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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STL Biotechnologies}
\lfoot{\small{métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\ [5pt] Métropole -- 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}
% BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
% SESSION 2019
% MATHÉMATIQUES
% Série : Sciences et Technologies de Laboratoire
% Spécialité : BIOTECHNOLOGIES
% ÉPREUVE DU MARDI 18 JUIN 2019
% Durée de l’épreuve : 4 heures
% Coefficient : 4
% L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sansmode examen, est autorisé.
% Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
% Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.
% Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
% Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
% fructueuse, qu’il aura développée.
% Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
% compte dans l’appréciation de la copie.
% 19MABIMLR1 Page 1/6

Dans une solution tampon (solution dont le pH varie peu ou ne varie pas lors de l’ajout d’un acide
ou d’une base, ou lors d'une dilution), on introduit des levures (\emph{saccharomyces cerevisiae}) en suspension.
On ajoute ensuite une solution de glucose à 5 millimoles par litre (mmol.L$^{-1}$), et on suit
la fermentation de glucose par les levures en relevant la quantité d’éthanol obtenue au cours du temps.

Le tableau ci-dessous donne la quantité $y_i$ (exprimée en unité arbitraire, ua) d'éthanol dans la
solution, en fonction de $x_i$ qui représente la durée écoulée, en seconde, depuis l’ajout de glucose.

À chaque valeur de $y_i$ , on associe $z_i =\dfrac{5,2}{5,2-y_i}$.

\smallskip

{\small
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}
\hline
Durée $x_i$ (en s)& 0 &250& 500& 700& \np{1000} &\np{1500} &\np{2000}&\np{2500} \\\hline
Quantité $y_i$ (en ua)& 0,3& 1,4& 2,2& 2,8 &3,2& 3,7& 3,9& 4,1\\\hline
$z_i =\dfrac{5,2}{5,2-y_i}\rule[-12pt]{0pt}{28pt}$&\np{1,0612} & \np{1,3684} & \np{1,7333} &$\hphantom{1,3684}$ & \np{2,6000} & \np{3,4667} & \np{4,0000} & \np{4,7272} \\\hline
\end{tabular}
}% fin du small

\medskip

On donne ci-dessous le nuage de points M$_i$, de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, dans un repère orthogonal
du plan.

\begin{center}
\psset{xunit=0.005cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.1)(2500,4.7)
\multido{\n=0+125}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,00)(\n,4.25)}
\multido{\n=0+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2500,\n)}
\multido{\n=0+250}{11}{\uput[d](\n,0){\scriptsize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=3000,Dy=0.5,]{->}(0,0)(2600,4.50)
%\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.5,dotangle=45](0,0.3)(250,1.4)(500,2.2)(700,2.8)(1000,3.2)(1500,3.7)(2000,3.9)(2500,4.1)
\uput[u](2250,0){\small Durée $x_i$ (en s)}
\uput[r](0,4.3){\small Quantité $y_i$ (en ua)}
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip
%
%Pour chacune des cinq affirmations de l'exercice, déterminer si elle est vraie ou fausse, puis justifier de manière claire et concise la réponse donnée.

\medskip

\begin{description}
\item[Affirmation 1 :]Un ajustement affine du nuage de points M$_i\left(x_i~;~y_i\right)$ est adapté.

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Les points ne sont pas alignés donc un ajustement affine n'est pas adapté.
\smallskip

\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\medskip
\item[Affirmation 2 :] Au dix-millième près, la valeur manquante de $z_i$ est \np{2,1667}.

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Pour $y_i=2,8$ on a $z_i=\dfrac{5,2}{5,2-2,8} \approx \np{2,1667}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item[Affirmation 3 :] Lorsque la durée écoulée depuis l'introduction du glucose passe de \np{1000} à \np{2000} secondes, la quantité $y$ d'éthanol augmente de plus de 25\,\%.

