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%Corrigé Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 27 novembre 2020~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\medskip

%Les membres d'un centre de loisirs ont le choix entre différentes activités. Parmi celles-ci figurent des activités sportives, des activités artistiques et d'autres activités.
%
% On sait que :
%\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item  60\,\% des membres pratiquent une activité sportive;
%\item  parmi ceux qui pratiquent une activité sportive, 5\,\% pratiquent aussi une activité
%artistique;
%\item parmi ceux qui ne pratiquent pas d'activité sportive, 27\,\% ont choisi une activité
%artistique.
%\end{itemize}
%
%On choisit un membre du centre de loisirs au hasard et on définit les évènements suivants
%\begin{itemize}
%\item []$S$ : \og la personne pratique une activité sportive \fg
%\item []$A$ : \og la personne pratique une activité artistique\fg
%
%$\overline{S}$ et $\overline{A}$ désignent respectivement les évènements contraires de $S$ et $A$.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3.25cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{$\np{0.6}$}}
	{
	\TR{$A$}\taput{$0,05$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,95$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{$0,4$}}
	{\TR{$A$}\taput{$0,27$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,73$}
	}
}

\end{center}

\item %Définir par une phrase l'évènement $S \cap A$, puis calculer sa probabilité.
$S \cap A$ désigne l'évènement Le membre pratique une activité sportive \textbf{et} une activité artistique.

$p(S \cap A) = p(S) \times p_S(A) = 0,6 \times 0,05 = 0,030$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est 0,138.
On a de même $p\left(\overline{S} \cap A\right) = p\left(\overline{S}\right) \times p_{\overline{S}}(A) = 0,4 \times 0,27 = 0,108$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(A) = p(S \cap A) + p\left(\overline{S} \cap A\right)  = 0,030 + 0,108 = 0,138$.
\item %Sachant que la personne choisie pratique une activité artistique, quelle est la probabilité qu'elle pratique une activité sportive ? 
%On arrondira le résultat au millième.
On calcule $p_A(S) = \dfrac{p(A \cap S)}{p(A)} = \dfrac{p(S \cap A)}{p(A)}  = \dfrac{0,030}{0,138} \approx \np{0,2174}$ soit environ 0,217 au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne les quantités de marchandises transportées dans le monde
%par voie maritime entre 2000 et 2017, exprimées en millions de tonnes.
%
%\smallskip
%
%{\small
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.58cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%Année& 2000& 2005& 2010& 2011& 2012& 2013 &2014& 2015& 2016 &2017\\\hline
%Rang de l'année: $x_i$ &0& 5& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17\\\hline
%Quantité de marchandises en millions de tonnes $y_i$&\np{5984}& \np{7109}&\np{8409}&\np{8784}&\np{9197}&\np{9548} &\np{9842}&\np{10024}&\np{10289}&\np{10702}\\\hline
%\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source : Nations Unies, (UNCTAD)}}
%\end{tabularx}
%}
%
%\smallskip
%Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
Les points sont à peu près alignés : un ajustement affine est donc envisageable.
\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les
%coefficients au dixième.
La calculatrice donne $y = 281,0x + \np{5813,4}$.
\item %On décide de modéliser la quantité de marchandises $y$ en fonction du rang de
%l'année $x$ par l'expression $y = 280x + \np{5800}$.

%Tracer la droite $D$ d'équation $y = 280x + \np{5800}$ dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
Voir à la fin.
\item %Estimer, selon le modèle de la question \textbf{3.}, la quantité de marchandises
%transportées par voie maritime en 2025, en expliquant la démarche suivie.

$\bullet~$\emph{Graphiquement }: on trace la droite verticale $x = 25$ qui coupe la droite d'ajustement en un point d'ordonnée \np{12800} (environ).
\end{enumerate}

$\bullet~$\emph{Par le calcul} Avec $x = 25$, l'équation de la droite d'ajustement donne $y = 280\times 25 + \np{5800} = \np{7000} + \np{5800} = \np{12800}$.

\bigskip

\textbf{Partie B}  

\medskip

%Un navire porte-conteneurs fait le trajet Shanghai (Chine) -- Le Havre (France).
%
%Une étude permet de modéliser son temps de trajet, exprimé en jours, par une
%variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance 26 et d'écart type 2.
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la probabilité $P(X \leqslant 26)$ et en donner une interprétation dans le contexte étudié.
La courbe de la densité étant symétrique autour de la droite verticale $x = 26$, on a $P(X \leqslant26) = 0,5$.

