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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Guadeloupe
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~ Correction du baccalauréat STMG Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt] 18 juin 2015}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ 
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse
n'enlève aucun point.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le prix d'un article soldé est de 41,40~\euro. L'étiquette indique
\og -40\,\% \fg. Le prix de l'article avant les soldes était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{69 \euro }&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{  81,40 \euro} &\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{58 \euro }
\end{tabularx}
\medskip

\item Une entreprise produit un grand nombre d'ampoules. La proportion d'ampoules
défectueuses dans la production est de $0,03$. On prélève successivement et de façon
indépendante quatre ampoules dans la production.

Une valeur approchée au millième de la probabilité que, parmi ces quatre ampoules,
exactement deux soient défectueuses est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,250} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{  0,060} &\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ 0,005}
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par :

\[f(x) = \dfrac{x^2 + 5x}{3x + 4}.\]


La dérivée de la fonction $f$ est donnée par:
 

% ['ex) = r, b) ['(x) = (3x + 4)2 c)
% ['(x) = 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = \dfrac{2x + 5}{3}$}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = \dfrac{9x^2 + 38x + 20}{ (3x + 4)^2}$}&\textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$f'(x) = \dfrac{3x^2 + 8x + 20}{(3x + 4)^2}$}.
\end{tabularx}
\medskip
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = 2x^3 + 4x + 2.\]

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 2 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $y = 26x + 2$ }&\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$y = 28x - 30$} &\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 28x + 26$}
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en millions de la population française en
fonction de l'année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&Rang $x_i$&Nombre $y_i$ d'habitants en millions\\ \hline
2000& 0& 60,5\\ \hline
2001& 1& 60,9\\ \hline
2002& 2& 61,4\\ \hline
2003& 3& 61,8\\ \hline
2004& 4& 62,3\\ \hline
2005& 5& 62,7\\ \hline
2006& 6& 63,2\\ \hline
2007& 7& 63,6\\ \hline
2008& 8& 63,9\\ \hline
2009& 9& 64,3\\ \hline
2010& 10& 64,6\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\footnotesize \emph{Source: INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\textbf{Partie A : premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite d'ajustement affine de
$y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est : $y=\np{0.42}x+\np{60.56}$ {\footnotesize(les coefficients étant arrondis
au centième)}.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation
$y = 0,4x + 60,6$. Sur la base de ce modèle, donnons une estimation du nombre
d'habitants en France en 2050. En 2050 le rang est 50. En remplaçant $x$ par 50 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=\np{0.4}\times 50+\np{60.6}=\np{80.6}$.

Sur la base de ce modèle, le nombre d'habitants en France en 2050 serait d'environ \np{80.6} millions.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : deuxième modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution global du nombre d'habitants de la population française,
exprimé en pourcentage et arrondi à 0,001\,\%, entre les années 2000 et 2010.

Le taux d'évolution  $T$ est défini par $T=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$
	\hspace{2em}	  $T=\dfrac{\np{64.6}-\np{60.5}}{\np{60.5}}\approx \np{0.067769}$.

Le taux d'évolution global du nombre d'habitants de la population française entre les années 2000 et 2010 est d'environ \np{6.777}\,\%.
\item En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{10}$ puisque le nombre d'habitants a subi 10 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{10}=\np{1.06777}$ par conséquent $t_m=\np{1.06777}^{\tfrac{1}{10}}-1\approx \np{0.006579}$.

Le taux d'évolution annuel moyen sur cette même période est d'environ \np{0.658}\,\%.
\item Dans la suite de l'exercice, on suppose qu'à partir de 2010, le nombre d'habitants
augmente de $0,66$\,\% par an.

Cette évolution conduit à estimer le nombre d'habitants, exprimé en millions, au cours de l'année $2010 + n$ \\
($n$ désignant un entier naturel), à partir de la valeur du $n$-ième terme d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Le premier terme  de la suite $\left(u_n\right)$ est le nombre d'habitants, exprimé en millions, en 2010 c'est-à-dire
$u_0=\np{64.6}$.

