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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]7 septembre 2015}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,3cm}
 {\footnotesize
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.
}
\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est composé de deux parties indépendantes l'une de l'autre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves: un parcours diplômant et un
parcours loisir. On observe que 40\,\% des élèves choisissent le parcours diplômant.
Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30\,\% choisissent de faire partie d'un
orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25\,\% choisissent de faire partie d'un orchestre.

On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.

On note:

\setlength\parindent{0.6cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement: \og L'élève sélectionné a choisi le parcours diplômant. \fg
\item[$\bullet~~$]$L$ l'évènement: \og L'élève sélectionné a choisi le parcours loisir. \fg
\item[$\bullet~~$]$O$ l'évènement: \og L'élève sélectionné a choisi de faire partie d'un orchestre. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Complétons l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$~}\taput{0,4}}
	  { 
		  \TR{$O$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\np{0.7}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$L$~}\tbput{\np{0.6}}}
	  {
		  \TR{$O$}\taput{\np{0.25}}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\np{0.75}}
	  }
}

\end{center}
\item  $D \cap O$ est l'événement : \og l'élève sélectionné a choisi le parcours diplômant et de faire partie d'un orchestre\fg.
$ p(D\cap O)=p(D)\times p_{D}(O)=\np{0.4}\times \np{0.3}=\np{0.12}$. 
\item  Déterminons la probabilité de l'évènement $O$.

$p(O)=p(D)\times p_{D}(O)+p(L)\times p_{L}(O)=\np{0.12}+\np{0.6}\times \np{0.25}=\np{0.27}$.
\item  On choisit au hasard un élève faisant partie d'un orchestre. La probabilité qu'il suive un parcours diplômant est notée $p_{O}(D)$.

$ p_{O}(D)=\dfrac{p(D \cap O)}{p(O)}=\dfrac{\np{0.12}}{\np{0.27}}=\np{0.444}$, {\emph{\footnotesize arrondie au millième}}.

\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Pour le concert de fin d'année, l'auditorium du conservatoire dispose de $400$ places réservées
aux parents d'élèves. On s'intéresse au nombre $X$ de parents d'élèves assistant au concert de fin
d'année dans l'auditorium. 

On estime à $0,75$ la probabilité que chacun des $500$ parents d'élèves
assiste au concert. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $500$ et $0,75$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $(n,p)$ où $n=500$ et $p=\np{0.75}$, l'espérance de $X$ est $np$.

 $E(X)=500\times \np{0.75}=375$.  
\item Déterminons la probabilité que le nombre de places réservées aux parents d'élèves soit suffisant.  

Pour que le nombre de places soit suffisant, il suffit qu'au plus 400 parents viennent. 

$p(X\leqslant400)=\np{0.996}$ {\footnotesize \emph{arrondie au millième}}.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre
réponses sont proposées et une seule est correcte.\\
Relever sur votre copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
Une réponse correcte rapporte un point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Entre 2004 et 2014, le SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) mensuel brut
est passé de 1154~\euro{} à 1445~\euro.
%}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon une étude, le loyer moyen d'un studio en 2014 à Bordeaux est de 470~\euro. Quel
pourcentage du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) cela représente-t-il ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{40,7\,\%}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 4,7\,\%}&\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ 32,5\,\%}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{3,07\,\%}
\end{tabularx}
\medskip

\item Quel est le taux d'évolution du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) entre 2004 et 2014 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{18,8\,\%}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 2,91\,\%}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{20,1\,\%}&\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ 25,2\,\%}
\end{tabularx}
\medskip

\item Quel est le taux d'évolution annuel moyen du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) entre 2004 et 2014?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ 2,3\,\%}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 25,2\,\%}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,4\,\%}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2,5\,\%}
\end{tabularx}
\medskip

\item Entre 2013 et 2014, le SMIC a augmenté d'environ 1\,\%. En supposant que cette évolution
annuelle se poursuive dans les cinq prochaines années, quelle serait la valeur du SMIC
mensuel brut en 2019 (arrondie à l'euro)?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{1517}~\euro}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \np{1450}~\euro}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \np{2327}~\euro}&\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ \np{1519}~\euro}
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 }
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

Après une décision collective, les copropriétaires d'un immeuble votent la réalisation de travaux
sur la façade du bâtiment.

\bigskip

\textbf{Partie A : la facture}

\medskip

 Complétons la facture suivante, reçue par la copropriétaire Madame M.
 
