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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Olivier Péault du lycée français de Barcelone, merci à lui
%corrigé Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{8 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Centres étrangers~\decofourright\\[5pt]8 juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous,
une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer le numéro de
la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\smallskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie sur $[-6~;~4]$ dont la courbe représentative
$\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
}
\begin{center}\scalebox{0.5}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-5)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-6,-5)(4,7)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{4}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul add 72 x mul  sub 37 div 1 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{1 x 2 mul sub}
\uput[l](3.8,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(-1,3)(-2,5)
\uput[dl](-1,3){A}\uput[ur](-2,5){B}
\end{pspicture}}
\end{center}

{\footnotesize La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$(-1~;~3)$. Elle passe par le point B$(-2~;~5)$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de $f$ en $- 1$ est égal à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}$}&
\psframebox[linewidth=0.1pt]{\textbf{b.~~} $- 2$}&
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{c.~~} $1$}
\end{tabularx}

{\footnotesize  le coefficient directeur de la droite (AB) est $m=\frac{5-3}{-2+1}=-2$.} 
\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{a.~~} $[- 6~;~-3] \cup [2~;~4]$}&
\psframebox[linewidth=0.1pt]{\textbf{b.~~} $[- 3~;~2]$}&
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{c.~~} $[- 6~;~- 5,2] \cup [0,5~;~3,2]$}
\end{tabularx}
{\footnotesize intervalle sur lequel la fonction est décroissante }

\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Dans cette partie, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2~;~5]$ par

\[g(x) = - 2x^3 + 3x^2 + 12x\]

et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in  [-2~;~5]$,

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{a.~~} $g'(x) = - 3x^2 + 2x + 12$}&
\psframebox[linewidth=0.1pt]{\textbf{b.~~} $g'(x) = - 6x^2 + 6x + 12$}&
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{c.~~} $g'(x) = - 2x^2 + 3x + 12$}
\end{tabularx}
{\footnotesize La fonction dérivée de $x\mapsto  (-2)  x^3$ est $x\mapsto (-2)\times 3x^2$}
\medskip

\item Le maximum de la fonction $g$ sur $[-2~;~5]$ est égal à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psframebox[linewidth=0.1pt]{\textbf{a.~~} 20}&
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{b.~~} 4}&
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\textbf{c.~~} $- 115$}
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième.}

\medskip

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A,\: p(A)$ la probabilité de $A$.

\medskip

En 2013, le parc automobile français s'élevait à $38,204$ millions de véhicules, parmi lesquels
on comptait $31,622$ millions de voitures particulières, les autres véhicules étant des utilitaires
légers ou des véhicules lourds (Source INSEE).

D'autre part, on sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 62\,\% des voitures particulières sont des véhicules diesel  ;
\item parmi les autres véhicules, 6\,\% sont des véhicules essence.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard un véhicule dans le parc automobile français.

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ]$V$ : \og Le véhicule choisi est une voiture particulière. \fg
\item[ ]$D$ : \og Le véhicule est un véhicule diesel. \fg
\end{description}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item La proportion de voitures particulières parmi les véhicules en circulation est : $\dfrac{\np{31.622}}{\np{38.204}}\approx \np{0.82771}$. Par conséquent  la probabilité $p(V)$, arrondie au millième, est égale à $0,828$.
\item  L'arbre de probabilité décrivant la situation est complété sur celui donné en annexe 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La probabilité que le véhicule choisi soit une voiture particulière roulant au diesel est notée $p(V \cap D)$.
		
		$p(V\cap D)=p(V)\times p_{V}(D)=\np{0.828}\times \np{0.62}=\np{0.51336}$
		
		La probabilité que le véhicule choisi soit une voiture particulière roulant au diesel est \np{0.513} arrondie au millième.
		\item Calculons $p(D)$.
		
		$P(D)=p(V\cap D)+p(\overline{V}\cap D) =\np{0.51336}+p(\overline{V})\times p_{\overline{V}}(D)=\np{0.51336}+\np{0.172}\times \np{0.94}=\np{0.51336}+\np{0.16168}  =\np{0.67504}$

La probabilité que le véhicule choisi soit un véhicule diesel est, arrondie au millième,  $0,675$.
		\item On suppose que le véhicule choisi roule au diesel.
		
La probabilité que ce ne soit pas une voiture particulière est notée $p_{D}(\overline{V})$.

