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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane\hspace}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé Baccalauréat STMG Antilles--Guyane  10 septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.\\
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait d'une feuille de calcul qui contient les valeurs ajoutées en milliard d'euros du secteur d'activité de l'agriculture, de la sylviculture et de la pêche entre 2010 et 2017.

La plage de cellules C3 : 13 est \textbf{au format pourcentage arrondi au dixième}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B& C &D &E &F &G &H &I\\ \hline
1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
2 &Valeur ajoutée en milliard d'euros &32,0 &34,0 &34,1 &30,9 &33,5 &35,3 &32,3 &34,6\\ \hline
3 &Taux d'évolution annuel&\cellcolor{lightgray}&&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize \emph{Source : INSEE Comptes Nationaux}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item La formule à saisir dans la cellule C3 de la feuille de calcul afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution annuels des valeurs ajoutées jusqu'en 2017 est :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\large\ding{192}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C$2-$B2/B2} &\large\ding{193}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=(C2-\$B2)/\$B2} &\large\ding{194}~~\psframebox{=(C$2-$B2)/B2} &\large\ding{195}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C2/\$B2$-1$}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  On considère que l'indice de référence 100 est attribué à la valeur ajoutée du secteur d'activité de l'agriculture, de la sylviculture et de la pêche en 2013.

En 2017, l'indice de la valeur ajoutée de ce secteur, arrondi au dixième, vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\large\ding{192}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{89,3}&\large\ding{193}~~\psframebox{112,0}&\large\ding{194}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{103,7}&\large\ding{195}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 86,3}
\end{tabularx}
\end{center}

 	\end{enumerate}
\item  Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance \textmu{} et d'écart-type \textsigma.
	
La courbe de densité associée à cette loi est représentée ci-dessous :
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-4,-0.025)(12.5,0.225)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.05]{->}(0,0)(-4,-0.010)(12.5,0.225)
\psGauss[mue=3.5,sigma=2.5,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.5}{12.5}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item L'espérance \textmu{} est égale à :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\large\ding{192}~~  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,05} &\large\ding{193}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,2}&\large\ding{194}~~\psframebox{3,5}&\large\ding{195}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0}
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Sachant que $P(X \leqslant 1) = 0,106$ alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\large\ding{192}~~  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$P(X \geqslant 6) = 0,894$}&\large\ding{193}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$P(X \leqslant 6) = 0,106$}\\
\large\ding{194}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$P(X \geqslant 1) = 0,106$}&\large\ding{195}~~\psframebox{$P(1 \leqslant X \leqslant  6) = 0,788$}
\end{tabularx}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\medskip

\textbf{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
{\footnotesize
Une entreprise est spécialisée dans le capsulage des bouteilles. Les salariés de l'entreprise sont sollicités,
\emph{via} un questionnaire en ligne, pour préparer une journée portes ouvertes. Tous les salariés ont répondu au questionnaire.
}
\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
{\footnotesize
Grâce aux fiches répertoriant les réponses au questionnaire, on sait que:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 34\,\% des salariés de l'entreprise travaillent dans les ateliers de production;
\item[$\bullet~~$] 55\,\% des salariés travaillant dans les ateliers de production acceptent de s'impliquer dans l'organisation de la journée portes ouvertes, ainsi que 30\,\% des salariés travaillant dans les autres secteurs.
\end{itemize}
 
On choisit de façon équiprobable une fiche dans la base des réponses.
 
 \smallskip
 
On définit les évènements suivants:
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og la fiche choisie est celle d'un salarié travaillant dans les ateliers de production \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og la fiche choisie est celle d'un salarié acceptant de s'impliquer dans l'organisation de la journée portes ouvertes \fg{}.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $C$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_C(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $C$ est réalisé.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $P_A(B)=\np{0.55}$ car 55\,\% des salariés travaillant dans les ateliers de production acceptent de s'impliquer dans l'organisation de la journée portes ouvertes.
		\item  Nous avons complété l'arbre de probabilité donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un salarié acceptant de s'impliquer dans l'organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers est notée $P(A\cap B)$. 

$P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=\np{0.34}\times\np{0.55}=\np{0.187}$
\item Peut-on affirmer qu'il y a plus d'une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d'un salarié acceptant de s'impliquer dans l'organisation de cette journée ? Pour ce faire, calculons $P(B)$.

