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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STMG  Polynésie 15 juin 2015~\decofourright}}

\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en
euros pour $x$ ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction :

\[f(x) = x^3 - 60x^2 + 900x - 500.\]

L'entreprise ne pouvant construire plus de 30~ordinateurs par jour, on aura $0 \leqslant  x \leqslant 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le bénéfice pour 4 puis pour 10 ordinateurs.
		
		$f(4)= 4^3-60\times 4^2+900\times 4-500=\np{2204},\quad  f(10)=\np{3500}$.
		
	Le bénéfice pour 4 ordinateurs est de \np{2204}~euros et pour 10 ordinateurs de  \np{3500}~euros.	
		
		\item Calculons $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		
		$f'(x)=3x^2-60(2x)+900=3x^2-120x+900=3(x^2-40x+300)$.
		\item Avant d'étudier le signe de $f'(x)$, essayons de  factoriser cette expression. 
		
		$\Delta= 40^2-4\times 300=400 \quad \Delta >0$ le trinôme admet deux racines :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$x_1=\dfrac{40-\sqrt{400}}{2}=10\quad x_2=\dfrac{40+20}{2}=30$.

 par conséquent $f'(x)= 3(x-10)(x-30)$.
 
 Étudions le signe de $f'(x)$
 \smallskip
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|r|*{5}{c}|}\hline
 $x$&0&&10&&30\\\hline
 $x-10$&&$-$&0&+&\\ \hline
 $x-30$&&$-$&\vrule &$-$&0\\\hline
 $f'(x)$&&+&0&$-$&0\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ 
 
 Sur $]10~;~30],\ f'(x)<0$ par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

 Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
 
 Sur $[0~;~10[,\ f'(x)>0$ par conséquent la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons maintenant, le tableau de variation de $f$.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$10$}    \uput[u](7.73,2.45){$30$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-500$}\uput[d](7.38,0.45){$-500$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{3500}$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Pour avoir un bénéfice maximal, l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 10 ordinateurs.  Le bénéfice s'élèvera alors à \np{3500}~euros.
	\end{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous représente l'évolution du bénéfice en fonction du nombre d'ordinateurs fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par
l'entreprise.
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.32cm,yunit=0.0022cm,showorigin=false,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-2,-600)(35,4100)
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-500)(\n,4000)}
\multido{\n=-500+500}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=500]{->}(0,0)(0,-500)(35,4100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=500](0,0)(0,0)(35,4100)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 900 x mul add 500 sub}
\uput[u](31.5,0){\footnotesize ordinateurs fabriqués}
\uput[r](0,4075){\footnotesize  bénéfice en \euro}
\def\Func{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 900 x mul add 500 sub}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 4 def \Func)(!4 /x 4 def \Func)(4,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(4.6791,0)(4.6791,2500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 16.527 def \Func)(!16.527 /x 16.527 def \Func)(16.527,0)
\uput[dl](-0.1,-0.1){O}
\end{pspicture}	
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminons combien d'ordinateurs l'entreprise doit fabriquer 
et vendre  en une journée si elle veut un bénéfice d'au moins \np{2500}~\euro.

 Les solutions devant être entières, l'entreprise doit fabriquer et vendre  entre 5 et 16 ordinateurs par jour. 
		\item Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix jours ;
\item contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq jours.
		\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

 L'entreprise a intérêt à choisir le contrat B. En effet si elle choisit le contrat A, cela l'obligera à fabriquer trente ordinateurs par jour et perdra par jour 500 euros, tandis qu'avec, le contrat B, elle fabriquera 20 ordinateurs par jour et ainsi elle gagnera \np{1500} euros par jour.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

On s'intéresse aux évolutions décennales (par période de 10 ans) du P.I.B. en France de 1950 à
2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années& 1950 &1960 &1970 &1980 &1990 &2000 &2010\\ \hline
rang de l'année $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
P.I.B. en milliards d'euros $y_i$&15,5 &47,0 &126,1 &453,2 &\np{1058,6} &\np{1485,3} &\np{1998,5}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{Source : Comptes nationaux - Base 2010, Insee}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le graphique \textbf{en annexe à rendre avec la copie},  le nuage de
points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 6 a été représenté.
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode
des moindres carrés en se limitant à la période 1970--2010 est $y=\np{477.69}x-\np{886.42}$.
\item On ajuste l'ensemble du nuage avec la droite $(D)$ d'équation $y = 478x - 886$.

