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% Correction : Jean-Paul GOUALARD
% Sujet aimablement fourni par Christelle Bart et Vincent Tolleron
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2014}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Antilles--Guyane ~\decofourright\\18 juin 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM)}.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\medskip

Une agence de voyage, propose  un itinéraire touristique pour lequel  chaque voyageur effectue un aller-retour en utilisant soit le train, soit le bus. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.

À l'aller, le train est choisi dans 70\,\% des cas.

Lorsque le train a été choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10.

Lorsque le bus a été choisi à l'aller le train est préféré pour le retour dans 80\,\% des cas.

On interroge au hasard un voyageur.

Pour tout évènement $E$ on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité.

On considère les évènements :

$T_{A}$ : \og Le voyageur choisit de faire l'aller en train \fg

$T_{R}$ : \og Le voyageur choisit de faire le retour en train \fg.

%Pour répondre aux questions posées, on pourra compléter l'arbre ci-dessous et s'en aider.

\bigskip

Pour répondre aux questions posées,  complétons l'arbre ci-dessous .

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T_{A}$}\taput{0,7}}
	  { 
		  \TR{$T_{R}$}\taput{0,9}
		  \TR{$\overline{T_{R}}$}\tbput{\textcolor{red}{0,1}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T_{A}}$}\tbput{\textcolor{red}{0,3}}}
	  {
		  \TR{$T_{R}$}\taput{\textcolor{red}{0,8}}
		  \TR{$\overline{T_{R}}$}\tbput{\textcolor{red}{0,2}} 
	  }	
}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %La probabilité que le voyageur fasse le retour en bus sachant qu'il a fait l'aller en train est égale à :
La probabilité que le voyageur fasse le retour en bus sachant qu'il a fait l'aller en train est égale à \\
$p_{T_A}\left(\overline{T_R}\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,1}}$ (\textbf{réponse  c.})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 0,07& 	\textbf{b.~~} 0,13 &	\textbf{c.~~} 0,1& 	\textbf{d.~~} 0,2 
%\end{tabularx}
%\medskip

\item %La probabilité que le voyageur fasse l'aller-retour en train est égale à : 
La probabilité que le voyageur fasse l'aller-retour en train est égale à \\
$p\left(T_A\cap T_R\right)=0,9\times 0,7=\boxed{\textcolor{red}{0,63}}$ \textbf{(réponse a.)}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 0,63& 	\textbf{b.~~} 1,6& 	\textbf{c.~~} 0,9& 
%\textbf{d.~~} 0,8 
%\end{tabularx}
%\medskip
\item %La probabilité que le voyageur utilise le bus pour le retour est égale à :
La probabilité que le voyageur utilise le bus pour le retour est égale à :\\
$p\left(T_A\cap \overline{T_R}\right)+p\left(\overline{T_A}\cap \overline{T_T}\right)=0,1\times 0,7+0,2\times 0,3=0,07+0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,13}} $. (\textbf{réponse b.})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 0,07& 	\textbf{b.~~} 0,13& 	\textbf{c.~~} 0,1& 
%\textbf{d.~~} 0,2
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item %La probabilité que le voyageur utilise les deux moyens de transport proposés est égale à :
La probabilité que le voyageur utilise les deux moyens de transport proposés est égale à :\\
$p\left(T_A\cap \overline{T_R}\right)+p\left(\overline{T_A}\cap T_R\right)=0,7\times 0,1+0,3\times 0,8=0,07+0,24=\boxed{\textcolor{red}{0,31}}$ (\textbf{réponse d.})
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 0,63& 	\textbf{b.~~} 0,06 &	\textbf{c.~~} 0,69& 	\textbf{d.~~} 0,31
%\end{tabularx}
\end{enumerate}
\bigskip  

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour l'itinéraire en train, le temps de trajet, exprimé en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $T$. On admet que $T$ suit une loi normale de moyenne $38$ et d'écart type $2$.

%Le tableau ci-dessous présente les valeurs arrondies au dix-millième des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance $38$ et d'écart type $2$.
%
%\[\begin{array}{|c|c|}\hline 
%a& p(T \leqslant  a)\\ \hline
%34 & \np{0,0228}\\ \hline 
%36 & \np{0,1587}\\ \hline 
%38 & \np{0,5000}\\ \hline 
%40 & \np{0,8413}\\ \hline 
%42 & \np{0,9773}\\ \hline
%\end{array}\]
%
%On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que le temps de trajet soit inférieur à $38$ minutes ? 
La probabilité que le temps de trajet soit inférieur à $38$ minutes est $\boxed{\textcolor{red}{0,5}}$ d'après le tableau ou la calculatrice.

\textbf{Remarque} : c'est évident puisque l'espérance est 38, donc $p(T\leqslant 38)=p(T\geqslant 38)=0,5$ par symétrie de la courbe de densité par rapport à la droite d'équation $x=\mu$.

