\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx} 
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pst-bezier}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeindex
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {corrigé STMG Antilles-Guyane},
pdftitle = {septembre 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2015}}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]septembre 2015}}

\medskip \textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
Dans un supermarché ouvert de 9 h à 20 h, on a relevé le nombre de clients présents en caisse à différentes heures de la journée. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.35cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure   &10   &11   &12   &13   &14   &15   &16   &17   &18   &19   &20\\ \hline   
Nombre de clients&  68   &32   &22   &55   &52   &79   &108   &131   &144   &138   &110\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
Le nuage de points associé à ces relevés est donné en annexe. 
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points n'étant guère alignés, c'est pourquoi il n'est pas pertinent d'envisager un ajustement affine de ce nuage de points. 
\end{enumerate}
Dans toute la suite de l'exercice, on modélise le nombre de clients présents en caisse à l'instant $t$ exprimé en heures par la fonction $N$ définie sur [10~;~20] par : 
$N(t) = - t^3 + 45,375t^2 - 657t + \np{3100}$.
 \begin{enumerate}[resume]
\item Pour estimer, selon ce modèle, le nombre de clients attendus en caisse à 15 h 30, calculons  $N(\np{15.5})$. 

$N(\np{15.5})\approx 94$.
\item Déterminons l'expression algébrique de $N'(t)$, où $N'$ désigne la fonction dérivée de $N$ sur l'intervalle [10~;~20].
 
$N'(t)=-3t^2+\np{45.375}(2t)-657=-3t^2+\np{90.75}t-657$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons sur [10~;~20] l'équation $N'(t) = 0$. 
		
		Déterminons sur $\R$ les racines de $-3t^2+\np{90.75}t-657$
		
		C' est un trinôme du second degré. Calculons le discriminant $\Delta$. 

$\Delta=(90,75)^2-4\times (-3)\times (-657)=\np{351.5625}=(\np{18.75})^2$.

$\Delta >0$, le trinôme admet deux racines $t_1=\dfrac{-\np{90.75}-\np{18,75}}{2\times (-3)}=\np{18.25}$
		$t_2=\dfrac{-\np{90.75}+\np{18,75}}{2\times (-3)}=\np{12}$.
		
		Ces racines appartenant à [10~;~20], les solutions de l'équation $N'(t)=0$ sont les mêmes. 

$N'(t)=-3(t-12)(t-\np{18.25})$.
		\item Étudions le signe de $N'$ sur l'intervalle [10~;~20]]. 
		
		\begin{center}
		{\footnotesize
		\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $t$&10&&12&&18,25&&20\\\hline $t-12$&&   $-$   &0&   +   &$\vrule$&   +   &\\\hline $t-18,25$&&$-$&$\vrule$&$-$&0&+&\\\hline  $-3$&& $-$&$\vrule$& $-$&$\vrule$& $-$&\\\hline $N'(t)$&&$-$&0&+&0&$-$& \\\hline
 \end{tabular}}
	\end{center}	
		\item Étudions le sens de variation de $f$.
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $[10~;~12[$ ou sur $]\np{18.25}~;~20]$, $f'(x)<0$, par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in]12~;~\np{18.25}[,\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur[10~;~20]. $N(10)=\np{67.5}\quad N(\np{18.25})=\np{144.0703125}$, par conséquent dans le tableau ces valeurs  sont arrondies à l'entier le plus proche.

 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$10$} \uput[u](3.15,2.45){$12$} \uput[u](5.75,2.45){$\np{18.25}$} \uput[u](7.75,2.45){$20$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[ur](1,1.5){$\approx 68$}\uput[d](3.115,0.55){$22$}\uput[u](5.75,1.5){$\approx 144$}\uput[d](7.42,0.55){$110$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\end{pspicture}}
\end{center}
\end{enumerate}
\item  Le gérant affirme que le nombre de clients est maximal entre 18 h et 18~h~30. 

