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%tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
%%%%Commandes perso FH
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STMG - Corrigé}
\lfoot{\small{Centres étrangers }}
\rfoot{\small{14 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Centres étrangers~\decofourright\\[4pt]
14 juin 2017}}
\end{center}
   
\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)} 

\smallskip
 
À l'occasion d'un festival pyrotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à partir d'une plate-forme située à 8 mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusée, notés A et B.

%\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol $x$, en
dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous.


\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.122cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(27,55)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(26,50)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000]{0}{25}{ x 6.78 x 0.284 neg mul add mul 8 add}
 \uput[ur](-2.5,52){\footnotesize Hauteur (en mètre)}
 \uput[d](21.5,-4){\footnotesize Temps de vol (en dixième de seconde)}
 \psline[linecolor=blue,ArrowInsideNo=2,ArrowInside=->,arrowscale=1.5](7,0)(7,42)(0,42) 
 \uput[d](7,0){\blue \small 7} \uput[l](0,42){\blue \small $\approx 42$}
 \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,40)(24,40)
  \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](6.47,40)(6.47,0)
   \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](17.4,40)(17.4,0)
   \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{[-]}(6.47,0)(17.4,0)
   \uput{15pt}[d](6.5,0){\red \small $6,5$}
    \uput{15pt}[d](17.4,0){\red \small $17,4$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Répondre aux deux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.
\begin{enumerate}
\item% Quelle hauteur atteindra la fusée après 0,7 seconde de vol?
La hauteur atteinte après $0,7$ seconde (donc 7 dixièmes) de vol est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 7, soit environ 42~m.

\item Pour des raisons de sécurité, la fusée doit exploser à une altitude supérieure à 40 mètres.% Déterminer l'intervalle de temps auquel doit appartenir $x$ pour satisfaire à cette contrainte.

On cherche les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure à 40; on trouve l'intervalle de temps (en dixièmes de seconde): $\cd 6,5~;~17,4 \cg$.

\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip

On modélise la hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type B en fonction de leur temps de vol $x$, en dixième de seconde, par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\cd 0~;~20\cg$ par: \\
$f (x) =- 0,5 x^2+ 10 x + 8$.

Comme dans le cas des fusées de type A, l'explosion des fusées de type B doit avoir lieu lorsque celles-ci sont situées à une altitude supérieure ou égale à 40 mètres. %On cherche à déterminer l'intervalle dans lequel doit se trouver $x$ pour satisfaire à cette contrainte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour satisfaire à la contrainte posée, $x$ doit être solution de l'inéquation 

$ f(x) \pg 40 \iff -0.5 x^2+10x+8 \pg 40 \iff -0.5 x^2+10x-32\geqslant 0$.

\item La fonction qui à $x$ associe $- 0,5 x^2 + 10 x - 32$ est un polynôme du second degré.

$\Delta= b^2-4ac = 10^2-4(-0,5)(-32) = 36$ donc le polynôme $-0,5x^2 + 10x - 32$ admet deux racines:\\
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-10-6}{-1} = 16$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-10+6}{-1} = 4$.

Le polynôme $-0,5x^2 + 10x - 32$ est du signe de $a=-0,5$ donc négatif à l'extérieur des racines. 

Le tableau suivant donne le signe de $-0,5x^2 + 10x - 32$ sur l'intervalle $\cd 0~;~20\cg$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 4 & \esp & 16 & \esp & 20 \\
\hline
-0,5x^2 + 10x - 32 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

L'artificier doit donc faire exploser ses fusées entre 4 et 16 dixièmes de seconde après leur envoi.

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 0~;~20\cg$:
$f'(x)=-0,5\times 2x +10 = -x+10$.

		\item  L'artificier souhaite connaître le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$; il s'agit de $f'(0)=10$.


	\end{enumerate}
\item  Pour des raisons d'esthétique, l'artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à leur hauteur maximale.
%Quel temps de vol avant explosion doit-il alors programmer ?

La fonction $f$ est à son maximum pour $x=-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{10}{2\times(-0,5)} = 10$; il doit donc faire exploser ses fusées 10 dixièmes de seconde après leur envoi, donc au bout d'une seconde.

