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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Antilles--Guyane - 4 septembre 2020 },
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Antilles--Guyane}~\decofourright\\[6pt] \textbf{4 septembre  2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

%L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisée.
%
%L'usage de calculatrice sans mémoire  \og type collège\fg{}  est autorisé.
%
%\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\vspace{0.5cm}

%Un réseau d'agences de tourisme s'intéresse aux voyages effectués par les Français de plus de 15 ans
%pendant leurs congés et commande une enquête sur le sujet auprès d'un institut de sondage.
%L'institut crée un fichier en notant, pour chaque voyage, sa destination et sa durée.
%
%Il ressort de cette enquête que :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]  54\,\% de ces voyages ont été de courte durée (1 à 3 nuitées).
%\item[$\bullet~~$] 94\,\% des voyages de courte durée ont eu lieu en France.
%\item[$\bullet~~$] 79\,\% des voyages de longue durée (au moins 4 nuitées) ont eu lieu en France.
% \end{itemize}
% 
%On choisit de façon équiprobable l'une de ces fiches.
%
%On note :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $F$ l'événement \og  la fiche indique que le voyage a eu lieu en France\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $C$ l'événement \og  la fiche indique que le voyage était de courte durée\fg .
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
Voir l'annexe à la fin.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire par une phrase l'événement $C \cap F$.
$C \cap F$ désigne l'évènement : \og le voyage de courte durée a été effectué en France \fg.
		\item %Calculer la probabilité de cet évènement.
On a $p(C \cap F) = p(C) \times p_C(F) = 0,54 \times 0,94 = \np{0,5076}$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité que le voyage ait eu lieu en France est égale à 0,871.
On a de même $p\left(\overline{C} \cap F \right) = p\left(\overline{C}\right)  \times p\left(\overline{C}\right) \times p_{\overline{C}}(F) = 0,46 \times 0,79 = \np{0,3634}$.

D'après la loi des probabilités totales : $p(F) = p(C \cap F) + p\left(\overline{C} \cap F \right) = \np{0,5076} + \np{0,3634} = 0,871$.
\item %La fiche indique que le voyage a eu lieu en France. Quelle est la probabilité qu'il ait été de courte durée ?
Il faut trouver $p_F(C) = \dfrac{p(F \cap C)}{p(F)} = \dfrac{p(C \cap F)}{p(F)} = \dfrac{\np{0,5076}}{0,871}\approx \np{0,58278}$ soit environ \np{0,5828}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}

%Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires, en million d'euros, d'une entreprise de nouvelles
%technologies.
%
%\smallskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%Année					&2012	&2013	&2014 	&2015	&2016	&2017\\\hline
%Rang de l'année : $x_i$	&0		& 1		& 2		& 3		& 4		& 5\\\hline
%Chiffre d'affaires (en million 
%d'euros) : $y_i$		& \np{4 470}&\np{6 810}&\np{10 950}&\np{15 750} &\np{24 270}&\np{35 700} \\
%\hline
%\multicolumn{7}{r}{\small \emph{Source:  numéro 254 du Journal L'Éco du 8 au 14 février 2019}}\\
%\end{tabularx}
%\smallskip
%
%Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ est donnée en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Évolution du chiffre d'affaires}
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que le taux d'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017, en pourcentage et arrondi à l'unité, est égal à 699\,\%.
Le taux d'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017 est égal à $\dfrac{\np{35700} - \np{4470}}{\np{4470}} \approx \np{6,9865}$ soit un taux de 699\,\%
\item %En déduire le taux annuel moyen d'évolution entre 2012 et 2017. Donner le résultat en pourcentage et arrondi à l'unité.
Le taux annuel moyen sur les 5 ans $t_m$ est le nombre tel que : 

$\np{4470}\left(1 + t_m\right)^{5} = \np{35700}$,soit $\left(1 + t_m\right)^{5} = \dfrac{\np{35700}}{\np{4470}}$ ou $1 + t_m = \left(\dfrac{\np{35700}}{\np{4470}}\right)^{\frac{1}{5}}  \approx 1,5152$, soit 151,52\,\%.

Arrondi à l'unité : $t_m \approx 52\,\%$.
\end{enumerate}

\smallskip

\item \textbf{Première modélisation}
\begin{enumerate}
\item  %À l'aide de la calculatrice, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
La calculatrice donne comme équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés : $y = \np{6095,1}x \np{1087,1}$.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = \np{6095} x + \np{1087}$.

%Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $D$ puis tracer cette droite dans le repère donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
On peut prendre les points A(0~;~\np{1087}) et B(8~;~\np{49847}) pour tracer la droite $D$.
\item %Selon ce modèle, quel aurait été le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2018 ?
2018 correspond à $x = 6$, d'où $y = \np{6095} \times 6 + \np{1087}= \np{37657}$~millions d'euros.
\end{enumerate}

\smallskip

\item \textbf{Seconde modélisation}

%On admet que, pour toute valeur entière de $n$ entre 0 et 6, l'expression $\np{1124} n^2 + 473 n + \np{4 835}$ donne une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise, exprimé en million d'euros, pour
%l'année $(2012 + n)$.
%
%Quelle valeur ce modèle fournit-il comme estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2018 ?
On a comme estimation pour $n = 6$, \: $\np{1124} \times 6^2 + 473 \times 6 + \np{4 835} = \np{48137}$.
\item %En réalité, le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2018 a été de \np{49 000} millions d'euros.
%Parmi les deux modèles proposés, lequel donne pour 2018 l'estimation la plus proche de la réalité ?
C'est donc le second modèle qui se rapproche le plus de la réalité.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est correcte.\\
%Pour chaque question, indiquer sur la copie l'affirmation choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Chaque réponse correcte rapporte un point.\\
%Une réponse incorrecte, une réponse multiple, une absence de réponse, ne rapportent ni n'enlèvent
%de point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~2]$.

%On note $f'$ sa fonction dérivée.
%
%Le tableau de variation de $f$ est donné ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(9,2.25)
%%\psgrid
%\psframe(8,2)
%\psline(0,1.5)(8,1.5)\psline(0,2)(8,2)  \psline(2.5,0)(2.5,2)
%\uput[ul](1.5,1.5){$x$} \uput[u](2.65,1.5){$-1$}\uput[u](5.2,1.45){$\frac{1}{2}$}\uput[u](7.7,1.5){$2$}
%\uput[u](1.3,0.75){Variation}
%\uput[u](1.3,0.25){ de $f$}
%\psline{->}(3.1,0.15)(7.5,1.25)%\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)\psline{->}(9.5,0.5)(11,1.25)
%\uput[ur](2.56,0){\small $-3$} \uput[d](7.6,1.5) {$\frac{3}{4}$}
%\uput[u](5.2,0.48){$0$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
D'après le théorème des valeurs intermédiaires seule la deuxième affirmation est vraie.
%Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

\smallskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{1. a.~~} $f(0) =  \dfrac{1}{2}$&
%\textbf{1. b.~~} L'équation $f(x) = -2$ admet une solution\\
%\textbf{1. c.~~} $f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ est positif &
%\textbf{1. d.~~} La représentation graphique de $f$ est un segment de droite.\\
%\end{tabularx}
\item 
%Pour la fonction $f$ de la question 1, parmi les quatre tableaux suivants, lequel est correct ?

\smallskip

%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{2. a.~~}
%\[\begin{array}{|c|ccccc|}
%\hline
%x & -1 & &  & & 2\\ \hline
%\text{signe de } f'(x) & &  & + & & \\
%\hline
%\end{array}\]
%
%&\textbf{2. b.~~}
%\[\begin{array}{|c|ccccc|}
%\hline
%x & -1 & & \frac{1}{2} & & 2\\ \hline
%\text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & \\
%\hline
%\end{array}\]\\
% 
%\textbf{2. c.~~} 
%\[\begin{array}{|c|ccccc|}
%\hline
%x & -1 & &\frac{1}{2}  & & 2\\ \hline
%\text{signe de } f'(x) & & + & 0 & - & \\
%\hline
%\end{array}\]
%&\textbf{2. d.~~} 
%\[\begin{array}{|c|ccccc|}
%\hline
%x & -1 & &  & & 2\\ \hline
%\text{signe de } f'(x) & & & - &  & \\
%\hline
%\end{array}\]
%\end{tabularx}
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1~;~2]$, donc $f'(x) \geqslant 0$ sur cet intervalle : tableau 1 correct.
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^2(2x + 1)$. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
On a $g(x) = 2x^3 + x^2$ : la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : 

$g'(x) = 3 \times 2x^2 + 2x = 6x^2 + 2x$. Affirmation c.
\smallskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{3. a.~~} $g'(x) = 2x^3 + x^2$ &
%\textbf{3. b.~~} $g'(x) = 4x$\\
%\textbf{3. c.~~} $g'(x) = 6x^2 + 2x$ &
%\textbf{3. d.~~} $g'(x) = 2x^2 + 2$.\\
%\end{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\item Par symétrie on sait que $P(X > 5) = P(X < 3) = 0,3$. L'affirmation c. est correcte.
%Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous.