C'est confirmé par le modèle puisque $N$ admet un maximum pour $t= \np{18.25}$ c'est-à-dire 18~h~15.
\item La valeur du tableau qui peut être considérée comme aberrante par rapport au modèle choisi  est 55 puisque  il y a 22 personnes pour $t=12$  et 52 personnes pour $t=14$, . La fonction étant croissante sur [12~;~14], la valeur de l'effectif pour $t =13$ devrait donc être comprise entre 22 et 52 exclus.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
La population mondiale était d'environ \np{5321} millions en 1990. 

L'évolution de cette population tous les cinq ans depuis 1990 est donnée par le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.35cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&   1990  &1995   &2000   &2005   &2010\\ \hline   
Rang de l'année $x_i$&   0   	&1   &2   &3   &4 \\ \hline   
Taux d'évolution   (arrondi à 0,01\,\%)&& + 7,91\,\% &+ 6,72\,\% &+ 6,30\,\% &+ 6,17\,\% \\ \hline   
Effectif $y_i$ (arrondi au million)&\np{5321}  &\np{5742}   &\np{6128}&     &\np{6916}\\ \hline    
\multicolumn{6}{r}{Source : INSEE}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Exemple de lecture : la population mondiale a augmenté de 7,91\,\% entre 1990 et 1995. 
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculons l'effectif de la population mondiale en 2005, arrondi au million. 

À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient multiplicateur $1+t$. Nous avons $t=\np{0.063}$, le coefficient multiplicateur est alors \np{1.063}.

$\np{6128}\times \np{1.063}\approx \np{6514}$ l'effectif de la population mondiale en 2005 est, à un million près, d'environ \np{6514} millions.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons le taux d'évolution de la population mondiale entre 1990 et 2010. 
 
 Le taux d'évolution est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $T=\dfrac{\np{6916}-\np{5321}}{\np{5321}}\approx \np{0.29976}$
 
 Le taux d'évolution de la population mondiale entre 1990 et 2010 est d'environ \np{29.98}\,\% arrondi à 0,01\,\%.


		\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen de l'année 1990 à l'année 2010, arrondi à 0,01\,\%.

 En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{20}$ puisque il y a eu 20 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{20}=\np{1.29976}$ par conséquent $t_m=\np{1.29976}^{\tfrac{1}{20}}-1\approx \np{0.0132}$.

Le  taux d'évolution annuel moyen entre 1990 et 2010 est d'environ \np{1.32}\,\% arrondi à 0,01\,\%.

		\item On suppose que la population augmente chaque année de 1,3\,\% à partir de 2010. 

Donnons une estimation de la population mondiale attendue en 2020, arrondie au million. Entre 2010 et 2020 il y a 10 années. $\np{6916}\times \np{1.013}^{10}\approx \np{7869.54}$.

Nous pouvons estimer la population mondiale à environ \np{7870} millions en 2020 sur la base d'un taux d'évolution annuel de 1,3\,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $D$ de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{396.2}x+\np{5331.8}$. Les coefficients sont arrondis au dixième. 
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite D d'équation $y = 396x + \np{5332}$. 

Selon ce modèle, estimons  l'effectif de la population mondiale en 2020. En 2020 $x=6$ remplaçons $x$ par 6 dans l'équation de la droite $y=396\times 6+\np{5332}=\np{7708}$.

Selon ce modèle,nous pouvons estimer la population mondiale à environ \np{7708} millions en 2020.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Un employeur donne le choix à un salarié à temps partiel entre deux modes de rémunération: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item proposition A : salaire mensuel brut de \np{1200}~\euro{} au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 15~\euro{} du salaire mensuel brut ; 
\item proposition B : salaire mensuel brut de \np{1000}~\euro{} au premier janvier 2015, puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 4\,\% du salaire mensuel brut. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On se propose d'étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour ce salarié. 

