t)=\lim_{t \to +\infty}-36\e^{-0,2t}+\lim_{t \to +\infty}40=0+40=40\]

 %Quelle interprétation graphique peut-on donner de cette limite ? 
La courbe représentative de $f$ est asymptote à la droite d'équation $y=40$ lorsque $t$ tend vers $+\infty $.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
		
Déterminons $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$f'(t)= -36\times(-\np{0,2})\e^{-\np{0,2}t}=\np{7,2}\e^{-\np{0,2}t}$.
		\item Étudions les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		
Pour tout $t \in \R_+^*,\  f'(t) > 0$ comme produit de termes strictement positifs.

Si pour tout $x\in I,\: f'(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $t \in \R_+^*,\  f'(t) > 0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C }
\end{center}

\medskip

On admet que $f(t)$ représente la concentration des bactéries étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est représentée graphiquement ci-dessous dans un repère orthogonal. 
{\footnotesize On prendra \np[cm]{1}  pour une heure en abscisse et \np[cm]{1} pour 5 millions de bactéries par millilitre en ordonnée.} 
\item 	En laissant apparent les constructions utiles, déterminons graphiquement:
			\begin{enumerate}
			\item la concentration des bactéries au bout de 6~h~30 ; Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \np{6,5}. Avec la précision permise par le graphique, nous lisons environ \np{30,2}.
			\item le temps nécessaire pour que la concentration des bactéries soit supérieure à 35~millions 
					de bactéries par millilitre. Nous lisons l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = 35$ soit $x\approx \np{9,9}$.
					Il faudrait environ neuf heures et cinquante quatre minutes pour que la concentration des bactéries soit supérieure à 35 millions par millilitre.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,arrowscale=1.5,showorigin=false}
\begin{pspicture}(0,0)(12,45)

\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+2.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(11.5,41.5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{11}{ 2.71828 x 0.2 neg mul exp 36 neg mul  40 add}
\uput[d] (10.5,38){\blue (C)}\uput[dl](0,0){O}
\def\Func{2.71828 x 0.2 neg mul exp 36 neg mul  40 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 6.5 def \Func)(!6.5 /x 6.5 def \Func)(6.5,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 9.8704 def \Func)(!9.8704 /x 9.8704 def \Func)(9.8704,0)
\rput(0.7,42.5){\footnotesize millions de bactéries}
\rput(0.9,40.4){\footnotesize  par millilitre}
\rput(11.27,1.3){\footnotesize $t$ en heures}
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}

Un laborantin dispose d'un stock de pipettes jaugées. Une pipette est considérée conforme au 
cahier des charges si son volume est compris entre 24,95 et 25,05 ml.
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pipette prise au hasard dans le stock, 
associe son volume en ml. Le fabricant affirme que $Y$ suit la loi normale d'espérance 25 et 
d'écart type 0,03. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminons une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité 
pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme au cahier des charges, selon les affirmations du fabricant.

$ p\left(\np{24,95}\leqslant Y \leqslant \np{25,05}\right)\approx \np{0,9044}$. 
\item Le laborantin prélève un échantillon de 100 pipettes et constate que seulement 83 d'entre 
elles sont conformes au cahier des charges. 
		\begin{enumerate}
		\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de 
pipettes conformes dans un échantillon de taille 100 (on donnera les bornes de l'intervalle à $10^{- 4}$ près). 
		
\[\Bigg[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}~;~p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1 - p )}{n}}\Bigg]\]
		 
 $\Bigg[\np{0,9044} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0,9044} (1- \np{0,9044} )}{100}}~;~\np{0,9044} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0,9044} (1 - \np{0,9044} )}{100}})\Bigg]\approx $
 
$\big[\np{0,8468}~;~\np{0,9620}\big]$		
		\item La fréquence de pipettes conformes observée remet en question l'affirmation du fabricant,
car  la proportion observée $\np{0,83}$ n'appartient pas à l'intervalle [\np{0,8468}~;~\np{0,9620}] au niveau de confiance de  95\,\%.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B }
\end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse aux défaillances d'une machine qui fabrique les pipettes. 
Lorsqu'une révision complète de cette machine a été effectuée, la durée de fonctionnement 
(en jours) avant une défaillance est une variable aléatoire notée $X$ qui suit la loi exponentielle 
de paramètre $\lambda = 0,005$. 