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill ( 5 points)}  

%\vspace{0.25cm}

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne les indices de référence des
loyers, notés IRL, au dernier trimestre de chaque année depuis 2009 (base 100 pour l'année
1998) et leurs évolutions annuelles.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.19cm}|m{3.34cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &\centering A&B&C&D&E&F&G&H\\
\hline
\cellcolor{lightgray} 1	& Année					&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\\hline
\cellcolor{lightgray} 2	&Rang de l'année $x_i$	&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
\cellcolor{lightgray} 3	&Indice de référence 
des loyers $y_i$		&117,47 &119,17& 121,68& 123,97& 124,83&						125,29 & 125,28\\\hline
\cellcolor{lightgray} 4 &Taux d'évolution de l'IRL (arrondi à \np{0.01}\,\%)&\cellcolor{gray} &1,45 &&&&&\\\hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source: INSEE}}\\
\end{tabularx}

%\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  La cellule C\,4 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. %Quelle formule peut-on entrer dans cette cellule pour obtenir, par recopie sur la droite, l'ensemble des valeurs de la plage de cellules C\,4~:~H\,4 ?

On entre dans cette cellule la formule \fbox{\texttt{(C3 - B3) / B3}} ou \fbox{=(C\$3-B\$3)/B\$3} et on recopie cette formule vers la droite.

\item La loi française dispose que pour une révision annuelle d'un loyer, le taux d'évolution du loyer ne peut être supérieur à celui de l'IRL de l'année écoulée. Par exemple, un propriétaire ne peut augmenter le loyer de 2010 de plus de 1,45\,\% en janvier 2011.
Un propriétaire propose un loyer de 650~\euro{}  mensuel au dernier trimestre 2010 et souhaite le réviser et le passer à 658~\euro{} mensuel pour l'année 2011. %Est-il en accord avec la loi ?

%Justifier la réponse.

Passer de 650 à 658, c'est augmenter de $\dfrac{658-650}{650}\times 100 \approx 1,23$\,\% ce qui est en dessous des $1,45$\,\% autorisés.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le taux d'évolution arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015 est égal à:
$\dfrac{125,28-117,47\rule{0pt}{10pt}}{117,47}\times 100 \approx 6,65$\,\%.
		
		\item% En déduire le taux d'évolution annuel moyen arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015.
On ajoute $6,65\,\%$ entre 2009 et 2016, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de

 $1+\dfrac{6,65}{100}=\np{1,0665}$ pour 6 ans, et donc à un coefficient multiplicateur moyen annuel de $\np{1,0665}^{\frac{1}{6}} \approx \np{1,0108}$.

Multiplier par $\np{1,0108}$ revient à ajouter $1,08\,\%$. Le taux d'évolution annuel moyen est donc de $1,08\,\%$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés en arrondissant les coefficients au millième :

$y= 1,386 x + 116,981$.

\medskip
On décide de prendre comme droite d'ajustement de $y$ en $x$ la
droite $D$ d'équation $y = 1,39 x + 117$.

\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide de cet ajustement, on donne une estimation de l'IRL en 2017 puis en 2018.
		
L'année 2017 correspond à $x=9$ donc une estimation de l'IRL en 2017 est
$1,39 \times 9 + 117 = 		129,51$.

L'année 2018 correspond à $x=10$ donc une estimation de l'IRL en 2018 est
$1,39 \times 10 + 117 = 		130,90$.
		
		\item Le loyer mensuel d'un appartement s'élève à 850 \euro{}  au dernier trimestre de l'année 2018. %Si le propriétaire envisage à cette période une révision de ce loyer, quelle somme maximale, arrondie à l'euro, peut-il exiger de son locataire pour janvier 2019 ?
		
L'IRL passe de $129,51$ fin 2017 à $130,9$ fin 2018. 

