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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Métropole -- 19  juin 2024}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large EXERCICE 1\hfill commun à tous les candidats\hfill 5 points 
\begin{center}
(physique-chimie et mathématiques)
\end{center}}

%\medskip
%
%Le parkour

\medskip

Le parkour est une discipline sportive acrobatique qui consiste à franchir des obstacles urbains ou naturels sans l'aide de matériel.\\
Une traceuse s'apprête à sauter du haut d'un mobilier de rue, noté bloc A sur la \textbf{figure 1}, dans le  but d'atteindre le bloc B distant de \np[m]{4,0} du bloc A 
et plus bas de \np[m]{2,0}.\\
 La traceuse est modélisée par un point matériel M  de masse $m$ évoluant dans le champ de pesanteur terrestre $\vv{g}$. Dans ce modèle, on néglige la résistance de l'air et on suppose que la traceuse n'est soumise qu'à son poids. L'étude est menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen et les blocs A et B sont immobiles.\\
 La position de la traceuse sera repérée par le point M de coordonnées $(x(t) ; y(t))$ dans le repère représenté \textbf{figure 1}, la variable $t$, exprimée en secondes, étant étudiée sur l'intervalle [0 ; 1].

\begin{center}
\psset{arrowsize=2pt 3, unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(10,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray] 
\psframe[fillcolor=lightgray!50,fillstyle=solid](-4,-3)(0,0)
\psframe[fillcolor=lightgray!50,fillstyle=solid](4,-3)(8,-2)
\psline{->}(0,0)(9,0)\psline{->}(0,0)(0,2.5)
\rput(-2,-1.5){Bloc A} \rput(6,-2.5){Bloc B}
\psline{<->}(0,-2.5)(4,-2.5) \uput[ur](1.5,-2.5){\np[m]{4}}
\psline{<->}(6,-2)(6,0) \uput[r](6,-1){\np[m]{2}}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0.5,0)\psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0.5)
\uput[l](0,0.25){$\vv{\jmath}$}\uput[d](0.25,0){$\vv{\imath}$}\uput[u](0.75,0){$\vv{v_0}$}
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(5,2)(5,1)\uput[r](5,1.5){$\vv{g}$}
\uput[dl](0,2.7){$y$}\uput[dl](9.1,0){$x$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{4.2}{9.8 neg x x mul mul 2 div 49 div}
\psdots[linecolor=blue](4,-1.6)
\end{pspicture}

\textbf{Figure 1 :} schématisation des conditions du saut
\end{center}

La traceuse arrive en courant à l'extrémité du bloc A. À l'instant $t = 0$, elle s'élance du point origine O avec un vecteur vitesse initiale $\vv{v_0}$ orienté selon l'axe horizontal $(\text Ox)$ : $\vv{v_0}=v_0\vv{\imath}$ avec $v_0 = \np[m\cdot s^{-1}]{7,0}$. On cherche à savoir si la traceuse réussira à atteindre le bloc B.

\begin{list}{\textbullet}{Données:}
\item masse de la traceuse $m = \np[kg]{50} $
\item Intensité du champ de pesanteur $g = \np[m\cdot s^{-2}]{9,8}$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item %Donner la direction et le sens du vecteur poids ainsi que l'expression littérale de sa norme.
Le poids a une direction verticale vers le bas, donc est dirigé par le vecteur $-\vv{\jmath}$

Sa norme $P$ est égale à $m g$. 

Donc, dans le repère \Oij, on a: 
$\vv P \begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix}$

\item On suppose le référentiel galiléen. \\
On applique la deuxième loi de Newton au point M, donc: $\ds\sum \vv F = m \vv a$.

On suppose dans le texte que la traceuse n'est soumise qu'à une seule force: son poids.

Donc de $\ds\sum \vv F = m \vv a$, on déduit $\vv P = m \vv a$, autrement dit:
$\begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix}
=
m \begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \end{pmatrix}$

On a donc:
$ \begin{cases}
a_x(t)=0\\a_y(t)=-g
\end{cases}$
\end{enumerate}

\begin{list}{\textbullet}{Pour $t$ appartenant à  [0 ; 1], on note $v_x(t)$ et $v_y(t)$ les coordonnées du vecteur vitesse~$\vv{v}$ :}
\item  $v_x$ est la primitive de la fonction $a_x$ vérifiant $v_x(0) = v_0$ ; 
\item  $v_y$ est la primitive de la fonction $a_y$ vérifiant $v_y(0) = 0$.
\end{list}

\begin{enumerate}[resume]
\item %Déterminer les expressions $v_x(t)$ et $v_y(t)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $a_x$ est nulle, donc elle a pour primitive une fonction constante.\\
Or $v_x(0)=v_0$ donc la constante vaut $v_0$.

On a donc $v_x(t)=v_0$ pour tout $t$ de $[0~;~1]$.
\item La fonction $a_y$ vérifie $a_y(t)=-g$, donc elle a pour primitive la fonction $v_y$ vérifiant $v_y(t) = -gt +k$, où $k$ est une constante.

Or $v_y(0)=0$ donc $-g\times 0 + k = 0$ donc $k=0$.