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Lorsque la durée écoulée depuis l'introduction du glucose passe de \np{1000} à \np{2000} secondes, la quantité $y$ d'éthanol passe de $3,2$ à $3,9$ donc augmente de

$\dfrac{3,9-3,2}{3,2}\times 100 = 21,875\,\%$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{tabular}

\end{description}

On donne ci-dessous le nuage de points $N_i$, de coordonnées ($x_i ; z_i$), dans un repère orthogonal du
plan.

\begin{center}
\psset{xunit=0.005cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.1)(2500,4.85)
\multido{\n=0+125}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,00)(\n,4.75)}
\multido{\n=0+0.25}{20}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2500,\n)}
\multido{\n=0+250}{11}{\uput[d](\n,0){\scriptsize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=3000,Dy=0.5,]{->}(0,0)(2600,4.850)
%\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,1.0612)(250,1.3684)(500,1.7333)(700,2.1667)(1000,2.6)(1500,3.4667)(2000,4.0)(2500,4.7272)
\uput[u](2250,0){\footnotesize Durée $x_i$ (en s)}
\uput[r](0,4.8){\footnotesize  $z_i=\dfrac{5,2}{5,2-y_i}$ }
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

À l'aide d'une calculatrice, on a obtenu, pour ce second nuage de points, l'ajustement affine suivant :  $z = \np{0,0015}x +\np{1,0627}$.
 
 \medskip
\begin{description}
\item[Affirmation 4 :] Grâce à l'ajustement affine donné, on peut estimer que $y = 5,2-\dfrac{5,2}{0,0015x +1,0627}$.

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
On a $z = \np{0,0015}x +\np{1,0627}$ et $z=\dfrac{5,2}{5,2-y}$ donc
$\np{0,0015}x +\np{1,0627} = \dfrac{5,2}{5,2-y}
\iff
5,2-y = \dfrac{5,2}{\np{0,0015}x +\np{1,0627}}
\iff
5,2- \dfrac{5,2}{\np{0,0015}x +\np{1,0627}}=y$

\smallskip

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item[Affirmation 5 :] En utilisant le modèle d'ajustement de l'affirmation précédente, on peut estimer que la quantité d'éthanol présente quarante minutes après l'introduction du glucose est supérieure à 4 ua.

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
40 minutes correspondent à \np{2400} secondes, donc on cherche $y$ pour $x=\np{2400}$:

$5,2- \dfrac{5,2}{\np{0,0015}\times \np{2400} +\np{1,0627}}\approx 4,085>4$

\smallskip

\textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}

\end{description}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip


Julie a l'intention de planter des bambous dans son jardin. Comme ils sont réputés envahissants,
elle souhaite d’abord avoir une estimation de leur taille et de la surface qu’ils occuperont dans les
années à venir.

Un botaniste indique que l’espèce choisie par Julie a une hauteur qui augmente de 35\,\% par an
dans les conditions de son jardin. Il précise que ces bambous ont pour taille maximale 6 mètres.
Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur des bambous, exprimée en mètre, $n$ années après
les avoir plantés.

Dans les jardineries, ces plantes sont vendues alors que leur hauteur est de 0,6 mètre, que l’on
considérera comme la hauteur initiale.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D'après le texte $h_0=0,6$, et $h_1=h_0\left (1+\dfrac{35}{100} \right )=0,81$..

\item  Augmenter de 35\,\% c'est multiplier par $1,35$ donc $h_{n+1} = 1,35\times h_n$.

\item On en déduit que  la suite $(h_n)$ est géométrique de raison $q=1,35$ et de premier terme $h_0=0,6$.

On a alors pour tout $n$, $h_n = h_0\times q^n = 0,6\times 1,35^n$.

\item Afin de ne pas gêner ses voisins, Julie envisage de ne pas laisser sa plantation dépasser
4 mètres de hauteur.

%Combien d'années peut-elle laisser pousser ses bambous sans avoir besoin de les tailler ?

À la calculatrice, on trouve $h_6=0,6\times 1,35^{6} \approx 3,6$ et $h_7=0,6\times 1,35^{7} \approx 4,9$. Donc Julie peut laisser pousser ses bambous 6 ans sans les tailler.

\item Des trois algorithmes ci-dessous, c'est l'algorithme 2 pour lequel, à la fin de son exécution, la variable N contient le résultat de la question précédente.

\medskip

\begin{minipage}[]{4cm}
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& N $\leftarrow$ 0\\
{\tiny 2}& U $\leftarrow 0,6$\\
{\tiny3} &Tant que N < 4\\
{\tiny4}& \hspace{1em} N $\leftarrow$ N +1\\
{\tiny5}& \hspace{1em} U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny6}& Fin Tant que\\\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4cm}
\blue
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& N $\leftarrow 0$\\
{\tiny 2}& U $\leftarrow 0,6$\\
{\tiny 3}& Tant que U < 4\\
{\tiny 4}&  \hspace{1em}N $\leftarrow$  N+1\\
{\tiny 5 }& \hspace{1em}U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny 6}& Fin Tant que\\\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{Algorithme 2}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4cm}
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& U $\leftarrow $0,6\\
{\tiny  2}& Pour N allant de 1 à 4\\
{\tiny 3}& \hspace{1em} U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny 4}& Fin Pour\\
&\\
&\\
\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{Algorithme 3}
%\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\item Julie n'a pas prévu d'installer de barrière anti-rhizomes, les bambous pourront donc se répandre
sur le terrain. Selon le botaniste, la surface colonisée augmente de 2\,\% par mois. Julie
plante ses bambous sur une surface initiale de \np[m^2]{1}.