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers.
$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)+ P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B).$

$P(B)=\np{0.34}\times \np{0.55}+\np{0.66}\times \np{0.30}=\np{0.385}$. 

Cette valeur étant supérieure à $\frac{1}{3}$,nous pouvons donc affirmer qu'il y a plus d'une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d'un salarié acceptant de s'impliquer dans l'organisation de cette journée.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

À l'issue de la journée portes ouvertes, la direction de l'entreprise souhaite estimer la proportion $p$ de visiteurs satisfaits. Pour cela, un groupe de $80$ visiteurs est interrogé. Parmi ceux-ci, $67$ se déclarent satisfaits de la visite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fréquence $f$ de personnes satisfaites dans ce groupe est $\frac{67}{80}=\np{0.8375}$.
\item  Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
$\left[\np{0.8375}-\dfrac{1}{\sqrt{80}}~;~\np{0.8375}+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\right]=[\np{0.7257}~;~\np{0.9493}]$
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~300] par 

\[f(x) = - x^2 + 450x - \np{20000}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~300] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolvons dans l'intervalle [0; 300] l'équation $f(x) = 0$.

Déterminons  dans $\R$   les racines de $-x^2+450x-\np{20000}$. Calculons le discriminant 

 $\Delta= (450)^2-4\times(-1)\times(-20000)=\np{202500}-\np{80000}=\np{122500}$.
		
		$\Delta>0$, le trinôme a deux racines distinctes 
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\dfrac{-450-\sqrt{\np{122500}}}{-2}=\dfrac{450+350}{2}=400 \quad  x_2=\dfrac{450-350}{2}=50$ 

L'ensemble des solutions de l'équation dans [0~;~300] est \{50\}.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x\in[0~;~300],\quad f'(x)=-2x+450$.
		\item Étudions les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~300].
		
Étudions d'abord le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~300]$.

Sur $\R,\; - 2x+ 450 > 0 \iff x < 225$. Il en résulte si $x\in [0~;~225[,\; f'(x) > 0$  et si $x\in ]225~;~300],\; f'(x) < 0$.
		
Étudions ensuite les variations de $f$ sur $[0~;~300]$.	

Si pour tout $x \in I$,\; $f'(x) > 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~225[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]225~;~300],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur [0~;~300].
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$225$}    \uput[u](7.73,2.45){$300$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.51,0.45){$-\np{20000}$}\uput[d](7.52,0.45){$\np{25000}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{30625}$}
\end{pspicture}
\end{center}
			\item Étant croissante sur [0~;~225[ et décroissante sur ]225~;~300], la fonction $f$ admet un maximum valant \np{30625}  en 225. %et préciser en quelle valeur il est atteint.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Une entreprise est spécialisée dans la production de tablettes tactiles. Cette entreprise a une capacité de production hebdomadaire pouvant aller jusqu'à $300$ unités.

Pour les valeurs entières de la variable $x$, qui représentent le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues par semaine, on admet que $f(x)$ représente le résultat, en euro, de cette entreprise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir de 50 tablettes tactiles produites et vendues par semaine l'entreprise réalise un résultat positif, c'est à dire un bénéfice. Nous avons montré à la question 1 de la partie A que $f(50)=0$ et ensuite que $f$ était croissante ou décroissante mais en restant positive.  
\item Le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues permettant de réaliser le bénéfice hebdomadaire maximal est 225, valeur en laquelle $f$ atteint son maximum.  La valeur de ce bénéfice est \np{30625}\,\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\medskip

L'INSEE a conduit une enquête sur l'usage des technologies de l'information et de la communication par les ménages entre 2009 et 2017.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : étude des connexions à Internet}

\medskip

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de cette enquête pour les connexions à Internet et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
Part des personnes s'étant connectées à Internet
(en pourcentage)&65,1 &68,2 &71,4 &74,7 &75,3 &77,3 &78 &79,3 &80,5\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s'étant connectées à Internet. % On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième. 
Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.
 
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{80.5}-\np{65.1}}{\np{65.1}}\approx \np{0.236559}$.

 Le taux global d’évolution entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s'étant connectées à Internet, exprimé en pourcentage et arrondi à \np{0.1}\,\% est de \np{23.7}\,\%.

		\item Calculons le taux  de la période 2015-2017.
		$\mathcal{T}'=\dfrac{\np{80.5}-\np{78}}{\np{78}}\approx \np{0.03205}$ soit en pourcentage arrondi au dixième \np{3.2}\,\%.
		