Le loyer en tenant compte de cette augmentation d'IRL sera de
$850  \times \dfrac{130,9}{129,51} \approx 859$\,\euro{} maximum.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill (  6 points)}

%\vspace{0.25cm}

Une étude menée en 2010 par l'institut national de prévention et d'éducation à la santé
évalue le comportement face au tabac en fonction de l'âge d'initiation.

Cette étude menée auprès d'un panel de personnes âgées de 20 ans à 25 ans et ayant déjà
testé la cigarette présente les conclusions suivantes :
\begin{itemize}
\item la probabilité de devenir un fumeur régulier est de 0,65 si la première cigarette a été fumée avant l'âge de 14 ans;
\item cette probabilité est de 0,52 si la première cigarette a été fumée entre 14 ans et 17 ans;
\item cette probabilité est enfin de 0,32 si la première cigarette a été fumée après l'âge de 17 ans.
\end{itemize}

On interroge 500 personnes, choisies au hasard, âgées de 20 à 25 ans ayant déjà fumé. Le tableau ci-dessous donne la répartition des personnes interrogées selon l'âge qu'elles avaient lors de la consommation de leur première cigarette.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.65cm}|}} \hline
Âge& Avant 14 ans& Entre 14 ans et 17 ans& Après 17 ans\\\hline
Pourcentage des personnes interrogées& 28\,\%& 57\,\% &15\,\% \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

On choisit une personne au hasard parmi les 500 interrogées.

%\newpage
Dans la suite de l'exercice, on note:
\begin{itemize}
\item $F~$ l'évènement \og la personne choisie est un fumeur régulier\fg
\item $A~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans\fg ;
\item $B~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette entre 14 ans et 17 ans \fg ;
\item $C~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette après l'âge de 17 ans\fg.
\end{itemize}
  
%Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_{B} (A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé.

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données du texte, on complète l'arbre:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepB=2pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,treesep=0.8cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$A$}\naput{$0,28$}}
	  { 
		  \TR{$F$}\naput{$0,65$}
		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{$1-0,65=0,35$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$B$}\nbput{$0,57$}}
	  {
		  \TR{$F$}\naput{$0,52$}
		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{$1-0,52=0,48$}
	  }
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$C$}\nbput{$0,15$}}
	  {
		  \TR{$F$}\naput{$0,32$}
		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{$1-0,32=0,68$}
	  }	
}
\bigskip
\end{center}                                                         

\item La probabilité que la personne choisie ait fumé avant l'âge de 14 ans et soit un fumeur régulier est:\\
$p(A\cap F) = p(A)\times p_A(F)=0,28\times 0,65 = 0,182$.

\item% Montrer que $p(F) = \np{0.5264}$.
D'après la formule des probabilités totales:\\
$p(F)=p(A\cap F) + p(B\cap F) + p(C\cap F) = 0,182 + 0,57\times 0,52 + 0,15 \times 0,32 = \np{0,5264}$.

\item Sachant que la personne choisie est un fumeur régulier,  la probabilité qu'il ait fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans est:
$p_F(A)= \dfrac{p(A\cap F)}{p(F)} = \dfrac{0,182}{\np{0,5264}} \approx \np{0,3457}$.

\item L'échantillon étudié compte 294 fumeurs réguliers ce qui fait une fréquence $f$ égale à $\dfrac{294}{500} = 0,588$.

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est
$I=\left [ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$.

$p=\np{0,5264}$ et $n=500$ donc 
$I=\left [ \np{0,5264} -\dfrac{1}{\sqrt{500}}~;~\np{0,5264}+\dfrac{1}{\sqrt{500}} \right ]
\approx \cd \np{0,4817}~;\np{0,5711}\cg$.

La fréquence $f$ calculée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation trouvé donc on peut penser, avec un risque d'erreur de 5\,\%, que le nombre de fumeurs de cet échantillon est anormalement élevé.


\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

    
\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

%\vspace{0.25cm}

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
%
%Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

\bigskip

Un apiculteur constate qu'entre le 1\up{er} mars 2014 et le 1\up{er} mars 2016, la population d'abeilles adultes de sa ruche a diminué de 15\,\% par an.
\begin{enumerate}
\item  Au 1\up{er} mars 2016 l'apiculteur dénombre \np{55 200} abeilles adultes dans sa ruche, à combien peut-on estimer le nombre d'abeilles adultes, arrondi à la centaine, qui peuplaient la ruche au 1\up{er} mars 2014 ?

