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%Merci pour le sujet à Clotilde Rouchon
%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 26 novembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il  aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\bigskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\medskip

Une chaîne de salles de sport propose trois formules d'abonnement mensuel: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Formule A : accès aux cours collectifs;
\item Formule B : accès libre à la salle de musculation;
\item Formule C : accès libre à la salle de musculation et aux cours collectifs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On a observé que:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 43\,\% des clients de cette chaîne sont des hommes;
\item 13\,\% des hommes et 62\,\% des femmes ont choisi la formule A ; 
\item 74\,\% des hommes et 20\,\% des femmes ont choisi la formule B;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les autres ont choisi la formule C.

\medskip



\parbox{0.59\linewidth}{On choisit au hasard la fiche d'un client. 

On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $F$ : \og le client est une femme \fg{} ;
\item $H$ : \og le client est un homme \fg{} ;
\item $A$ : \og le client a choisi la formule A \fg{} ;
\item $B$ : \og le client a choisi la formule B\fg{}; 
\item $C$ : \og le client a choisi la formule C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}} \hfill 
\parbox{0.39\linewidth}
{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\Tr{$F$~~} \taput{\np{0.57}}}
	{\TR{$A$} \taput{\np{0.62}}
	\TR{$B$} \taput{\np{0.20}}
	\TR{$C$} \tbput{\np{0.18}}
	}
\pstree{\Tr{$H$~~} \tbput{0,43}}
	{\TR{$A$} \taput{0,13}
	\TR{$B$} \taput{\np{0.74}}
	\TR{$C$} \tbput{\np{0.13}}
	}
}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'arbre de probabilités a été complété ci-dessus: 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  L'évènement $H \cap A$ est l'événement : \og le client est un homme et a choisi la formule~$A$\fg.
		\item  Calculons la probabilité $p(H \cap A)$. $P(H\cap A)=P(H)\times P_H(A)=\np{0.43}\times \np{0.13}=\np{0.0559}$
	\end{enumerate}
\item Montrons que $p(A) = \np{0,4093}$.

$H$ et $F$ forment une partition de l'univers.

$P(A)=P(H)\times P_H(A)+P(F)\times P_F(A)=\np{0.0559}+\np{0.57}\times \np{0.62}=\np{0.4093}$.

 La probabilité de $A$ est bien \np{0.4093}.

\item Sachant que le client a choisi la formule $A$, la probabilité que ce soit un homme est notée $P_A(H)$. 
$P_A(H)=\dfrac{P(A\cap H)}{P(A)}=\dfrac{\np{0.0559}}{\np{0.4093}}\approx \np{0.1366}$.

La probabilité que ce soit un homme sachant qu'il a choisi la formule  $A$ est d'environ $\np{0.1366}$ à $10^{-4}$ près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

La direction de la chaîne de salles de sport estime que sur l'ensemble des salles, la proportion de clients abonnés depuis plus de $12$~mois consécutifs est $p = 0,77$ \footnote{En supposant que le texte \og parmi un échantillon de 400 clients\fg, s'inscrit ici au lieu d'être en répétition dans la question  \textbf{2)}}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un intervalle de fluctuation, à au moins $95$\,\%, de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois est$\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$. $I=\left[0,77-\dfrac{1}{\sqrt{400}}~;~ 0,77+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right]=[\np{0.72}~;~\np{0.82}]$
\item  Dans une des salles de sport de la chaîne, la responsable a observé que, parmi les $400$ clients, $280$ sont restés abonnés depuis plus de 12 mois parmi un échantillon de $400$ clients.
	\begin{enumerate}
		\item  La fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs dans cette salle est $\dfrac{280}{400}=\np{0.70}$.
		\item La responsable peut penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne puisque \np{0.7} n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation à au moins 95\,\%.
	\end{enumerate}


\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\medskip

Une entreprise fabrique et vend un produit désinfectant liquide. Chaque jour, elle fabrique $x$ hectolitres de désinfectant avec $x$ compris entre $0$ et $12$. On considère que l'entreprise vend toute sa production.

Le coût de fabrication, en dizaine d'euros, de $x$ hectolitres de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0~;~12]$.

Le chiffre d'affaires pour la vente de $x$ hectolitres de produit est $R(x)$, exprimé en dizaines d'euros.