 La raison de la suite est \np{1.0066} puisque, à une augmentation au taux $t$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+t$.
		\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

		$u_n=u_0\times (q)^{n}$.

 $u_{n}=\np{64.6}\times(\np{1.0066})^n$.

		\item Montrons que, selon ce modèle, il y aura environ $84$ millions d'habitants en France en 2050.
		
		Pour ce faire, calculons $u_{40}$. $u_{40}=\np{64.6}\times(\np{1.0066})^{40}\approx \np{84.044}$.
		
		Selon ce modèle, il y aurait environ 84 millions d'habitants en France en 2050.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

D'après certains experts, la population mondiale devrait atteindre neuf milliards en 2050.

Justifions, par un calcul, la phrase suivante :

\og En 2050, il y aura moins d'une personne sur cent de la population mondiale qui vivra en
France. \fg

Calculons la proportion $p$ de personnes vivant en France par rapport à la population mondiale. $p=\dfrac{84\times 10^6} {9\times10^9}\approx \np{0.0093}$. 

Ce résultat est inférieur à \np{0.01}. Par conséquent, nous pouvons affirmer que la phrase est correcte.

{\footnotesize \emph{remarque} Nous aurions pu calculer le centième de la population mondiale c'est-à-dire 90 millions. Or selon les différents modèles ce nombre n'est pas atteint. Par conséquent, en 2050, il y aura moins d'une personne sur cent de la population mondiale qui vivra en
France.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 100
meubles par jour.

Pour $x$ meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé en euros),
noté $C(x)$, est donné par :

\[C(x) = 2,25x^2 - 6x + 20\]

Chaque meuble est vendu 299~\euro.

L'entreprise est ouverte cinq jours par semaine.

Le chef d'entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	& A		& B			& C		& D\\ \hline
1	& $x$ 	&Recette 	&Coût 	&Bénéfice\\ \hline
2	& 0 	&0 			&20 	&$- 20$\\ \hline
3	& 10 	&\np{2990}	& 185 	&2805\\ \hline
4	& 20	&			&		&\\ \hline
5	& 30	&			&		&\\ \hline
6	& 40	&			&		&\\ \hline
7	& 50	&			&		&\\ \hline
8	& 60	&			&		&\\ \hline
9	& 70	&			&		&\\ \hline
10	& 80	&			&		&\\ \hline
11	& 90	&			&		&\\ \hline
12	& 100	&			&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une formule qui, saisie dans la cellule B2, permet d'obtenir par recopie
vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus
chaque jour est : =299*\$A2.
		\item Une formule qui, saisie dans la cellule C2, permet d'obtenir, par
recopie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour est : = \$A2*(2,25*\$A2 $-$6)+20.
		\item Calculons les valeurs associées aux cellules B7, C7 et D7.
		\begin{description}
\item[En B7] nous obtenons $299 \times 50= \np{14950}$
\item [en C7] $50\times(2,25\times 50 -6)+20=\np{5345}$
\item [en D7] $\np{14950}-\np{5345}=\np{9605}$
\end{description}

		
		
		
	\end{enumerate}
\item Montrons que le bénéfice journalier correspondant à la production et la vente de $x$
meubles ($x \in [0~;~100]$) est donné par $B(x) = -2,25x^2 + 305x - 20$.

Sachant que le bénéfice est égal à la différence entre la recette et les coûts, nous avons donc  pour $x\in[0~;~100]$

$B(x)=299x-\left(\np{2.25}x^2-6x+20\right) = -\np{2.25}x^2+305x -20$.

Nous obtenons bien la valeur attendue.
\item  $B'(x)=-\np{2.25}(2x)+305 =-\np{4.5}x+305$.

Pour dresser le tableau de variation de $B$, étudions d'abord le signe de $B'(x)$.