On rappelle que, dans ces conditions, pour tout $t$ positif, la probabilité que cette machine ait 
une défaillance avant un temps $t$ est égale à $\displaystyle P(X \leqslant t) = \int_0^t \lambda\e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons $\displaystyle \int_{0}^{t} 0,005\e^{- 0,005x}\mathrm{d}x $.
 
En posant $u(x) = -\np{0.005} x \quad u'(x)=-\np{0,005}$ par conséquent $0,005\e^{- 0,005x}$ est de la forme $- u'\e^u$ dont une primitive est $-\e^u$.
 
Il en résulte $\displaystyle \int_{0}^{t} 0, 005 \e^{- 0,005x}\mathrm{d}x = \Big[- \e^{- 0,005x}\Big]_0^t= -\e^{-\np{0.005}t}-(-\e^{0}) = 1- \e^{- 0,005 t}$. 
\item Déterminons la probabilité $P(X \leqslant 200)$ à $10^{- 4}$ près.

$\displaystyle P(X \leqslant 200) = \int_0^{200}\np{0.005}\e^{-\np{0.005} x}\mathrm{d}x=1-\e^{- 0,005 \times 200}=1-\e^{-1}\approx \np{0,6321}$.

Cette valeur correspond à la probabilité que la machine ait une défaillance avant 200 jours après une révision complète. 

\item Déterminons, à $10^{- 4}$ près, la probabilité que la machine ait une défaillance au-delà de 300~jours après une révision complète. 

Pour ce faire, calculons $p(X>300)$.

$p(X > 300) = 1 - p(X\leqslant 300) = 1 - \left(1-\e^{-\np{0,005}\times 300}\right) = \e^{-\np{1,5}}=\np{0,2231}$.

\item Un arrêt pour entretien doit intervenir systématiquement lorsque la probabilité que la machine soit défaillante est égale à $0,5$. 

Pour déterminer au bout de combien de jours, l'arrêt pour l'entretien de cette machine  doit intervenir, résolvons $1 - \e^{-\np{0.005}t} =\np{0.5}$
 
$ 1-\e^{-\np{0,005}t} = \np{0,5}\iff \e^{-\np{0,005}t} = \np{0.5} \iff \e^{\np{0,005}t} = 2 \iff \ln \e^{\np{0,005}t} = \ln 2 \iff \np{0,005}t=\ln 2 $
 
$\iff t=\dfrac{\ln 2}{\np{0,005}}$. Or $\dfrac{\ln 2}{\np{0,005}}\approx\np{138,629}$.
 
Au bout de 139 jours, il faut prévoir l'arrêt pour l'entretien de la machine.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large ANNEXE } (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(85,6.1)

\multido{\n=0+0.25}{23}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=gray](0,\n)(85,\n)}
\multido{\n=0+2.505}{35}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,5.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=5,Dx=10,Dy=1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(85,5.5)
\uput[d](0,-0.1){$0$}\uput[l](0,0){$5$}\uput[d](85,-0.01){$x$}\uput[l](0,5.5){$z$}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,0.52)(10,1.63)(20,2.14)(25,2.58)(30,2.43)(35,2.77)(40,2.86)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt,plotpoints=8000]{0}{50}{x 0.0558  mul 5.8568 add 5 sub}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](22.86,2.13)
\uput[u](22.86,2.13){G}\uput[d](48,3.85){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 2} 
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables:& $u$ nombre réel, $N$ entier \\
Entrée: & Saisir $N$ \\
Traitement:& \\
    & Affecter à $u$ la valeur \np{2000} \\
	&Pour $i$ allant de $1$ à {\color{violet}{$N$}} 	faire \\
	&Affecter à $u $ la valeur $u \times \color{violet}{\np{0.95}}$\\ 
	&Si $u$ est inférieur à {\color{violet}\np{1500}} \\ 
	&Alors affecter à $u$ la valeur $u + \color{violet}{500}$\\	
&Fin si \\
&Fin pour \\
&Afficher $u$ \\
Fin &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{stat}
\end{document}