$p_{D}(\overline{V})=\dfrac{p(\overline{V}\cap D)}{p(D)}=\dfrac{\np{0.162}}{\np{0.675}}=\np{0.24}$.


	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard 10 véhicules dans un échantillon du parc automobile français
suffisamment important pour assimiler ce choix à dix tirages successifs avec remise.
	
Calculons la probabilité pour qu'exactement trois d'entre eux ne roulent pas au diesel. Cela revient à calculer la probabilité qu'exactement 7 véhicules circulent au diesel.

Soit $Y$ la variable aléatoire  égale au nombre de véhicules diesel. $Y$  suit une loi de Bernoulli de paramètres $n=10$ et $p=\np{0.675}$.

$p\left(Y=7\right)=\dbinom{10}{7} \np{0.675}^7\times (1-\np{0.675})^3 \approx \np{0.263}$

La probabilité pour qu'exactement trois d'entre eux ne roulent pas au diesel est, arrondie au millième, \np{0.263}.
\item Un constructeur automobile équipe ses véhicules diesel d'un nouveau moteur. La
durée de vie de ce moteur, exprimée en nombre de kilomètres parcourus, est
modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = \np{200000}$
et d'écart-type $\sigma = \np{30000}$.
 
Donnons  la probabilité que la durée de vie de ce moteur soit supérieure à \np[km]{260000} c'est-à-dire $p(X\geqslant 260000)$.

À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(X\geqslant \np{260000})\approx \np{0.02275}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip
{\footnotesize
\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centime d'euro.}

\medskip

Justine et Benjamin sont embauchés en 2014 dans la même entreprise.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Le salaire mensuel de Justine est de \np{1600}~\euro{} en 2014.

Son contrat d'embauche stipule que son salaire mensuel augmente chaque année de
1\,\% jusqu'en 2024.

On note $u_0$ le salaire mensuel (en euro) de Justine en 2014 $\left(u_0 = \np{1600}\right)$ et, pour tout
entier $n \leqslant 10$, on note $u_n$ son salaire mensuel (en euro) pour l'année $2014 + n$.}
	\begin{enumerate}
		\item 

À une augmentation de $1\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1,01$. 

$u_1=1600\times \np{1.01}=\np{1616}$ et $u_2=\np{1616}\times \np{1.01}=\np{1632.16}$.
		\item Puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{1.01}, nous avons donc  
pour tout entier $n$ compris entre 0 et 9,  $u_{n+1}=\np{1.01}u_n$.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n = u_0q^n$. 

Nous obtenons alors $u_n = \np{1600}\times \np{1.01}^n $ pour tout entier $n$ compris entre 0 et 10.
		\item Déterminons à partir de quelle année le salaire mensuel de Justine dépassera \np{1700}\,\euro{}.
		
		En utilisant la table d'une calculatrice, nous obtenons pour $n = 6$, $\np{1698.43}$ et pour $n=7$, $\np{1715.42}$.
		
	Par conséquent, à partir de 2021, le salaire mensuel de Justine dépassera les \np{1700} euros. 	
%Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Le salaire mensuel hors prime de Benjamin est de \np{1450}~\euro{} en 2014. Son contrat d'embauche prévoit que, jusqu'en 2024, son salaire mensuel hors prime augmente
chaque année de 2\,\% et qu'il bénéficie en plus d'une prime mensuelle de 50~\euro.
	
On note $v_0$ le salaire mensuel (en euro) de Benjamin en 2014 $\left(v_0 = \np{1500}\right)$ et, pour
tout entier $n \leqslant 10$, on note $v_n$ son salaire mensuel (en euro) pour l'année $2014 + n$.}
	\begin{enumerate}
		\item À une augmentation de 2\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.02}.

 $v_1 =\np{1450}\times \np{1.02}  + 50 = \np{1479}  + 50 = \np{1529}$ et  $v_2= \np{1479}\times \np{1.02}+ 50 = \np{1508.58} + 50 = \np{1558.58}$.
		\item Parmi les algorithmes suivants, un seul permet de calculer le terme d'indice $n$ de
la suite $\left(v_n\right)$.
		
%Déterminer lequel, en expliquant la réponse.
L'algorithme qui permet de calculer le terme d'indice $n$ de la suite est l'algorithme 2.

En effet l'algorithme 1 calcule l'augmentation sur la prime, et l'algorithme 3 ne tient pas compte de la prime et de plus dans la boucle on repart toujours de \np{1450}.