 \medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{73000}$ &\textbf{b.~~} $\np{107100}$&\fbox{\textbf{c.~~}$\np{76400}$}& \textbf{d.~~} $\np{71 800}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{quote}
\textbf{Explications}

Retirer $15\,\%$, c'est multiplier par $0,85$.\\
Retirer $15\,\%$ deux années de suite, c'est multiplier par $0,85^2$.

On a \np{55200} abeilles en 2016, donc il y en avait en 2014: $\dfrac{\np{55200}}{0,85^2} \approx \np{76400}$.

\end{quote}

\medskip

L'apiculteur fait l'hypothèse que cette baisse régulière de 15\,\% va se poursuivre dans les années à venir. Pour pallier cette perte, il décide d'introduire \np{15 000} abeilles adultes supplémentaires dans sa ruche au 1\up{er} mars de chaque année à partir de 2017.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Avec cette hypothèse, combien d'abeilles adultes, à la centaine près, peupleront la ruche
au 1\up{er} mars 2018 après l'apport de l'apiculteur?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.~~} $\np{67600}$} &\textbf{b.~~} $\np{70000}$&\textbf{c.~~}$\np{72400}$& \textbf{d.~~} $\np{63500}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{quote}
\textbf{Explications}

Il y a \np{55200} abeilles en 2016.

\begin{list}{\textbullet}{Il y en aura}
\item en 2017: $\np{55200}\times 0,85 + \np{15000} = \np{61920}$;
\item en 2018: $\np{61920}\times 0,85 + \np{15000} = \np{67632}$.
\end{list}
\end{quote}

L'apiculteur décide de poursuivre cet apport annuel de \np{15 000} abeilles adultes jusqu'à ce que la population de sa ruche atteigne \np{80 000} abeilles adultes.

\begin{enumerate}[resume]
\item Voici quatre algorithmes dont un seul permet de déterminer le nombre d'années (à partir de 2016) nécessaires pour atteindre cet objectif:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{\textbf{a.~~}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{b.~~}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\textbf{Traitement}

$a$ prend la valeur \np{55200}

$n$ prend la valeur 0

Tant que $n > \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$
&~&\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\textbf{Traitement}

$n$ prend la valeur 0

Tant que $a < \np{80000}$
 
\hspace{1em}$a$ prend la valeur \np{55 200}

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15 000}$

\hspace{1em} $n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$\\
\cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{\textbf{c.~~}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{d.~~}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\textbf{Traitement}

$n$ prend la valeur 0

$a$ prend la valeur \np{55 200}

Tant que $a < \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15 000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $a$&~&\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\rule{5.15cm}{0.2pt}

\textbf{Traitement}

$a$ prend la valeur \np{55 200}

$n$ prend la valeur 0

Tant que $a < \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$\\
\cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{quote}
\textbf{Explications}

\begin{list}{\textbullet}{On élimine:}
\item l'algorithme \textbf{a} dans lequel la boucle \og Tant que\fg{} tourne avec la variable $n$;
\item l'algorithme \textbf{b} car la variable $a$ est initialisée à l'intérieur de la boucle;
\item l'algorithme \textbf{c} qui fait afficher la variable $a$ au lieu de $n$.
\end{list}
\end{quote}

\bigskip

\item  On admet que la production moyenne de miel d'une ruche, en kilogramme, est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart type $\sigma = 5$.

La probabilité $p(5\leqslant X\leqslant 25)$ arrondie à 0,01 est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,68$ &\textbf{b.~~} $0,99$&\fbox{\textbf{c.~~}$0,95$}& \textbf{d.~~} $0,50$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{quote}
\textbf{Explications}

D'après le cours: $p(5 \pp X \pp 25) = p(15-2\times 5 \pp X \pp 15 + 2\times 5) =$

$ p(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
\end{quote}
\end{enumerate}
\end{document}