Augmenter de 2\,\%, c'est multiplier par $1,02$; il faut donc chercher le nombre de mois $n$ tel que $1,02^n\geqslant 2$:

$1,02^n\geqslant 2
\iff  \ln\left (1,02^n\right )\geqslant \ln\left (2\right )
\iff  n\times  \ln\left (1,02\right )\geqslant \ln\left (2\right )
\iff n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,02)}$

$\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,02)} \approx 35,003$ donc c'est au bout de 36 mois que les bambous se seront répandus sur une surface de plus de \np[m^2]{2}.

\item Julie se rend dans la jardinerie la plus proche de son domicile. Elle souhaite acheter des pots
de bambous provenant d'une entreprise d'horticulture située à moins de cent kilomètres de
cette jardinerie. On appelle C la condition :
\begin{center}
\og les pots ont été préparés à moins de 100~km  de la jardinerie \fg.
\end{center}
Dans la jardinerie où Julie se trouve, une étude portant sur un échantillon de 200 pots montre
que 135 d'entre eux ont été fournis par un horticulteur respectant la condition C.
\begin{enumerate}
\item La fréquence $f$, dans cet échantillon, des pots qui respectent la condition C est 

$f=\dfrac{135}{200}=0,675$.
\item On donne une estimation de $p$, la proportion des pots satisfaisant la condition C, par un intervalle de confiance à 95\,\%: %Arrondir les bornes de cet intervalle à $10^{-2}$ près.

$I=\left[f -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\right]\\
\phantom{I}
=\left [ 0,675 - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,675\left (1-0,675\right )}{200}}~;\, 0,675 + 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,675\left (1-0,675\right )}{200}}\right ]
\approx \left [ 0,61~;\, 0,74\strut\right ]$

\item Julie recommandera cette jardinerie s'il est possible qu'au moins trois quarts des pots de
bambous achetés vérifient la condition C.

Trois quarts correspondent à $0,75$ et cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de confiance $I$. Donc Julie ne recommandera pas cette jardinerie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{ PARTIE A}

\smallskip

On considère l'équation différentielle (E) $y'+0,01y = 1$
où $y$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
\begin{enumerate}
\item % Résoudre l'équation différentielle (E).
L'équation différentielle $y'+ay=b$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-at}+\dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque, donc l'équation différentielle $y'+0,01y =1$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,01t}+ \dfrac{1}{0,01}$, c'est-à-dire $f(t)=k\e^{-0,01t}+ 100$  où $k$ est un réel quelconque.

\item On détermine la fonction $g$ solution de (E) vérifiant la condition $g (0) =20$:

$g(0) =20 \iff k\e^{-0,01\times 0} + 100 = 20 \iff k+100=20 \iff k=-80$

La fonction $g$ cherchée est définie sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par $g(t)= -80\e^{-0,01t} + 100$.

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{ PARTIE B}

\smallskip

L'objectif des questions suivantes est l'étude de la température de l'eau dans un chauffe-eau.
La mise en marche se fait de manière automatique chaque soir à 22h30 (heures creuses).
On note $g (t )$ la température de l'eau dans le chauffe-eau, exprimée en degré Celsius, $t$ minutes après le déclenchement du mode \og  heures creuses\fg.

On considère que la fonction $g$ est définie pour tout nombre réel de l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par : $g (t) = -80\e^{-0,01t} +100$.

\begin{enumerate}
\item % Justifier par un calcul que la différence de température de l 23h et minuit est comprise entre 26 et 27 degrés Celsius.
À partir de 22h30, l'heure de 23h correspond à 30 minutes de chauffe et l'heure de minuit correspond à 90 minutes de chauffe.

La différence de température de l'eau du chauffe-eau entre 23h et minuit est donc de \\
$g(90) - g(30) \approx 26,7$\degres~C.