{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline		
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\ \hline
\textbf{Variables}				&\textbf{Variables}				&\textbf{Variables}\\
$k$ et $n$ sont des entiers		&$k$ et $n$ sont des entiers	&$k$ et $n$ sont des entiers\\
$v$ est un nombre réel 			&$v$ est un nombre réel			&$v$ est un nombre réel\\
\textbf{Entrée}					&\textbf{Entrée}				&\textbf{Entrée}\\
Valeur de $n,\: n \leqslant 10$	&Valeur de $n,\: n \leqslant 10$&Valeur de $n,\: n \leqslant 10$\\
\textbf{Traitement}				& \textbf{Traitement}			& \textbf{Traitement}\\
$v$ prend la valeur \np{1450}	&$v$ prend la valeur \np{1450}	& Pour $k$ allant de $1$ à $n$\\
Pour $k$ allant de $1$ à $n$	&Pour $k$ allant de $1$ à $n$	& $v$ prend la valeur \np{1450}\\
$v$ prend la valeur $v \times 1,02$&$v$ prend la valeur $v \times 1,02$&$v$ prend la valeur $v~\times~1,02 + 50$\\
$v$ prend la valeur $v + 50$	& FinPour						& FinPour\\
FinPour							& $v$ prend la valeur $v + 50$	& \textbf{Sortie}\\
\textbf{Sortie}					& \textbf{Sortie}				& Afficher $v$\\
Afficher $v$					& Afficher $v$					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En faisant tourner l'algorithme 2, nous montrons que  le salaire mensuel de Benjamin dépassera \np{1700}~\euro{} à partir de l'année 2021. On obtient successivement  $v_3=\np{1588.75}$, \: $v_4 = \np{1619.53}, \: v_5 = \np{1650,92}$, \: $v_6 = 1682,94$ et enfin $v_7 = \np{1715,59}$.
		\item %Le salaire mensuel de Benjamin  dépassera celui de Justine bien avant 2024  puisque le salaire mensuel  de Justine ne dépasse les \np{1700}\, euros qu'en 2021 tandis que le salaire mensuel de Benjamin les dépasse dès 2018.
		
%Le salaire mensuel de Benjamin dépassera celui de Justine en 2017. En calculant le salaire mensuel de Justine en 2017 soit $n=3$ nous obtenons \np{1648.48} et nous avions montré que le salaire mensuel de Benjamin était, cette année là, de \np{1691.77}.
La calculatrice permet de calculer les salaires de Justine $u_n$ et de Benjamin, $v_n$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$	&$u_n$			&$v_n$\\ \hline
0	&\np{1600}		&\np{1500}\\ \hline
1	&\np{1616}		&\np{1529}\\ \hline
2	&\np{1632,16}	&\np{1558,58}\\ \hline
3	&\np{1648,48}	&\np{1588,75}\\ \hline
4	&\np{1664,97}	&\np{1619,53}\\ \hline
5	&\np{1681,62}	&\np{1650,92}\\ \hline
6	&\np{1698,43}	&\np{1682,94}\\ \hline
7	&\np{1715,42}	&\np{1715,59}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le salaire de Benjamin dépassera celui de Justine en 2021.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
On donne ci-dessous un extrait de feuille de calcul donnant le nombre d'accidents corporels
liés à la Sécurité routière en France métropolitaine, de 2005 à 2013.

La ligne 4 doit indiquer les taux d'évolution successifs entre deux années consécutives. Elle
est au format pourcentage à deux décimales.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.35cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H&I&J\\ \hline
1&Année&2005&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline
2&Rang de l'année $x_i$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
3&Nombre d'accidents corporels $y_i$&\np{84525} &\np{80309} &\np{81272} &\np{74487} &\np{72315} &\np{67288} &\np{65024} &\np{60437} &\np{56812}\\ \hline
4&Taux d'évolution&&&&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{Source: Observatoire National Interministériel de Sécurité Routière (ONISR)}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
 Calculons le taux d'évolution du nombre d'accidents corporels entre 2005 et 2006.
 
		Le taux $t$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$t=\dfrac{\np{80309}-\np{84525}}{\np{84525}}\approx -\np{0.04988}$.