 À une augmentation de 10\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.1}
 
 $\np{5002}\times \np{1.1}=\np{5502.2}\hfill \np{9152}-\np{5502.2}=\np{3649.8}\hfill \dfrac{\np{3649.8}}{\np{1.1}}=\np{3318}$
 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.73\linewidth}{|X|r|X|}\hline
\textbf{Prestations}	& Prix hors taxe	& Prix T.V.A. incluse*\\ \hline
- Travaux sur la façade	& \np{5002}~\euro	&\np{5502.2}~\euro\\
- Autres prestations	&\np{3318}~\euro	&\np{3649.8}~\euro \\ \hline
\textbf{Total}			&\np{8320}~\euro 	&Total : \np{9152}~\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
* La valeur de la T.V.A. sur ce type de travaux est de 10\,\%
\bigskip

\textbf{Partie B : l'épargne de Madame M.}

\medskip

Madame M. dépose le 1\up{er} juin 2015 un capital de \np{5000}~\euro, sur un compte non rémunéré. À partir du 1\up{er} juillet 2015, elle versera sur ce compte un montant égal à 2,5\,\% du capital du mois précédent.

Ceci conduit à modéliser la valeur du capital $n$ mois après le 1\up{er} juin 2015 par le terme $v_n$ d'une suite géométrique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le premier terme est $v_0 =\np{5000}$ et la raison de la suite $\left(v_n\right)$ est \np{1.025}.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimons $v_n$ en fonction de $n$.
Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$.

 $v_{n}=\np{5000}\times(\np{1.025})^n$

\item Le capital constitué le 1\up{er} juin 2017  ne sera pas suffisant pour payer à cette date la facture des travaux. En effet
entre le 1\up{er} juillet 2015 et le 1\up{er} juin 2017 inclus, il y aura eu 24 versements.

$v_{24}=\np{5000}\times(\np{1.025}^{24})\approx \np{9043.63}$.

 Il lui manque un peu plus de cent euros.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   

\medskip
{\footnotesize
Un restaurateur ne sert au déjeuner que des plats du jour. Il cherche à estimer l'effet du prix de
ce plat sur le nombre de ses clients à partir du tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix du plat du jour en euros 	$x$	& 7& 9 &11 &13 &15\\ \hline
Nombre de clients $y$				&82&78 &65 &41 &20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\bigskip

\textbf{Partie A : Étude statistique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement du nombre
de clients $y$ en fonction du prix $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{8.05}x+\np{145.75}$.

%On donnera la valeur exacte des coefficients.
\item Dans la suite du problème, on décide de modéliser le nombre $y$ de clients en fonction du prix $x$ par l'expression $y = -8 x + 146$.
	\begin{enumerate}
		\item D'après ce modèle, calculons le nombre de clients si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à 12~\euro. Par conséquent $x=12$, en remplaçant dans l'équation de la droite 

$y=-8\times 12+\np{146}=50$. Si le prix est de 12 euros, il peut envisager 50 clients.
		\item D'après ce modèle, déterminons le  prix du plat du jour  pour lequel le restaurateur peut espérer attirer 100 clients. Pour ce faire, résolvons $- 8x+146=100$.
		
		$-8x+146=100\quad 46=8x \quad x=\dfrac{46}{8}=\np{5.75}$.
		
Si le prix est de \np{5.75} euros, il peut envisager 100 clients.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Optimisation de la recette}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la recette réalisée par ce restaurateur sur son plat du jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données du tableau du début de l'exercice, déterminons la recette réalisée
par le restaurateur pour un prix du plat du jour fixé à 13~\euro. À ce prix, il a reçu 41 clients, par conséquent la recette s'élève à 533 euros,($13\times 41 = 533$).
\item On note $f$ la fonction qui, au prix $x$ du plat du jour en euros, associe la recette du jour $f(x)$ en euros. On admet que $x$ appartient à l'intervalle [6~;~16].
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la modélisation de la question 2 de la partie A, montrons que 		$f(x) = - 8x^2 + 146x$.
		Sachant que la recette est égale au prix  $x$ multiplié par la quantité $-8x+146$, nous obtenons $x(-8x+146)=-8x^2+146x=f(x)$.
		
		\item Déterminons l'expression de $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. 

$f'(x)=-8(2x)+146=-16x+146$.
		\item Étudions le signe de $f'(x)$.
		
		Sur $\R,\ -16x+146>0\iff -16x>-146 \iff x<\dfrac{-146}{-16}\quad x< \np{9.125}$.

Il en résulte si $x\in[6~;~\np{9.125}~[,\ f'(x)>0$ et si $x\in]\np{9.125}~;~16]\ f'(x)<0$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Pour $x\in[6~;~\np{9.125}~[,\ f'(x)>0$ par conséquent la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

 Pour $x\in]\np{9.125}~;~16]\ f'(x)<0$ par conséquent la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Dressons maintenant le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [6~;~16].


 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$6$} \uput[u](4.5,2.45) {$\np{9.125}$}    \uput[u](7.73,2.45){$16$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$588$}\uput[dr](7.32,0.45){$288$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{666.125}$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item D'après le tableau de variation, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=\np{9.125}$. Le prix (arrondi au dixième d'euro) pour lequel le restaurateur obtient une recette maximale est \np{9.1}.  Il sert alors 73  plats du jour dans ce cas $(-8\times \np{9.1}+146=\np{73.2})$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}