On note, pour tout $n \in \N$ : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $u_n$ le salaire mensuel brut au premier janvier de l'année $(2015 + n)$ pour la première proposition ; 
\item $v_n$ le salaire mensuel brut au premier janvier de l'année $(2015 + n)$pour la deuxième proposition. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Puisque, dans la proposition A, son salaire est augmenté de 15 euros chaque année

 $u_1=\np{1200}+15=\np{1215},\:u_2=\np{1215}+15=\np{1230}$
 
Puisque dans la proposition B  son salaire est augmenté de 4\,\% par conséquent multiplié par \np{1.04}

$v_1=\np{1000}\times \np{1.04}$ et $v_2=\np{1040}\times \np{1.04} =\np{1081.60}$. 

\item Donnons la nature et la raison de chacune des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. 

Puisque, dans la proposition A, son salaire est augmenté de 15 euros chaque année donc d'une quantité constante, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison 15 et de premier terme \np{1200}.

Puisque dans la proposition B,  son salaire est augmenté de 4\,\% par conséquent multiplié par \np{1.04} donc toujours multiplié par un même nombre, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.04} et de premier terme \np{1000}.

\item Exprimons, pour tout entier naturel $n,\: u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$. 

Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+(n)r$.

 $u_n=\np{1200}+15n$

Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$v_{n}=\np{1000}\times(\np{1.04})^n$
\item Calculons, pour chacune des deux propositions, le salaire mensuel brut en 2023. En 2023 $n=8$, par conséquent $u_8=\np{1200}+15\times 8=\np{1320}$ et $v_8=\np{1000}\times(\np{1.04})^8\approx \np{1369}$

Les résultats sont arrondis à l'euro. 
\item Une feuille de calcul a été élaborée dans le but de calculer le salaire mensuel brut, au premier janvier de chaque année, pour chacune des deux propositions de rémunération. 
\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    &A   &B   &C   &D   &E   &F   &G   &H   &I    &J&K   &L   &M   &N\\ \hline   
1&Année&2015 &2016&2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025&2026&2027\\ \hline  
2&$u_n$&   \np{1200}&   \np{1215}&&&&&&&&&&&\\ \hline                         
3&$v_n$&   \np{1000}&   \np{1040}&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
}
\end{center}
                        
	\begin{enumerate}
		\item Une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu de la plage C2 : N2 est :=B\$2+15. 
		\item Une formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu de la plage C3 : N3 est =B\$3*1,04. 
	\end{enumerate}
\item Déterminons à partir de quelle année le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépasse celui de la proposition A. En calculant les différentes valeurs des deux suites, nous constatons que pour $n=7$  $u_7=\np{1305}$  et $v_7=\np{1315.93}$. 

$2015 + 7 = 2022$, par conséquent à partir de 2022 le salaire obtenu avec la proposition B dépasse celui obtenu avec la proposition A. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip 
{\footnotesize
Un distributeur de tomates est approvisionné par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70\,\% de l'approvisionnement de ce distributeur, le reste provenant, à parts égales, des deux autres producteurs. 

\medskip

Avant d'être conditionnées, les tomates sont calibrées par une machine qui les trie selon leur diamètre. Les tomates dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont conservées, les autres, dites \og hors calibre \fg, sont rejetées. 

Il a été constaté que 5\,\% des tomates fournies par le premier producteur sont hors calibre, 20\,\% des tomates fournies par le second producteur sont hors calibre et 4\,\% des tomates fournies par le troisième producteur sont hors calibre. 

Chaque jour les tomates livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées. 

Un contrôle de qualité sur les tomates est effectué de la manière suivante: un contrôleur choisit au hasard une tomate dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de \og bon calibre\fg ou \og hors calibre \fg. 