Le taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) du nombre d'accidents corporels entre 2005 et 2006 est d'environ $-\np{4.99}\,\%$.
\item Une formule  que l'on peut saisir dans la cellule C4 pour obtenir, par recopie vers la
droite, les taux d'évolution successifs entre deux années consécutives est =(C\$3-B\$3)/B\$3.
\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'accidents corporels entre 2005 et 2013, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%.

Calculons d'abord le coefficient multiplicateur du nombre d'accidents  entre 2005 et 2013. Il vaut $\dfrac{\np{56812}}{\np{84525}}$.

Si $t_m$ est le taux d'évolution  annuel moyen entre 2005 et 2013, le coefficient multiplicateur global est $(1+t_m)^8$ puisqu'il y a eu huit évolutions.   Déterminons alors $t_m$. 

$t_m=\left( \dfrac{\np{56812}}{\np{84525}}\right)^{1/8}-1\approx -\np{0.04844}$.

 Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'accidents corporels entre 2005 et 2013, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\% est $-\np{4.84}\,\%$.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le repère donné en annexe 2.
\item Calculons $\overline{y}$ le nombre moyen annuel d'accidents corporels entre 2005 et 2013.

$\overline{y}=\dfrac{\np{84525}+\np{80309}+\dots+\np{60437}+\np{56812}}{9}\approx \np{71385}$.

\emph{On se propose d'étudier deux modèles d'évolution différents du nombre annuel
d'accidents corporels.}

\item  Premier modèle
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au dixième  est $y=-\np{3502.7} x+\np{85396.3}$.
		\item Pour simplifier les calculs, on prend comme équation de cette droite : $y = - \np{3503}x + \np{85396}$.
		
 Cette droite est tracée dans le repère donné en annexe 2.
		\item Suivant ce modèle, déterminons  le nombre d'accidents corporels en 2020 en France métropolitaine. Le rang de l'année 2020 est 15.

 En remplaçant $x$ par 15 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=-3503\times 15+85396=\np{32851}$.
		
		Suivant ce modèle, le nombre d'accidents corporels en 2020 en France métropolitaine serait d'environ \np{32851}.
 	\end{enumerate}
\item  Deuxième modèle

{\footnotesize	
On admet qu'un autre ajustement du nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ sur l'intervalle [0~;~8] est
réalisé par la courbe représentative de la fonction définie par $f(x) = - 91x^2 - \np{2774}x + \np{84546}$.
	
On s'interroge sur la pertinence de prolonger cet ajustement au-delà de 2013.}
	\begin{enumerate}
		\item La valeur que ce modèle donne pour le nombre d'accidents corporels en 2013
en France métropolitaine est $f(8)$. $f(8)=-91\times 8^2 - \np{2774}\times 8 + \np{84546}= \np{56530}$.
		\item Suivant ce modèle, le nombre d'accidents corporels en France métropolitaine
serait  nul lorsque $f(x)=0$. Résolvons $- 91x^2 - \np{2774}x + \np{84546}=0$

Calculons $\Delta$; $\Delta= (- \np{2774})^2 -4\times (- 91)\times  \np{84546}=\np{38469820}$. Par conséquent le trinôme admet deux racines :

$x_1=\dfrac{1387-\sqrt{9617455}}{91}\approx -\np{49.32}\qquad x_2=\dfrac{1387+\sqrt{9617455}}{91}\approx \np{18.84}$
		
Le nombre d'accidents corporels en France métropolitaine devrait avoir disparu en 2024.
		\item  Les résultats obtenus sont irréalistes. Les modèles ne sont pas pertinents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\large{\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1, exercice 2}
\end{flushleft}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~}\naput{0,828}}
	{\TR{$D$} \naput{\np{0.62}}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\np{0.38}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~}\nbput{\np{0.172}}}
	{\TR{$D$} \naput{\np{0.94}}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\np{0.06}}
	}
}
\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2, exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.0018cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(16,7000)
\uput[r](0,7250){Nombre d'accidents corporels}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,7000)}
\multido{\n=0+200}{36}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2000,Dy=10000](0,0)(0,0)(16,7000)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0,6452.5)(1,6030.9)(2,6127.2)(3,5448.7)(4,5231.5)(5,4728.8)(6,4502.4)(7,4043.7)(8,3681.2)
\uput[d](14,-240){Rang de l'année}\multido{\n=0+1000,\na=20000+10000}{8}{\uput[l](0,\n){\small \na}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 350.3 neg  mul 6539.6 add}

\end{pspicture}
\end{center}
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Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}