 Cette droite est tracée sur le graphique \textbf{en annexe à rendre avec la copie}.
\item On se propose d'ajuster ce nuage de points par la parabole, tracée sur le graphique en
annexe, d'équation $y = 56x^2 + 12,6x - 25$.

Une estimation du P.I.B. en 2020 serait  en milliards d'euros de \np{2460} en prenant l'ajustement affine pour $x=7$. En effet depuis 1980, l'accroissement durant une décennie a tendance à se stabiliser autour  de 500 milliards d'euros, les trois derniers points semblent bien alignés. 
%par la méthode qui vous semble la plus adaptée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du P.I.B. de 2000 à 2010 arrondi au dixième.

Le taux  d'évolution est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.

 $t=\dfrac{\np{1998.5}-\np{1485.3}}{\np{1485.3}}\approx \np{0.34552}$.
 
 Le taux d'évolution du P.I.B. de 2000 à 2010 est d'environ  \np{0.3} ou de 34,5\,\%.

\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen du P.I.B. pour cette même période arrondi au dixième.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{10}$ puisque le P.I.B. a subi 10 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^3=\np{1.34552}$ par conséquent $t_m=\np{1.34552}^{\tfrac{1}{10}}-1\approx \np{0.03012}$.

le taux d'évolution annuel moyen du P.I.B. est d'environ \np{0.030} ou de \np{3.0}\,\%.

\item Pour savoir dans quelle décennie il y a eu la plus forte évolution, on utilise une feuille
de calcul d'un tableur. On calcule les coefficients multiplicateurs pour chacune des
évolutions.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C\\ \hline
1& Année& P.I.B.& coefficient\\ \hline
2& 1950	& 15,5&\\ \hline
3& 1960 &47,0 &\np{3,03225806}\\ \hline
4& 1970 &126,1 &\np{2,68297872}\\ \hline
5& 1980 &453,2 &\np{3,59397304}\\ \hline
6& 1990 &1 058,6 &\np{2,33583407}\\ \hline
7& 2000 &1485,3 &\np{1,40307954}\\ \hline
8& 2010 &1 998,5&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Une formule qui, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permet
d'obtenir les valeurs de la colonne C est :\hspace{1.5em} =\$B3/\$B2

{\footnotesize Dans le cas présent, les \$ ne sont pas obligatoires.}
		\item Calculons le coefficient multiplicateur manquant en C8. $\dfrac{ \$ \text{B}8}{\$\text{B}7}=\dfrac{\np{1998.5}}{\np{1485.3}}\approx \np{1.34551942}$. %\phantom{\$}
		
		{\footnotesize  le coefficient multiplicateur  en C8 est aussi $1+t$ où $t$ est calculé à la question \textbf{B 1.}}
		\item La décennie  qui a  vu la plus forte évolution du P.I.B. est celle de 1970--1980 puisque le coefficient multiplicateur est le plus élevé de la période 1950\,--\,2010.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On a prouvé qu'une des origines d'une maladie était génétique. On estime que 0,1\,\% de la
population est porteur du gène en cause. Lorsqu'un individu est porteur du gène, on estime à $0,8$ la probabilité qu'il développe la maladie. Mais s'il n'est pas porteur du gène il y a tout de même une probabilité de $0,01$ qu'il développe la maladie.

Lorsqu'un individu est choisi au hasard dans la population, on considère les évènements
suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize} 
\item $G$ : \og  le patient est porteur du gène \fg ;
\item $M$ : \og le patient développe la maladie \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données, l'arbre est complété sur  l'\textbf{ annexe  à rendre avec la copie} .
\item La probabilité de l'évènement \og le patient est porteur du gène et il développe la maladie \fg est notée~$p(G~\cap~M)$.

$p(G\cap M)=p(G)\times p_{G}(M)=\np{0.001}\times \np{0.8}=\np{0.0008}$.

\item   La probabilité   qu'il soit porteur du gène sachant qu'il a développé la maladie est notée $p_{M}(G)$.

$p_{M}(G)=\dfrac{p(G\cap M)}{p(M)}$.  Calculons alors $p(M)$.

$p(M)=p(G)\times p_{G}(M)+p(\overline{G})\times p_{\overline{G}}(M)=\np{0.008}+\np{0.999}\times \np{0.01}=\np{0.1019}$

$p_{M}(G)=\dfrac{\np{0.0008}}{\np{0.1019}} \approx \np{0.0741}$.