Sur $\R$, $-\np{4.5}x+305>0$ si et seulement si $x < \dfrac{610}{9}$. Il en résulte que si $x\in\left[0~;~\dfrac{610}{9}\right[, \ B'(x)>0$ et 

si $x\in\left]\dfrac{610}{9}~;~100\right], \ B'(x)<0$

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in\left[0~;~\dfrac{610}{9}\right[,\ B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in\left]\dfrac{610}{9}~;~100\right], \ B'(x)>0$, par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 

Dressons le tableau de variation de $B$ sur [0~;~100].
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {\scriptsize $\frac{610}{9}$}    \uput[u](7.73,2.45){$100$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){\scriptsize de $B$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-20$}\uput[d](7.32,0.45){$\np{7980}$}
\psline{->}(1.75,0.5)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.5)
\uput[u](4.5,1.45){\scriptsize $\frac{\np{92845}}{9}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 $\dfrac{610}{9}\approx \np{67.78}\quad \dfrac{\np{92845}}{9}\approx \np{10316.11}$
 
\item Déterminons combien de meubles il faut produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier
maximal. Le nombre de meubles devant être un entier naturel, comparons le bénéfice pour $x=67$ ou $x=68$, valeurs encadrant la valeur pour laquelle  la fonction $B$ admet un maximum.

$B(67)=\np{10314.75}\quad B(68)=\np{10316}$. Pour obtenir un bénéfice journalier maximal, il faudra produire 68 meubles.
	
Le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise sur une période de
quatre semaines est de \np{206320}~euros. L'entreprise travaille cinq jours par semaine soit 20 jours et réalise un bénéfice de \np{10316} euros par jour,

($20\times \np{10316}=\np{206320}$).
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.57\linewidth}{\textbf{Partie A}

Une entreprise de \np{2000}~salariés compte \np{1200}
techniciens et 800 ingénieurs.

Parmi les techniciens, 25\,\% déjeunent dans le
restaurant de l'entreprise.

Parmi les ingénieurs, 20\,\% déjeunent dans ce même
restaurant.

On interroge un salarié au hasard.

On note $I$ l'évènement \og le salarié interrogé est
ingénieur\fg{} et $R$ l'évènement \og le salarié interrogé
déjeune dans le restaurant de l'entreprise \fg.

\smallskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement
contraire et $p(E)$ sa probabilité.

\medskip
}
\hfill
\parbox{0.33\linewidth}
{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
	{
\pstree{\TR{$I$~} \taput{\np{0.4}}}
		{
		\TR{$R$}\taput{\np{0.2}}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.8}}
		}
\pstree{\TR{$\overline{I}$~} \tbput{\np{0.6}}}
		{
		\TR{$R$}\taput{\np{0.25}}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.75}}
		}		
	}
}

\begin{enumerate}
\item Complétons l'arbre de probabilités ci-dessus.
\item Montrons que $p(R) = 0,23$.

$p(R)=p(I)\times p_{I}(R)+p(\overline{I})\times p_{\overline{I}}(R)=\np{0.4}\times\np{0.2}+\np{0.6}\times\np{0.25}=\np{0.23}$
\item  Un salarié sort du restaurant de l'entreprise après y avoir déjeuné.

Calculons la probabilité, arrondie au millième, pour qu'il soit ingénieur.

La probabilité que le salarié soit ingénieur sachant qu'il a déjeuné au restaurant de l'entreprise est notée $p_{R}(I)$.

$p_{R}(I) = \dfrac{p(R\cap I)}{p(R)}=\dfrac{\np{0.4}\times\np{0.2}}{\np{0.23}}\approx \np{0.3478}$.

Sachant que la personne interrogée a déjeuné au restaurant d'entreprise, la probabilité qu'elle soit ingénieur est \np{0.348}. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

On rappelle que cette entreprise est composée de \np{1200} techniciens et de $800$ ingénieurs.