\item \begin{enumerate}
\item  $g'(t) = -80\times (-0,01)\e^{-0,01t} = 0,8 \e^{-0,01t}$

\item %Étudier le signe de $g'(t)$, puis en déduire les variations de la fonction $g$ .
Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc pour tout $t$ de $\left [0~;~+\infty\strut\right [$, $\e^{-0,01t}>0$ ce qui implique que $g'(t)>0$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que :

\begin{itemize}
\item   la valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $\left [a~;~b\strut\right ]$ est donnée par :
$\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_a^b g (t ) \d t$.
\item la fonction définie sur l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ par $G(t) = 8000\e^{-0,01t} +100t$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[resume]
\item  La température moyenne de l'eau dans le chauffe-eau entre 23h et minuit est

$\dfrac{1}{90-30} \ds\int_{30}^{90} g(t) \d t
= \dfrac{1}{60}\left [ G(90) - G(30)\strut\right ]
\approx 55,4$\degres~C

\item En réalité, le chauffe-eau est doté d'un système de régulation de la température afin que
celle-ci ne dépasse par \np[\tcdegree C]{60}.

L'heure à laquelle l'eau du chauffe-eau atteint cette température de \np[\tcdegree C]{60} est la valeur de $t$ pour laquelle $g(t)=60$:

$g(t)=60 \iff -80\e^{-0,01t} +100=60
\iff 40 = 80\e^{-0,01t}
\iff 0,5 = \e^{-0,01t}\\
\phantom{g(t)=60}
\iff \ln(0,5) = -0,01t
\iff -\dfrac{\ln(0,5}{0,01}=t$
soit environ $69$ minutes.

%\emph{Arrondir la réponse à la minute près.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip

Dans une grande chaîne de magasins, la direction décide de recenser la durée d'attente en caisse
de ses clients. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un client pris au hasard dans l'ensemble
des magasins, fait correspondre son temps d'attente exprimé en minute.
À partir de ces données, on considère que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'écart type 2.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité correspondant à la loi
suivie par la variable aléatoire $X$, obtenue à l'aide d'un logiciel.

\psset{xunit=0.88cm,yunit=20cm,arrowsize=5pt,yAxis=false,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,-0.05)(16,0.25)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=red]
{
\psGauss[sigma=2, mue=8,linewidth=0.5pt]{0}{5.437}
\psplot[plotpoints=4000]{5.437}{0}{0}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=red]
{
\psGauss[sigma=2, mue=8,linewidth=0.5pt]{10.563}{16}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=red]{16}{10.563}{0}
\closepath
}
\psaxes{->}(0,0)(16,0.4)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1pt,mue=8,sigma=2]{1}{15}
\psline(8,0)(8,0.1994)
\uput[d](5.437,0){\blue $b$} \uput[d](10.563,0){\blue $k$}
\psline[linecolor=blue](3,0.12)(4.8,0.02) \uput[ul](3,0.12){\blue $0,1$}
\psline[linecolor=blue](13,0.12)(11.2,0.02)  \uput[ur](13,0.12){\blue $0,1$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate} 
\item  La direction estime que l'attente est trop longue pour un client si elle est supérieure ou égale à dix minutes.

%Déterminer, au millième, la probabilité que, pour un client pris au hasard, la durée d'attente soit supérieure à cette période jugée trop longue.

D'après la courbe, on peut dire que l'espérance de la loi suivie par $X$ est $\mu=8$.

La probabilité que, pour un client pris au hasard, la durée d'attente soit supérieure à cette période jugée trop longue est
$P(X\geqslant 10) \approx 0,159$.

\item On veut déterminer une valeur approchée au centième du réel $k$ vérifiant $P(X > k) = 0, 1$.

La calculatrice donne $b\approx 5,437$ pour $b$ tel que $P(X\leqslant b)=0,1$.

Mais pour tout $a$, $P(X\leqslant\mu-a) = P(X \geqslant \mu+a)$.

Donc $P(X\leqslant b) = P(X \leqslant \mu-(\mu-b)) = P(X \geqslant \mu+(\mu-b))
=P(X\geqslant 2\mu-b)$

Comme $P(X\leqslant 5,437)\approx 0,1$, on en déduit que $P(X\geqslant 2\times 8 - 5,437)\approx 0,1$ ou encore \\
$P(X\geqslant 10,563)\approx 0,1$.

La valeur approchée au centième du nombre $k$ tel que $P(X>k)=0,1$ est $10,56$.

%Interpréter ce résultat en termes de temps d'attente.

$10,56$ minutes correspondent à environ $10'34''$; donc la probabilité d'attendre plus de $10'34''$ est de $0,1$.

\end{enumerate}
\end{document}