Il y a une chance sur deux que le temps de trajet soit inférieur à la moyenne. 
\item %Calculer la probabilité que le navire mette plus de 28 jours pour faire le trajet.

%On arrondira le résultat au millième.
La calculatrice donne $P(X \leqslant 28) \approx \np{0,8413}$, donc $P(X > 28) \approx 1 - \np{0,8413} \approx \np{0,1586}$.

Donc $P(X > 28) \approx 0,159$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip
%
%Tous les ans à partir de fin novembre, des volontaires d'une organisation non
%gouvernementale de protection de la nature parcourent les côtes de la Californie pour
%estimer le nombre de papillons Monarques: il s'agit d'une espèce de papillons qui
%viennent y passer l'hiver.
%
%On dispose des données suivantes:
%\begin{center}
%\begin{tabular}[]{|m{6.6cm}|*{5}{c|}}
%\hline
%Année &1997&2000&2006& 2012&2019\\
%\hline
%Nombre de papillons Monarques en milliers &\np{1300} &400&200& 90&50\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0,1\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution global du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019.
De 1997 à 2019, le taux d'évolution est $\tau = \dfrac{50 - \np{1300}}{\np{1300}} \approx \np{- 0,9615}$.

Donc le taux est égal à environ  $- 0,962$ ou $- 96,2\,\% à 0,1\,\%$ près.
\item %Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre de papillons
%Monarques entre 1997 et 2019 est $-13,8\,\%$.
Soit $t$ ce taux annuel moyen sur les 22 ans.

On a donc : $(1 + t)^{22} = 1 - 0,962$, ou $(1 + t)^{22} = 1 - 0,038$, soit $1 + t = 0,038^{\frac{1}{22}}\approx$.

Or $0,038^{\frac{1}{22}}\approx 0,862$ et $1 + t \approx 0,862$ donne $t \approx -0,138$, soit un taux d'évolution annuel moyen de $- 13,8\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On suppose qu'à partir de l'année 2019, le nombre de papillons baisse de 14\,\% chaque
%année.
%
%On décide de modéliser le nombre de papillons Monarques par une suite $(u_n)$.
%
%Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour
%l'année $(2019 + n)$.
%
%On a donc $u_0 = 50$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_1 = 43$.
Une baisse de 14\,\% revient à multiplier par $\left(1 - \dfrac{14}{100}\right) = 1 - 0,14 = 0,86$.

Donc $u_1 = 50 \times 0,86 = 43$.
\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,86.
On a vu que quel que soit le naturel $n$, \: $u_{n+1} = 0,86u_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $q = 0,86$.
\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors quel que soit le naturel $n$,\:$u_n = u_0 \times q^n$, soit ici $u_n = 50 \times 0,86^n$.
\item %Estimer selon ce modèle le nombre de papillons Monarques en 2029. On
%arrondira le résultat au millier.
2029 correspond à $n = 10$, et $u_{10} = 50 \times 0,86^{10} \approx 11,065$, donc environ \np{11065}  papillons.
\item %On souhaite calculer le rang de l'année à partir duquel le nombre de papillons
%Monarques sera strictement inférieur à 10 milliers.

%Recopier et compléter l'algorithme suivant, afin qu'après exécution, la variable $N$
%contienne la valeur recherchée.
L'algorithme s'arrête pour $N = 11$, soit en 2030.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$U \leftarrow 50$\\
$N\leftarrow 0$\\
Tant que $U {\red \geqslant 10}$\\
\hspace{1.5em}$U \leftarrow {\red U \times 0,86}$\\
\hspace{1.5em}$N \leftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\medskip

%Une entreprise fabrique des petites figurines pour enfant. Pour s'assurer de la qualité de ses produits, l'entreprise ne réalise pas plus de 18 milliers de figurines par mois et on
%suppose que chaque figurine produite est vendue.
%
%On note $x$ le nombre de milliers de figurines vendues par mois, avec $x \in [0~;~18]$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}  

\medskip

%On a représenté sur le graphique ci-dessous le chiffre d'affaires mensuel et le coût de
%production mensuel en fonction du nombre de milliers de figurines produites.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ représente le coût de production et la courbe $\mathcal{R}$ le chiffre d'affaires mensuels.
%
%À l'aide du graphique répondre aux questions suivantes:

\begin{enumerate}
\item %Quel est le montant du chiffre d'affaires mensuel obtenu pour 10 milliers de
%figurines vendues ?
On lit aisément sur le graphique $R(10) = \np{50000}$~(\euro).
\item %Donner sous forme d'intervalle le nombre de milliers de figurines vendues pour
%lequel l'entreprise réalise des profits.
Il y a profit quand pour une valeur donnée de $x$, \: $R(x) > C(x)$, donc pour les valeurs de $x$ où le point de $R$ est au dessus du point de $C$. On lit que ceci se produit lorsque $x \in ]4~;~14[$.