%La droite d'équation $x = 4$ est un axe de symétrie de cette courbe et on a $P(X < 3) = 0,3$.
\end{enumerate}


%\begin{center}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=24cm,comma}
%\begin{pspicture}(-5,-0.05)(13,0.27)
%\multido{\n=-4.4+0.2}{85}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.27)}
%\multido{\n=0+0.01}{27}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](-4.3,\n)(12.4,\n)}
%\multido{\n=-4+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,0.27)}
%\multido{\n=0+0.05}{5}{\psline[linewidth=0.12pt,linecolor=gray](-4.3,\n)(12.4,\n)}
%\psGauss[sigma=1.9,mue=4]{-4}{12}
%\psline[linestyle=dashed](4,-0.02)(4,0.27)
%\psaxes[linewidth=0.25pt,Dy=0.05,labelsep=1pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,0)(12.4,0.27)
%\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt]{
%\psGauss[sigma=1.9,mue=4]{-4}{3}
%\lineto(3,0) %\lineto(100,0)
%\closepath % indispensable !
%   }
%%\rput(9,0.05){$P(17 \leqslant X \leqslant 24) \approx 0,46$
%%\psComment[ref=l] 
%\psline[linewidth=0.8pt]{->}(1.2,0.20)(2,0.1)
%\uput[u](1.2,0.20){$P(X<3)=0,3$}
%\end{pspicture}
%\end{center}


%Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
%
%\smallskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{4. a.~~} $P(X = 4) = 0,21$ &
%\textbf{4. b.~~} $P(3 < X < 5) = 0,5$\\
%\textbf{4. c.~~} $P(X > 5) = 0,3$ &
%\textbf{4. d.~~} $P(X \leqslant 4) = 0,21$\\
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}  

\vspace{0.5cm}

%Dans un de ses romans dont l'action se déroule en 1832, Eugène Sue fait dire au narrateur :
%\og \np{150 000} francs reçus de M. de Rennepont en 1682 par mon grand-père et placés successivement
%par lui, mon père et moi, à intérêt de 5\,\% (annuels), [$\dots$ ] en capitalisant les intérêts, ont produit
%\np{225 950 000} francs \fg.
%
%On modélise la situation présentée dans le texte par une suite géométrique $(u_n)$ de raison 1,05 où $u_n$
%représente le capital acquis l'année (1682 + $n$), où $n$ est un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la valeur de $u_0$ ?
$u_0 = \np{150000}$ est la somme reçue en 1682.
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, on a quel que soit le naturel $n$, \: $u_n = u_0 \times q^n$

Ici $u_n = \np{150000}\times 1,05^n$ quel que soit $n \in \N$.
\item %Calculer $u_{150}$.
En particulier pour $n = 150$, \:$ u_{150} = \np{150000}\times 1,05^{150}\approx \np{226196624,407}$ soit environ 

\np{226196624,41}~(francs).
\item ~%Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de l'algorithme suivant pour qu'à la fin de son exécution, la variable $C$ contienne l'année à partir de laquelle le capital initial a été au moins multiplié
%par 10.
\begin{center}
\smallskip
\begin{tabular}[]{|m{4cm}|}
\hline
$A \leftarrow   1682$\\
$C  \leftarrow  150 000$\\
Tant que $C < \np{1500000}$\\
$A\leftarrow    A + 1$\\
$C \leftarrow   C*1,05$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{$0,54$}}
	{
	\TR{$F$}\taput{$0,94$}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{$0,06$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\tbput{$0,46$}}
	{\TR{$F$}\taput{$0,79$}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{$0,21$}
	}
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}


\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0002cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.25,-10)(10,58500)
\multido{\n=0+0.2}{50}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,58000)}
\multido{\n=0+1000}{59}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(9.8,\n)}
\multido{\na=0+5000}{12}{\uput[l](0,\na){\scriptsize \np{\na}}}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,58000)}
\multido{\n=0+5000}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](0,\n)(9.8,\n)}
\psaxes[linewidth=0.5pt,Dy=60000,]{->}(0,0)(10,58000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,4700)(1,6810)(2,10950)(3,15750)(4,24270)(5,35700)
\uput[r](0,56000){\footnotesize Chiffre d'affaires}
\uput[r](0,54000){\footnotesize (en million d'euros)}
\uput[d](8.8,- 1500){\footnotesize Rang du mois}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8.6}{6095.1 x mul 1087.1 add}
\uput[dr](8.6,53500){\red $D$}
\psdots(0,1097)(8,49847)\uput[ul](0,1097){A} \uput[ul](8,49847){B}
\end{pspicture}
\end{center}



\end{document}