Dans un repère orthogonal du plan, on a tracé les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-50)(12.5,2300)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,2200)}
\multido{\n=0+200}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(12.5,2300)
\psline(12,1800)\rput{37}(9.5,1480){chiffre d'affaires}
\psdots(4,600)\uput[ul](4,600){A}
\uput[d](9.8,-85){Nombre d'hectolitres par jour}
\rput{90}(-1.3,1600){Montant par jour (en dizaines d'euros)}
\psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 66 x mul add 50 add }
\pstextpath[c](0.1,0.1){\psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 66 x mul add 50 add}}{\blue coût de fabrication}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 66 x mul add 50 add}
\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 0.5459 def \Func)(!0.5459 /x 0.5459 def \Func)(0.5459,0)
\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 11.08534 def \Func)(!11.08534 /x 11.08534 def \Func)(11.08534,0)
\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=awesome,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 4 def \Func)(!4 /x 4 def \Func)(4,0)
\uput[d](0.5459,0){\footnotesize $\approx\np{0.6}$}
\psline[linewidth=0.55pt, linecolor=violet]{<->}(0.5459,55)(11.085,55)\uput[u](7.15,55){\footnotesize \textcolor{violet}{Zone de bénéfice }}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère la production d'une journée. Par lecture graphique:
	\begin{enumerate}
		\item  Le chiffre d'affaires réalisé pour la vente de 4 hectolitres est \np{6000} \euro. Le point A appartenant à la droite a pour coordonnées $(4~;~600)$.
		\item  Le coût de fabrication de 4 hectolitres est d'environ \np{2000}. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 4. Avec la précision du graphique, nous trouvons 200, ce qui correspond à \np{2000} \euro.
		\item  Le bénéfice réalisé pour la vente de 4 hectolitres est d'environ \np{4000} \euro.
		\item  Lors de la production et la vente de 4 hectolitres, l'entreprise ne réalise pas le bénéfice maximal. La distance entre un point de la courbe et le point de la droite de même abscisse semble supérieure  lorsque $x=7$.
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique, le nombre d'hectolitres que doit produire l'entreprise pour réaliser des profits, c'est-à-dire un bénéfice strictement positif devrait appartenir à l'intervalle [0,6~;~11]. Il y a un bénéfice  strictement positif lorsque la droite des recettes est au-dessus de la courbe des coûts.  Nous lisons les abscisses des points d'intersection des deux courbes et prenons l'intervalle entre ces valeurs.
\item La représentation graphique de la fonction $R$ est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point A de coordonnées $(4~;~600)$.
Le coefficient directeur de cette droite est $\frac{600}{4}$ soit $150$. Passant par l'origine, son équation est de la forme $y=mx$.
D'où $R(x)=150x$.
\item On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice de l'entreprise en fonction du nombre
d'hectolitres de désinfectant vendus. Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~12] , on a : 

\[B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 84x - 50.\]

	\begin{enumerate}
		\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.

  $B'(x)=-2(3x^2)+15(2x)+84=-6x^2+30x+84$. 
		\item  Résolvons l'équation $-6x^2 +30x +84 = 0$. Pour simplifier, commençons par mettre $-6$ en facteur, l'équation devient alors $x^2-5x-14=0$.
		
			Déterminons les racines de $x^2-5x-14$. Calculons le discriminant 

 $\Delta= (-5)^2-4\times(-14)=25+56=81=9^2$.
		
		$\Delta>0$, le trinôme a deux racines distinctes 
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\dfrac{-(-5)-9}{2}=-2 \quad  x_2=\dfrac{5+9}{2}=7$. 

 L'ensemble des solutions de l'équation $x^2-5x-14=0$ est $\{-2~;~7\}$.

 Il en résulte   $-6x^2+30x+84=-6(x^2-5x-14)=-6\left(x+2\right)(x-7)$

Étudions le signe de $B'(x)$ sur $[0~;~12]$.

$x$ étant positif le signe de $B '(x)$ est celui de $7-x$.
		
	Si $x\in[0~;~7[ \quad 7-x>0$ par conséquent $B'(x)>0$ et si  $x\in]7~;~12] \quad  7-x<0	$, par conséquent $B'(x) <0$
		
		\item   Complétons le tableau de variations ci-dessous :
		
	Justifions au préalable les variations de $B$.
	
	Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~7[,\:B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]7~;~12],\:B'(x)<0$ par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
		
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,3.5)
\psline[linestyle=dotted](5,2)(5,3)
\uput[u](1,2.9){$x$}\uput[u](2.15,2.9){$0$}\uput[u](5,2.9){$7$}\uput[u](7.7,2.9){$12$}
\rput(1,2.6){Signe de}
\rput(1,2.2){$B'(x)$}\rput(1,1.3){Variations} \rput(1,0.7){ de $B$}
\rput(3.5,2.5){$+$} \rput(6.5,2.5){$-$}\rput(5,2.5){$0$}
\psline{->}(2.2,0.55)(4.6,1.55)\psline{->}(5.5,1.5)(7.8,0.55)
\uput[u](5,1.5){$\np{587}$}\uput[d](2.2,0.55){$50$}\uput[d](7.3,0.55){$-338$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Pour sept hectolitres de désinfectant produits et vendus le bénéfice est maximal. Le bénéfice est alors  de \np{5870} \euro .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

La fréquentation d'un parc animalier français depuis l'année 2010 est donnée dans la feuille de calcul ci-dessous, où le nombre de visiteurs est exprimé en milliers.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{A}			& B		&C		&D		&E		&F			&G \\\hline
1& Année							&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 		&2015\\\hline
2& Rang de l'année : $x_i$			& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 			&5\\\hline
3& Nombre de visiteurs (en milliers) : $y_i$&530 	&600 	&\np{1002} 	&910 &912 &\np{1099}\\ \hline
4& Taux d'évolution annuel (en \%)	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &13,2	&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La ligne 4 de cette feuille de calcul contient les taux d'évolution entre deux années consécutives, arrondis à $0,1$. 

