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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Antilles--Guyane  18 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\vspace{0.5cm}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} 

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\textbf{Les deux parties sont indépendantes. }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance \textmu{} et d'écart type \textsigma{} telle que\\
 $P(17 \leqslant X \leqslant 24) \approx 0,46$ à $10^{-2}$ près. La courbe de densité de cette loi est représentée ci-dessous. Elle admet la droite d'équation $x = 24$ comme axe de symétrie. 
\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=50cm,comma}
\begin{pspicture}(45,0.12)\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psGauss[sigma=4,mue=24]{17}{24}
\psline(24,0)(17,0)(17,0.0225)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.02]{->}(0,0)(45,0.12)
\psGauss[sigma=4,mue=24]{0}{45}
\rput(9,0.05){$P(17 \leqslant X \leqslant 24) \approx 0,46$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \geqslant 31)$ est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} \psframebox{0,04} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,54}\\ 
\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,96} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,46} 
\end{tabularx}
\medskip

\item Les valeurs des deux paramètres de cette loi sont: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textmu = 24 et \textsigma = 0, 1} &\textbf{b.~~}\psframebox{\textmu = 24  et \textsigma= 4}\\ 
\textbf{c.~~}   \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textmu = 20 et \textsigma= 5, 69} &\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textmu = 4 et \textsigma = 24}.
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~4] dont la courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée dans le repère ci-dessous : 

\medskip

\psset{xunit=1.4cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-4.5)(5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 36 x mul add 27 sub}
\uput[l](3.8,3.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](4.8,0){$x$}\uput[r](0,5.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed ]{-}(0,0.5)(4,0.5)

\end{pspicture*} 
\end{center}

\medskip
             
\begin{enumerate}
\item Choisir la proposition correcte : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\begin{minipage}[]{0.35\textwidth}

le maximum de $f$ sur l'intervalle [1~;~4] est égal à 1.\end{minipage}}&\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{l'image de 1 par $f$ est égale à 2.}\\ 
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{la fonction $f$ est négative sur l'intervalle [2~;~ 3].}& \textbf{d.~~}\psframebox{l'équation $f(x) = 0,5$ admet trois solutions.} \\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. 

On a $f'(x) \leqslant 0$ pour tout réel $x$ appartenant à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[1~;~1,5]} &\textbf{b.~~} \psframebox{[2~;~3]} \\
\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[1~;~2] \cup [3~;~4]$} &\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[1,5~;~3] }
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~4], $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 27$. 

Choisir la proposition correcte : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = 5x^2 - 17x + 37$}&\textbf{b.~~} \psframebox{$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$}\\
\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = 6x^3 - 30x^2 + 36x - 27$} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = 6x^2 - 30x + 9$}. 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\vspace{0.5cm}

Un \emph{food truck}, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item la formule \emph{Burger} ; 
\item la formule \emph{Wok}. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Le gérant a remarqué que 70\,\% de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule \emph{Burger}, alors que 40\,\% des ventes du soir correspondent à la formule \emph{Wok}. 

Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir). 

On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants: 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ : \og la fiche correspond à une vente du midi \fg{} ; 
\item[ ] $S$ : \og la fiche correspond à une vente du soir \fg{} ; 
\item[ ] $W$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Wok} \fg{} ; 
\item[ ] $B$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Burger} \fg{}. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré est complété sur l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. 
\item La probabilité de l'évènement $M \cap W$ est : $p(M\cap W)= p(M)\times p_{M}(W)=\np{0.7}\times \np{0.75}=\np{0.525}$.

Ce résultat dans le contexte de l'exercice est la probabilité que la fiche choisie soit celle correspondant à une vente le midi et à une formule \emph{wok}. 
\item La probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule \emph{Burger} est notée $P(B)$. $M$ et $S$ forment une partition de l'univers donc

$p(B) = p(M\cap B) + p(S \cap B)=p(M)\times p_{M}(B)+p(S)\times p_{S}(B) = \np{0.7}\times\np{0.25} + \np{0.3}\times\np{0.6} = \np{0.175} + \np{0.18} = \np{0.355}$.

$p(B)$ est bien égale à $0,355$. 
\item On a prélevé une fiche correspondant à la formule \emph{Burger}. La probabilité que la vente ait eu lieu le soir est notée $p_{B}(S)$.

 $p_{B}(S)= \dfrac{p(S\cap B)}{p(B)}=\dfrac{\np{0.18}}{\np{0.355}}\approx\np{0.50704}$.
 
 La probabilité que la vente d'une formule \emph{Burger} ait eu lieu le soir, arrondie au millième, est de \np{0.507}.
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

Dans sa publicité, le gérant souhaite afficher que $9$ clients sur $10$ sont satisfaits des formules qu'il propose. 

Sur les $120$ clients servis au cours d'une journée, $94$ se sont déclarés satisfaits. 

Ce résultat de l'enquête permet-il de mettre en doute l'argument publicitaire du gérant? Expliciter la démarche à l'aide d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%. 

La proportion de clients satisfaits  est de 9 sur 10 soit 0,9, la taille de l'échantillon  est de 120 personnes.

L'intervalle de fluctuation  $I$ est $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

$I=\left[\np{0.9}-\dfrac{1}{\sqrt{120}}~;~\np{0.9}+\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right]=[\np{0.808}~;~\np{0.992}]$.


La fréquence observée est $\dfrac{94}{120} \approx \np{0.783}$.