		Ce taux est nettement plus faible  que durant la période 2009-2017 puisque les personnes ayant une connexion à Internet étaient peu nombreuses en 2009 et devenaient de plus en plus nombreuses au fil des ans. Par conséquent, la part des personnes augmente mais le taux d'évolution diminue.
		
	\end{enumerate}
\item Montrons que le taux d'évolution annuel moyen de la part des personnes s'étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de 1,6\,\%.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^2$ puisque la part des personnes s'étant connectées à Internet a subi 2 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^2=\dfrac{\np{80.5}}{\np{78}}\approx\np{1.03205}$ par conséquent $t_m=\np{1.03205}^{\tfrac{1}{2}}-1\approx \np{0.015899}$.

Le taux d'évolution moyen entre les années 2015 et 2017, de la part des personnes s'étant connectées à Internet, arrondi au dixième, est  égal à \np{1.6}\,\%. 
Cela correspond bien au taux cherché. 


\item On admet que la part des personnes qui se connecteront à Internet augmentera de 1,6\,\% par an à compter de l'année 2017.
	
Donnons, selon ce modèle, une estimation  de la part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020. Entre 2017 et 2020 il y a 3 évolutions donc 
nous aurons $\np{80.5}\times \np{1.016}^3 \approx \np{84.426}$.

 Nous pouvons estimer cette part à \np{84.4}\,\% en 2020.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline	
$A \gets 2017$\\
$P \gets 80,5$\\
Tant que $P < 90$\\
\hspace{1cm}$P \gets 1,016 \times P$\\
\hspace{1cm}$A \gets A+1$\\
Fin Tant que\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

 Exécutons l'algorithme. 
			
		\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$A$& 2017 &2018& 2019& 2020& 2021 &2022& 2223&2024&2025&2026\\\hline
 P &\np{80.5}&\np{81.8}&\np{83.1}&\np{84.4}&\np{85.8}&\np{87.1}&\np{88.5}&\np{89.96}&\np{91.4}&\\\hline
 P<90&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Faux&\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip

La variable $A$ après l'exécution de l'algorithme contient  2025.


Cette valeur dans le contexte étudié est l'année où la  part des personnes s'étant connectées à Internet dépassera 90\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : étude des connexions à l'Internet mobile}

\medskip

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de l'enquête de l'INSEE pour les connexions à l'Internet mobile et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
Rang de l'année: $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
Part en pourcentage : $y_i$ (Internet mobile)& 17,7 &26,4 &28,4 &39,5 &46,5 &53,4 &55,8 &55,1 &62,4\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ allant de 0 à 8 est représenté en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice,  l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{5.56}x+\np{20.56}$. Les coefficients sont arrondis au centième.
\item On décide d'ajuster le nuage par la droite $D$ d'équation $y = 5,6x + 20,6$.

 Cette droite  est tracée sur le graphique donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item Selon le modèle retenu dans la question précédente, donnons une estimation de la part des personnes qui se connecteront à l'Internet mobile en 2020.

En 2020 $x=11$. En remplaçant $x$ par 11 dans l'équation de la droite, nous obtenons :

$y = 5,6\times 11 + 20,6=\np{82.2}$.

Selon ce modèle, une estimation  de la part des personnes qui se connecteront à l'Internet mobile en 2020 est \np{82.2}\,\%.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesep=3pt,levelsep=3cm,treesep=1.5cm,labelsep=0.01pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{0,34} }
	{\TR{$B$}\taput{0,55}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,45}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{0,66}}
	{\TR{$B$}\taput{\np{0.30}}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.70}}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Connexions à l'Internet mobile}

\medskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture*}(-2,-8)(17.5,110)
\multido{\n=0.0+0.2}{90}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+2}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(17.5,\n)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(17.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(17.5,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8,linecolor=blue](0,17.7)(1,26.4)(2,28.4)(3,39.5)(4,46.5)(5,53.4)(6,55.8)(7,55.1)(8,62.4)
\uput[u](15,0){Rang de l'année}\uput[u](17,0){$x$}
\rput{90}(-1.5,80){Part en pourcentage}\uput[r](0,108){$y$}
\def\Func{x 5.6  mul 20.6 add}
\psset{arrowscale=2}
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