On a donc $v_y(t)= -gt$ pour tout $t$ de $[0~;~1]$.
\end{list}
\end{enumerate}

\begin{list}{\textbullet}{Pour $t$ de [0~;~1], $x(t)$ et $y(t)$ sont les coordonnées du point M donnant la position de la traceuse :}
 \item  $x$ est la primitive de la fonction $v_x$ vérifiant $x(0) = 0$;
\item  $y$ est la primitive de la fonction $v_y$ vérifiant $y(0) = 0$.
\end{list}

\begin{enumerate}[resume]
\item% Justifier que les lois horaires du mouvement de la traceuse s'écrivent :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $v_x(t)$ est définie par $v_x(t)=v_0$, donc elle a pour primitive la fonction $x$ vérifiant $x(t)=v_0 t + k$, où $k$ est une constante.

Or $x(0)=0$ donc $v_0\times 0+k=0$ donc $k=0$.

On a donc $x(t)= v_0 t$ pour tout $t$ de $[0~;~1]$.
\item La fonction $v_y(t)$ est définie par $v_y(t)=-gt$, donc elle a pour primitive la fonction $y$ vérifiant $y(t)= -g \dfrac{t^2}{2} + k$, où $k$ est une constante.

Or $y(0)=0$ donc $-g\times 0+k=0$ donc $k=0$.

On a donc $y(t)= - \dfrac{1}{2} g t^2$ pour tout $t$ de $[0~;~1]$.
\end{list}

Donc les lois horaires du mouvement de la traceuse s'écrivent :
$ \begin{cases} x(t)= v_0t\\  y(t)=-\dfrac{1}{2} gt^2  \end{cases}$
 
\item Dans l'intervalle $[0~;~1]$, on résout l'équation $y(t) = -2$.% dans laquelle la grandeur $y$ est exprimée en mètres. Arrondir la solution à $10^{- 3}$.

$y(t) = -2
\iff -\dfrac{1}{2} gt^2  = -2
\iff gt^2=4
\iff t^2 = \dfrac{4}{g}
\iff t=\ds\sqrt{\dfrac{4}{g}}$

On prend $g=9,8$ donc $t = \ds\sqrt{\dfrac{4}{9,8}} \approx 0,639$.

\end{enumerate}

On note $t_c$ la solution de l'équation $y(t) = -2$.\\
Pour la suite de l'exercice, on prendra pour $t_c$, la valeur \np[s]{0,64}.

\begin{enumerate}[resume]
\item% Déterminer l'abscisse $x(t_c)$ de la position de la traceuse à l'instant $t_c$.
$v_0=7,0$ donc $x(t)=7t$ donc $x(t_c)= 7\times 0,64 = 4,48$.

\item Pour déterminer la valeur numérique de l'instant où l'abscisse de la position de la traceuse est égale à $\np[m]{4,0}$, on résout l'équation $x(t) =4$.

$x(t)=4
\iff 7t = 4
\iff t = \dfrac{4}{7}$ soit $t\approx 0,57$

\item La valeur numérique de l'ordonnée de la position de la traceuse à l'instant où l'abscisse de cette position est $\np[m]{4,0}$ est donc environ 
$y(0,57) = -9,8\times  \dfrac{0,57^2}{2}$ soit $-1,6$.

\item %En utilisant les résultats précédents, en déduire si la traceuse atteint le bloc B.
Le bloc B est à 4 mètres du point O. Il est situé à 2 mètres en dessous du point O et la traceuse ne sera que $1,6$ mètre en dessous de O. (voir point bleu sur le graphique)

Donc la traceuse va atteindre le bloc B.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large EXERCICE 3 \hfill 4 points }

\begin{center}
\textbf{\large(mathématiques)}
\end{center}

\medskip

%Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes. 
%
%Il faut traiter les quatre questions.
%
%\vspace{1cm}

\textbf{Question 1}

On considère ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-2~;~1]$.

Par lecture graphique, déterminer $f(0)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.30,1.7)
\psgrid[subgriddiv=5,,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray] (-3,-4)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(2.30,1.7)
\def\Func{x 2 exp x 2 mul  add 2 sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=red](0,-2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
D'après le graphique: $f(0)=-2$.
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 2}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2\e^{x}+3x-2$.

 Déterminer, en la justifiant, la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
 
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
D'après le cours: $\ds\lim_{x\to - \infty} \e^{x}=0$ donc $\ds\lim_{x\to - \infty} 2\e^{x}=0$

Or $\ds\lim_{x\to - \infty} 3x=-\infty$

Donc par somme: $\ds\lim_{x\to - \infty} 2\e^{x} + 3x - 2=-\infty$ et donc: $\ds\lim_{x\to - \infty} f(x)=-\infty$
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 3}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (3x + 2)\e^{x-1}$.

En détaillant les calculs, justifier que $f(1)$ est un entier.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
$f(x) = (3x + 2)\e^{x-1}$ donc $f(1)=\left (3\times 1 +2\right ) \e^{1-1}=5\e^{0}$

Or $\e^{0}=1$ donc $f(1)=5$ donc $f(1)$ est un entier.
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 4}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x +1-\dfrac{1}{x}$

Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
La fonction $x \longmapsto 2x+1$ a pour primitive la fonction $x\longmapsto x^2 + x$.

La fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{x}$ a pour primitive la fonction $x\longmapsto \ln (x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

Donc la fonction $F$ définie par $F(x)=x^2+x-\ln(x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{tabular}

\end{document}