L’affirmation du gérant n'est pas vérifiée puisque \np{0.783} n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm} 

Voici un aperçu d'une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  	&A   		&B   		&C   		&D   	&E   	&F   	&G   	&H   &I\\ \hline
1  	&Année		&2009		&2010		&2011	&2012	&2013	&2014	&2015&2016\\ \hline
2	&Rang de l'année $x_i$ 	&1			&2		&3		&4		&5		&6		&7	&8\\ \hline
3&Nombre de 
naissances $y_i$&\np{8304}	&\np{8111}	&\np{8041}&\np{7833}	&\np{7644}&\np{7466}&\np{7199}&\np{6927}\\ \hline
4	&Indice	&100	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\small \emph{Source: INSEE - État civil - Données mises en ligne le $12/10/2017$}}\\
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre formules proposées, laquelle peut-on saisir dans la cellule C4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu'en 2016 ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
{\Large\ding{192} } \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= C3*B4/\$B\$3}&{\Large\ding{193}}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ =\$C\$3*\$B\$4/B3}&{\Large\ding{194} }
 \psframebox{=C3*\$B\$4/\$B\$3} &{\Large\ding{195}}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=\$C\$3*B4/B3} 
 \end{tabularx}
 \medskip
\item Déterminons le taux d'évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016.


Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{6927}-\np{8304}}{\np{8304}}\approx -\np{0.1658}$.

 Le taux global d’évolution du nombre des naissances entre 2009 et 2016 exprimé en pourcentage et arrondi au dixième est de $-\np{16.6}\,\%$.
 
\item Expliquons pourquoi le taux d'évolution annuel moyen sur cette période est de $-2,6$\,\%, au dixième près. 

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^7$ puisque le nombre des naissances a subi 7 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^7=\dfrac{\np{6927}}{\np{8304}}\approx\np{0.8342}$ par conséquent $t_m=\np{0.8342}^{\tfrac{1}{7}} - 1\approx -\np{0.02556}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel du nombre des naissances entre 2009 et 2016, arrondi à 0,1\,\%, est  égal à $-\np{2.6}\,\%$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, pour $i$ variant de 1 à 8, est représenté sur le repère donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  Une équation de la droite d'ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{191.82}x+\np{8553.82}$.  Les coefficients sont arrondis au centième. 
\item Pour la suite, on décide de prendre comme droite d'ajustement du nuage de points la droite $\Delta$ d'équation: $y = - 192x + \np{8554}$.

	\begin{enumerate}
		\item Donnons les coordonnées de deux points de la droite $\Delta$.
		
 Nous pouvons prendre $(0~;~\np{8554})$ et $(12~;~\np{6250})$ puis tracer cette droite dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. 
		\item En utilisant cet ajustement   valide jusqu'en 2020, donnons une estimation du nombre de naissances dans le département concerné en 2020.\\
 En 2020 $x=12$. En remplaçant $x$ par cette valeur, nous obtenons $y= -192\times 12+\np{8554} =\np{6250}$
		
En 2020, une estimation du  nombre des naissances dans le département concerné sera de \np{6250}.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}

Le \og continent de plastique\fg{} est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l'océan Pacifique une surface dont l'aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie. 

En 2017, des scientifiques ont estimé la masse totale de déchets plastiques dans les océans à $300$ millions de tonnes et ont prévu une augmentation de $5,4$\,\% par an au cours des prochaines années. 

On modélise l'évolution de la masse totale de ces déchets plastiques, si rien n'est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,054$ et de premier terme $u_0 = 300$. L'arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse totale de ces déchets, exprimée en million de tonnes, pour l'année $(2017 + n)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

À une augmentation de \np{5.4}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.054}. 

 $u_1=300\times \np{1.054}=\np{316.2}$ et $u_2=\np{316.2}\times \np{1.054}\approx\np{333.27}$. 
\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$.

$u_n=300\times \left(\np{1.054}\right)^n$.
 
\item On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50$\,\% par rapport à sa valeur de 2017. 
	\begin{enumerate}
		\item  Complétons l'algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 2017$\\
$U \gets 300$ \\
Tant que $U < 450$\\
\hspace{1cm} $N \gets N+1$\\
\hspace{1cm} $U \gets \np{1.054}U$\\
Fin Tant que\\\hline
\end{tabularx} 
\end{center}
		\item Exécutons l'algorithme. 
			
		\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$& 2017 &2018& 2019& 2020& 2021 &2022& 2223&2024&2025\\\hline
 U &300&\np{316.2}&\np{333.27}&\np{351.27}&\np{370.24}&\np{411.31}&\np{433.52}&\np{456.93}&\\\hline
 U<450&Faux&Faux&Faux&Faux&Faux&Faux&Faux&Vrai&\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip

Les variables $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme contiennent respectivement \np{456.93} et 2025.

En 2025, la masse des déchets  aura dépassé 450 millions de tonnes		

%Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE}
\medskip
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{flushleft} \textbf{Exercice 2}
\end{flushleft} 

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\Tr{$M$~~}\taput{$\np{0.7}$}}
	{\TR{$W$}\taput{$\np{0.75}$}
	\TR{$B$}\tbput{$\np{0.25}$}
	}
\pstree{\Tr{$S$~~}\tbput{$\np{0.3}$}}
	{\TR{$W$}\taput{$\np{0.4}$}
	\TR{$B$}\tbput{$\np{0.6}$}
	}
}

\medskip

\begin{flushleft} \textbf{Exercice 3}
\end{flushleft} 

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0045cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(17,2750)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2750)}
\multido{\n=0+100}{28}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=6000,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(17,2750)
\uput[r](0,2740){Nombre de naissances}
\uput[u](15,0){Rang de l'année}
\psdots(1,2304)(2,2111)(3,2041)(4,1833)(5,1644)(6,1466)(7,1199)(8,927)
\uput[d](16.8,0){$x$}\uput[l](0,2700){$y$} 
\def\Func{x 192 neg mul 2554 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.4}{\Func}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8,linecolor=violet](0,2554)(12,250)

 \end{pspicture}
 \end{center}
\end{document}