\item %Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le temps de trajet soit compris entre $36$ et $40$~minutes ? 
La probabilité, arrondie au centième, que le temps de trajet soit compris entre $36$ et $40$~minutes est :

$p(35\leqslant T\leqslant 40)=p(T\leqslant 40)-p(T\leqslant 36)\approx \np{0,8413} - \np{0,1587} =\boxed{\textcolor{red}{\np{0,6826}}}$.

\medskip

%\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: il s'agit de $p(\mu-\sigma\leqslant T\leqslant \mu+\sigma)$ où $\mu=38$ est l'espérance et $\sigma=2$ l'écart-type.

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.} 

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par tranches de cinq années, de la population mondiale (en milliards) entre 1980 et 2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1980& 1985& 1990& 1995& 2000& 2005& 2010\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2&  3& 4&  5& 6& 7\\ \hline 
Nombre d'habitants (en milliards) : $y_{i}$& 4,4& 4,8& 5,3& 5,7& 6,1& 6,5& 6,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessus sur le repère donné en annexe 1. 
Représentons ci-dessous le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessus . 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(9,9)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(9,9)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(9,9)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1,4.4)(2,4.8)(3,5.3)(4,5.7)(5,6.1)(6,6.5)(7,6.8)
%\psplot[linecolor=red]{1}{9}{x 0.4 mul 4 add}
\psplot[linecolor=red]{1}{9}{0.4*x+4}
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip

\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus seront arrondis au centième. 
Une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, obtenue à la calculatrice, est : $\boxed{\textcolor{red}{y=0,41x+,03}}$ (en arrondissant les coefficients à 0,01 près).

\item On modélise l'évolution de l'effectif $y$ de la population mondiale, exprimé en milliards, en fonction du rang $x$ de l'année par l'expression $y = 0,4x + 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter graphiquement, dans le repère donné en annexe 1, la droite traduisant cette évolution. 
		La droite est représentée ci-dessus.
		
		\item %En utilisant le modèle ci-dessus, estimer l'effectif de la population mondiale en 2015. 
		2015 correspond à un rang $x=8$ (les années vont de 5 en 5).\\
		On remplace $x$ par 8 dans l'équation de la droite : $y=0,4\times 8+4=7,2$.
	\\	
	En 2015, on peut estimer l'effectif de la population mondiale à \fbox{\textcolor{red}{7,2 milliards d'habitants}}.
	
		\item %Selon ce modèle, à partir de quelle année la population mondiale devrait-elle dépasser $8$~milliards d'habitants?
On résout l'inéquation $0,4x+4\geqslant 8$.
		
On trouve $0,4x\geqslant 4$ d'où $x\geqslant \dfrac{4}{0,4}=\dfrac{40}{4}=10$.

Selon ce modèle, la population dépassera 8~milliards d'habitants en \textbf{\textcolor{red}{2025}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
% 
%À partir des données fournies dans le tableau de la partie A :

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux global d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. 

$\dfrac{6,8-4,4}{5,3}=\dfrac{2,4}{4,4}\approx 0,545=\boxed{\textcolor{red}{54,5\:\%}}$
Le taux global d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010 est d'environ 54,5\:\%.

\item %Calculer le taux moyen annuel d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à $0,01\,\%$. 
Soit $t$ le taux moyen annuel moyen d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010.

Le coefficient multiplicateur global est $1+\dfrac{54,5}{100}\approx 1,545$, mais aussi $(1+t)^{30}$.

On en déduit $1+t=1,545^{\frac1{30}}$ donc $t=1,545^{\frac1{30}}-1\approx \np{0,0146}$, soit $\boxed{\textcolor{red}{1,46\:\%}}$.

Le taux moyen annuel d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à $0,01\,\%$ est d'environ 1,46\:\%.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\medskip

On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de \np{130000}~habitants. \\
La fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~40] par

\[f(t) = - 30t^2 + \np{1200}t + \np{4000}\]

modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de t jours de suivi de la propagation.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip

\emph{On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$}.\\ %Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique.\\ 
%Les résultats seront justifiés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.27cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-4,-50)(40,18500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=2500]{->}(0,0)(-4,-50)(40,17500)
\multido{\n=0+1}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17500)}
\multido{\n=0+500}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(40,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{1200 x mul 4000 add x dup mul 30 mul sub}
\uput[u](35,0){Nombre de jours}
\uput[r](0,18000){Nombre de personnes tuées}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1pt](15,0)(15,15250)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1pt](15,15250)(0,15250)

\uput[l](0,13000){\textcolor{red}{13000}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1pt](0,13000)(35,13000)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation. 
Au bout de 15 jours de suivi de la propagation, le nombre de personnes touchées par la maladie est d'environ $\boxed{\textcolor{red}{\np{15250}}}$.

\item %Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10\,\% de la population est touchée par la maladie. Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermées ?
La population totale de la ville est de \np{130000}. 10\:\% de cette population représentent \np{13000}~personnes.

On cherche les points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure ou égale à \np{13000} et on lit leurs abscisses.