On modélise le salaire mensuel, exprimé en euros, d'un technicien de l'entreprise par une
variable aléatoire $X_T$ suivant une loi normale d'espérance $m_T$ et d'écart type 200.

On modélise le salaire mensuel, exprimé en euros, d'un ingénieur de l'entreprise par une
variable aléatoire $X_I$ suivant une loi normale d'espérance $m_I$ et d'écart type 150.

On donne ci-dessous la représentation graphique des fonctions de densité des variables $X_T$ et $X_I$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.012cm,yunit=500cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-100,-0.001)(900,0.009)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1600,Dx=100,Dy=0.001](0,0)(-100,-0.0009)(900,0.009)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-100}{500}{x 200 100 GAUSS}
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{-100}{900}{x 600 50 GAUSS}
\psline(800,0.006)(900,0.006)\psline[linestyle=dashed](800,0.004)(900,0.004)
\rput(950,0.006){$X_T$}\rput(950,0.004){$X_I$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À la précision permise par le graphique,nous pouvons lire  $m_T=\np{1800}$ et $m_I=\np{2200}$. Nous considérons l'axe de symétrie des courbes passant par leur sommet.
\item À l'aide de la calculatrice, $p\left(X_T \leqslant  \np{1600}\right)=\np{0.16}$.

{\footnotesize Nous pouvons remarquer que $\np{1600}=\np{1800}-200$. Or $p(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)\approx \np{0.68}$ d'où $p(X\leqslant \mu-\sigma)=p(X\geqslant \mu+\sigma)=\dfrac{1-\np{0.68}}{2}=\np{0.16}$.}
\item Une estimation du nombre de techniciens dont le salaire mensuel est
inférieur ou égal à \np{1600}~\euro{} par mois est alors de 192 personnes $\np{0.16}\times \np{1200}=192$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

Une restructuration de l'entreprise a permis de promouvoir $250$~techniciens au statut
d'ingénieur. Les deux tableaux suivants rendent compte de cette évolution.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5mm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-7}
Avant restructuration& Techniciens &Ingénieurs&&Après restructuration&Techniciens &Ingénieurs\\ \cline{1-3}\cline{5-7} 
Effectif &\np{1200}& 800&&Effectif& 950& \np{1050}\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\multicolumn{1}{|m{1.9cm}|}{Salaire mensuel moyen}&\np{1800} &\np{2200}&&\multicolumn{1}{|m{1.9cm}|}{Salaire mensuel moyen}&\np{1764} &\np{2156}\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du salaire mensuel moyen des techniciens.
		
		Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $t_T=\dfrac{1764-\np{1800}}{\np{1800}}=-\np{0.02}$.

		Le taux d'évolution moyen du salaire des techniciens est une baisse de 2\,\%.
		\item Calculons le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du salaire mensuel moyen des ingénieurs.
		
		$t_I=\dfrac{\np{2156}-\np{2200}}{\np{2200}}=-\np{0.02}$.
Le taux d'évolution moyen du salaire des ingénieurs est une baisse de 2\,\%.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la masse salariale (c'est-à-dire le montant total des salaires de tous les
employés) avant et après la restructuration.

\begin{itemize}
\item Avant la restructuration : $\np{1800}\times\np{1200}+\np{2200}\times\np{800}=\np{3920000}$
\item Après la restructuration : $\np{1764}\times\np{950}+\np{2156}\times\np{1050}=\np{3939600}$
\end{itemize}

		\item Essayons d'expliquer pourquoi la masse salariale a augmenté alors que le salaire
mensuel moyen de chaque catégorie a diminué.

La masse salariale globale augmente car les effectifs de chaque catégorie changent.

Il est probable que les techniciens promus avaient des salaires supérieurs à  la moyenne et que leur nouveau salaire soit inférieur à la moyenne de celui des ingénieurs. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}