Par exemple, le taux d'évolution annuel du nombre de visiteurs entre 2010 et 2011 est de $13,2$\,\%.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une formule que nous pouvons écrire dans la cellule C4, qui par recopie vers la droite permet
de compléter la ligne 4 est : =(C\$3-B\$3)/B\$3.
\item  Vérifions que le taux d'évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est
environ $15,7$\,\%.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^5$ puisque le nombre de visiteurs a subi 5 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^5=\dfrac{\np{1099}}{\np{530}}\approx\np{2.073585}$ par conséquent $t_m=\np{2.073585}^{\tfrac{1}{5}}-1\approx \np{0.157}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel du nombre de visiteurs entre 2010 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est  égal à \np{15.7}\,\%. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le graphique en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{105.40}x+\np{578.67}$,  les coefficients étant arrondis à $0,01$.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 105x + 579$.
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $D$ est tracée sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
		\item Selon ce modèle, déterminons le nombre de visiteurs que l'on peut prévoir en 2019.

 En 2019 $x=9$. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=105\times 9+579 =1524$.
 
		Selon ce modèle,  le nombre de visiteurs que l'on peut prévoir en 2019 est de \np{1524000} personnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie que le nombre de visiteurs dans le parc animalier augmente chaque année de 15,7\,\% à partir de 2015. 

On note $v_n$ le nombre de visiteurs, en milliers, en $2015 + n$. Ainsi, $v_0 = \np{1099}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À une augmentation de 15,7\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.157}.

 Le nombre de visiteurs en 2016 est $v_1$. Arrondi à l'unité $v_1=1099\times \np{1,157}\approx \np{1272}$.
 Le parc animalier a reçu en 2016 environ \np{1272} milliers de visiteurs.
\item Chaque terme, sauf le premier se déduisant du précédent en le multipliant par le même nombre, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.157} et de premier terme \np{1099}.% Préciser la raison. 
\item  Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  :

$u_n=u_0\times (q)^n$. Le terme général  de la suite $(v_n)$ est : $v_n=\np{1099}\times\left(\np{1.157}\right)^n$.
\end{enumerate}

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{4.} On utilise l'algorithme ci-contre :

À la fin de l'exécution de l'algorithme, on admet que $N = 5$. 

 Ce résultat dans le contexte de l'exercice indique que dans 5 ans c'est-à-dire en 2020, le parc animalier recevra au moins  deux millions de visiteurs. 
} \hfill 
\parbox{0.36\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$V \gets \np{1099}$\\
Tant que $V < \np{2000}$\\
\hspace{0,6cm}$V \gets V \times 1,157$\\
\hspace{0,6cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples} 

\emph{Pour chaque question, une seule des trois affirmations proposées est correcte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de l'affirmation choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après une augmentation de 25\,\%, le prix d'un objet est $80$~euros. Avant cette augmentation, l'objet valait :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{60 euros} &\textbf{b.~} \psframebox{64 euros} &\textbf{c.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 100 euros}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  À l'ouverture d'une nouvelle salle de cinéma, on a relevé \np{1360}~entrées la première semaine, nombre pris comme indice de base $100$. Trois semaines plus tard, la fréquentation est passée à \np{1632} entrées. L'indice correspondant est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 20} &\textbf{b.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 102} &\textbf{c.~}\psframebox{ 120}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne \np{2019} et
d'écart-type $2$. La probabilité $p(X \geqslant \np{2021})$, arrondie à $0,01$, est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~}\psframebox{ 0,16} &\textbf{b.~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,34} &\textbf{c.~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,84}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne \np{2019} et d'écart-type $2$.

On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.

Parmi les trois figures ci-dessous, celle pour laquelle la probabilité représentée est égale à $0,95$ est:

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\psset{xunit=0.35cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(5,0)(5,0.026)\psline(13,0)(13,0.026)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\textbf{a.}}
\end{pspicture}& \psset{unit=0.35cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(7,0)(7,0.12)\psline(11,0)(11,0.12)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize\na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\psCancel{\textbf{b.}}}
\end{pspicture}\\ \hline
\psset{unit=0.35cm,yunit=14cm} 
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(12,0)(12,0.066)\psline(6,0)(6,0.066)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize\na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\psCancel{\textbf{c.}}}
\end{pspicture}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-1}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{ANNEXE 1 -- EXERCICE 3}
\end{flushleft}

\bigskip


\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-100)(9.5,1150)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+100}{12}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=400,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1150)
\uput[d](8,-50){Rang $x_i$ de l'année} \uput[ur](5,1000){$D$}
\rput{90}(-1.2,850){Nombre de visiteurs $y_i$ (en milliers)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6,linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,130)(1,200)(2,602)(3,510)(4,512)(5,699)
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=awesome,plotpoints=5000]{0}{6.2}{x 150 mul  178 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}