La probabilité   qu'il soit porteur du gène sachant qu'il a développé la maladie est à \np{0,0001}près \np{0.0741}.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un traitement préventif pour éviter la survenue de cette
maladie. Il avertit que 30\,\% des patients traités auront des effets secondaires.

Plusieurs études sont réalisées par différents médecins et des patients volontaires pour vérifier les estimations du laboratoire. Les médecins sont invités à rentrer leurs données dans un logiciel qui utilise l'algorithme ci-contre :

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Un médecin a traité $150$~patients ; parmi ceux-ci, $40$ ont eu des effets
secondaires. 

Le résultat affiché par ce logiciel est : 

\og résultats conformes\fg.
 
\item  Pour un autre, sur $200$~patients,
$75$ ont eu des effets secondaires.

le logiciel affichera alors :

\og résultats non conformes\fg.
\item  Dans cet algorithme l'intervalle $[a~;~b]$ représente l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
\hspace{0,5cm}$n$, $s$ sont des entiers\\
\hspace{0,5cm}$a$, $b$ sont des nombres réels\\
\textbf{Entrée :}\\
\hspace{0,5cm}Afficher \og Entrer le nombre de patients traités \fg\\
\hspace{0,5cm}Saisir $n$\\
\hspace{0,5cm}Afficher \og Entrer le nombre de patients ayant eu
des effets secondaires \fg\\
\hspace{0,5cm}Saisir $s$\\
\textbf{Traitement :}\\
\hspace{0,5cm}$a$ prend la valeur $0,3 - \frac{1}{\sqrt{n}}$\\
\hspace{0,5cm}$b$ prend la valeur $0,3 + \frac{1}{\sqrt{n}}$\\
\hspace{0,85cm}\textbf{Si} $a \leqslant \frac{s}{n} \leqslant b$\\
\hspace{1.2cm}\textbf{Alors} afficher : \og résultats conformes \fg\\
\hspace{1.2cm}\textbf{Sinon} afficher : \og résultats non conformes \fg\\
\hspace{0,75cm}\textbf{Fin Si}\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\
Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ est géométrique de premier terme $U_0 = 10$ et de raison $q = 3 $, alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U_4 = 22$} &\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{ $U_4 = 810$}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U_4 = 10 \times  3^3$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U_4 = 10 +  3 \times 4$}
\end{tabularx}
\medskip

\item  La suite $\left(V_n\right)$ est arithmétique de premier terme $V_0 = 0$ et de raison $r = 5$ alors la somme 

$V_0 + V_1 + \cdots + V_{10}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{50} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{250} &\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{275}
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
Une ville a décidé d'augmenter de 10\,\% ses logements sociaux chaque année. En 2012 elle avait
$150$~logements sociaux. Pour tout entier $n$, on note $a_n$ le nombre de logements sociaux dans cette ville en $(2012 + n)$. On a donc $a_0 = 150$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  On aura alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$a_1 = 135$} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$a_3 = 180$} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $a_3 = 195$} &\textbf{d.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$a_n = 150 \times  1,10^n$}.
\end{tabularx}
\medskip

\item  La ville souhaite au moins doubler le nombre de ses logements sociaux. Cet objectif
sera dépassé en :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2015} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2017} &\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{2020} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2022}
\end{tabularx}

{\footnotesize remarque: Il est bien entendu que l'objectif sera aussi dépassé en 2022 mais pas pour la première fois.}
\medskip
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center} 
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.00375cm}
\begin{pspicture*}(-1,-150)(9.2,3100)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,3000)}
\multido{\n=0+200}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,-50)(9.2,3100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(9.2,3100)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{x dup mul 56 mul 12.6 x mul add 25 sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=0.75pt,linecolor=blue]{2}{9}{x 478 mul 886 sub}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale =1.2,dotangle=45](0,15.5)(1,47)(2,126.1)(3,453.2)(4,1058.6)(5,1485.3)(6,1998.5)
\uput[u](8,0){\footnotesize Rang de l'année}
\uput[r](0,3050){\footnotesize P.I.B. en milliards d'euros}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} \end{flushleft}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~} \taput{0,001}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.8}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.2}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~} \tbput{\np{0.999}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.01}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.99}}
	}
}
\end{center}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}