On note $A_1,\: A_2,\: A_3$ et $C$ les évènements: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $A_1$ : \og la tomate prélevée provient du premier producteur\fg{} ; 
\item $A_2$ : \og la tomate prélevée provient du deuxième producteur \fg{} ; 
\item $A_3$ : \og la tomate prélevée provient du troisième producteur\fg{} ; 
\item $C_{\phantom{4}}$: \og la tomate prélevée est de bon calibre \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
(Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité. 
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, complétons l'arbre donné en annexe. 
\item Justifions que $p\left(A_2\right) = 0,15$. 

Nous savons que $p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)=1$, en outre $p(A_2)=p(A_3)$. Par conséquent $\np{0.7}+2p(A_2)=1$ d'où $p(A_2)=\np{0.15}$.
\item La probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est notée  

$p(C \cap A_3)$. Or $p\left(C \cap A_3\right) = p(A_3) \times p_{A_3}(C) = 0,15 \times \np{0,96} = 0,144$. 
\item Montrons que la probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre est égale à 0,929. 

$p(C)=p\left(A_{1}\cap C\right)+p\left(A_{2}\cap C\right)+p\left(A_{3}\cap C\right)= p(A_1)\times p_{A_1}(C)+p(A_2)\times p_{A_2}(C)+p(A_3)\times p_{A_3}(C)$

$p(C)=\np{0.7}\times\np{0.95}+\np{0.15}\times\np{0.8}+\np{0.15}\times\np{0.96}=\np{0.665}+\np{0.12}+\np{0.144}=\np{0.929} $
\item La tomate prélevée est hors calibre. Le contrôleur affirme : \og Cette tomate provient très probablement du deuxième producteur \fg.

Calculons $p_{\overline{C}}\left(A_2\right) = \dfrac{p\left(A_2\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}=\dfrac{\np{0.15}\times \np{0.2}}{1-\np{0.929}}\approx \np{0.4225}$.

Pour comparer calculons $p_{\overline{C}}\left(A_1\right)=\dfrac{p\left(A_1\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}=\dfrac{\np{0.7}\times \np{0.05}}{1-\np{0.929}}\approx \np{0.4930}$. 

Par conséquent le contrôleur a tort, elle provient plus probablement du premier producteur.
 %A-t-il raison? Justifier. 
\item Le contrôleur prélève au hasard un lot de sept tomates. Le nombre de tomates est suffisamment grand pour assimiler ces prélèvements à des tirages indépendants avec remise. 

À l'aide de la calculatrice, déterminons la probabilité, à 0,001 près, qu'il y ait exactement cinq tomates de bon calibre dans le lot. 

$p(X=5)=\dbinom{7}{5}\times \np{0.929}^5\times (1-\np{0.929})^2\approx \np{0.073}$
\item Le diamètre en cm d'une tomate de bon calibre est modélisé par la loi normale d'espérance $\mu = 6$ et d'écart type $\sigma = 0,5$. 

On choisit une tomate de bon calibre au hasard. À l'aide de la calculatrice, déterminons à 0,01 près: 
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité que la tomate ait un diamètre compris entre 5~cm et 7~cm ; $p(5\leqslant Y\leqslant 7)\approx \np{0.95}$
		\item la probabilité que la tomate ait un diamètre inférieur ou égal à 5,5~cm. $p(Y\leqslant \np{5.5})\approx \np{0.16}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie Annexe (Exercice 1) }

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(11,150)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline(\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=10,Dy=10](0,0)(10,150)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,68)(1,32)(2,22)(3,55)(4,52)(5,79)(6,108)(7,131)(8,144)(9,138)(10,110)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Annexe (Exercice 4)}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{0,7}}
	{\TR{$C$}\taput{\np{0.95}}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.05}}
	}
\pstree{\TR{$A_2$~}\taput{\np{0.15}}}
	{\TR{$C$}\taput{\np{0.8}}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.2}}
	}
	\pstree{\TR{$A_3$~}\tbput{\np{0.15}}}
	{\TR{$C$}\taput{\np{0.96}}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.04}}
	}
}  
\end{center}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}