Il y a profit quand l'entreprise produit entre \np{4000} et \np{14000} figurines.
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-1500)(21,115000)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,110000)}
% \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
 \multido{\n=0+10000}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(20,\n) \uput[l](0,\n){\footnotesize\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=10000,labels=x,labelsep=0.1pt]{->}(0,0)(21,115000)
\psplot[linewidth=1.05pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{18}{x 5000 mul}
\psplot[linewidth=1.05pt,linecolor=awesome,plotpoints=5000]{0}{18}{x x 230 mul 860 add  mul 12880 add}
\uput[d](17,-3000){\footnotesize Nombre de figurines (en milliers)}
\uput[d]{90}(-2.5,117000){\footnotesize Montants (en euros)}
\uput[u](18,103000){\red $\mathcal{C}$}\uput[u](18,90000){\blue $\mathcal{R}$}
\uput[d](20.8,0){$x$}\uput[l](0,113000){$y$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](10,0)(10,50000)(0,50000)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](4,0)(4,20000)(0,20000)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](14,0)(14,70000)(0,70000)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B :étude du bénéfice mensuel }  

\medskip

%Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], on note $B(x)$ le bénéfice mensuel de
%l'entreprise en euros. On a :

\[B(x) = -230x^2 + \np{4140}x - \np{12880}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18] :

\[B(x) = -230\left(x^2- 18x + 56\right).\]

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation suivante par le calcul:

\[x^2 - 18x + 56 = 0.\]

On a $\Delta = 18^2 - 4 \times 56 = 324 - 224 = 100 = 10^2 > 0$ : l'équation a donc deux solutions :

\[x_1 = \dfrac{18 + 10}{2} = 14 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{18 - 10}{2} = 4.\]

$S = \{4~;~14\}$.
\item %En déduire les points morts de production, c'est-à-dire les nombres de
%figurines produites pour lesquels le bénéfice est nul.
La question précédente a montré que $B(4) = B(14) = 0$.

Pour une production de \np{4000} ou \np{14000} figurines (points morts), le bénéfice est nul.
\end{enumerate}
\item On note $B$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~18] par:
\[B(x) = -230x^2 + \np{4140}x - \np{12880}.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $B'(x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~18].
Sur [0~;~18], on a $B'(x) = 2 \times (-230x) + \np{4140} = \np{4140} - 460x$.
		\item %Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~18].
$\bullet~~B(x) > 0 $ si $\np{4140} - 460x > 0 $ ou $\np{4140} > 460 x$, soit $x < \dfrac{\np{4140}}{460} = 9$ ; 

$\bullet~~B(x) < 0 $ si $\np{4140} - 460x < 0 $ ou $\np{4140} < 460 x$, soit $x > \dfrac{\np{4140}}{460} = 9$ ;

$\bullet~~B(x) = 0 $ si $\np{4140} - 460x = 0 $ ou $\np{4140} = 460 x$, soit $x = \dfrac{\np{4140}}{460} = 9$.

La fonction est donc croissante sur [0~;~9] de $- \np{12880}$ à $B(9) = \np{5750}$  et décroissante sur [9~;~18] de $\np{5750}$ à $- \np{12880}$.
		\item %Combien l'entreprise doit-elle vendre de figurines pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?
		
On a vu que le maximum du bénéfice est obtenu pour une vente de \np{9000} figurines pour un bénéfice maximal de \np{5750}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{3cm}
\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.0014cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-2,-260)(32,10000)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+500}{17}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=5000,Dy=500,labelsep=0.1pt]{->}(0,0)(26.8,8500)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.7,dotangle=45,linecolor=red](0,984)(5,2109)(10,3409)(11,3784)(12,4197)(13,4548)(14,4842)(15,5024)(16,5289)(17,5702)
\uput[d]{90}(-2,8000){\footnotesize Quantité de marchandises(en millions de tonnes)$y_i$}
\uput[dl](26,- 250){\footnotesize Rang de l'année $x_i$}
\uput[d](26.8,0){$x$}\uput[l](0,8500){$y$}
\rput{-90}(31,5000){\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}}
\rput{-90}(30,10000){Exercice 2}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{26}{280 x mul 800 add}
\psline[ArrowInside=->]{->}(25,0)(25,7800)(0,7800)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%
\end{document}