Les crèches ont été fermées entre le 10\ieme{} jour et le 30\ieme{}, donc pendant 20 jours.
\end{enumerate}

\bigskip
\newpage
\textbf{Partie B : Étude algébrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~40], l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. 
$f(t) = - 30t^2 + \numprint{1200}t +\numprint{4000}$ donc $f'(t)=-30\times 2t+\numprint{1200}$=\boxed{\textcolor{red}{-60t+\numprint{1200}}}.

\item %Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle [0~;~40].
$f'(t)=0$ équivaut à $-60t+\numprint{1200}=0$ donc $t=\dfrac{\numprint{1200}}{2}=20$.

$f'$ est une fonction affine de coefficient directeur $- 2$ négatif, donc décroissante.

$f'(t)$ est donc positif pour $t\leqslant 20$ puis négatif pout $t\geqslant 20$.

%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
Le tableau de variation de $f$ est donc 
\begin{center}
\begin{variations}
t		&0			&	&20				&	&40\\\hline
f'(t)	&			&+	&\z				&-	&\\\hline
\m{f(t)}&\np{4000}	&\c	&\h{\np{16000}}	&\d	&\np{4000}\\\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal ? 
Le nombre de personnes touchées par la maladie est  maximal  \textbf{\textcolor{red}{au bout de 20 jours}}.

Le nombre de personnes  touchées est alors de $\textcolor{red}{\np{16000}}$
%Combien y a-t-il alors de personnes touchées ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Partie A : les économies ...}

\medskip

Afin de se constituer un capital, un épargnant place \np{1000}~euros sur un compte non rémunéré et, chaque mois, verse 75~euros sur ce compte.

On note $u_{n}$ le montant en euros du capital accumulé au bout de $n$ mois. 

Ainsi $u_{0} = \np{1000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1},\: u_{2}$ et $u_{3}$. 
Calculons $u_{1},\: u_{2}$ et $u_{3}$ :

$u_1=u_0+75=\boxed{\textcolor{red}{\np{1075}}}$

$u_2=u_1+75=\boxed{\textcolor{red}{\np{1150}}}$

$u_3=u_2+75 =\boxed{\textcolor{red}{\np{1225}}}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ en justifiant la réponse. 
		Pour tout $n$, on a : $u_{n+1} = u_n + 75$ ; la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{r = 75}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\np{1000}}}$.
		
		\item %En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		On en déduit $u_n=u_0 + nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\np{1000} + 75n}}$.
		
%Au bout de combien de temps le capital accumulé est-il supérieur à 3 500 euros ? 
%
%Justifier la réponse.
On cherche $n$ tel que $u_n\geqslant \numprint{3500}$.

Cela s'écrit $\np{1000} + 75n\geqslant \numprint{3500}$ d'où $75n \geqslant \numprint{3500}- \np{1000} =\numprint{2500}$ donc $n\geqslant \dfrac{\numprint{2500}}{75}\approx 33,3$.

Le capital accumulé dépassera \numprint{3500}~\euro{} \textbf{\textcolor{red}{au bout de 34 ans}}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : et les dépenses ...}

\medskip

Cet épargnant doit surveiller ses dépenses.

En janvier 2014 il a dépensé 660~\euro{} et, jusqu'à présent, ses dépenses ont augmenté chaque mois de 4\,\%. On suppose que cette évolution va se poursuivre à l'avenir.

Cette évolution conduit à modéliser le montant en euros des dépenses mensuelles au cours du $n$-ième mois après janvier 2014 par le terme $v_{n}$ d'une suite géométrique.

Ainsi $v_{0} = 660$.

%\smallskip
%Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centime d'euro. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $v_{1} = 1,04v_{0}$.
Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 4\:\% est 1,04.

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{v_1 = 1,04v_0}}$.

\bigskip

Pour tout  $n$, on a $v_{n+1} = 1,04v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,04}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0 = 660}}$.

Alors, pour tout $n$ : $v_n = v_0\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{v_n = 660\times 1,04^n}}$.

\bigskip

%Calculer $v_{3}$ et interpréter le résultat. 
On en déduit $v_3=660\times 1,04^3\approx \boxed{\textcolor{red}{742,41}}$.\\
En avril 2014 ($n=3$), il a dépensé environ 742,41~\euro{}.

\item %Calculer le montant des dépenses au mois de décembre 2014. 
Décembre 2014 correspond à $n=11$.

Sa dépense sera $660 \times 1,04^{11}\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{1016,04}~}}$~\textcolor{red}{\euro{}}.

\item %Selon ce modèle, quand l'épargnant devrait-il doubler ses dépenses par rapport à janvier 2014 ? 
On cherche à partir de quand l'épargnant devrait avoir doublé sa dépense.

Pour cela, on programme la suite sur la calculatrice et on cherche le plus petit entier $n$ tel que $v_n \geqslant \np{1320}$.

On a $v_{17}\approx \np{1285,61}$ et $v_{18}\approx \np{1337,04}$.

La valeur cherchée est $\boxed{\textcolor{red}{n = 18}}$.

C'est en \textbf{\textcolor{red}{juillet 2015}} que sa dépense aura doublé par rapport à celle de janvier 2014
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}