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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie 7 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (8 points)}   

\medskip
{\footnotesize
À partir des recensements effectués tous les dix ans, on a établi le tableau suivant qui donne
l’évolution de la population française en millions d’individus entre 1851 et 1911. Peu de données
sont disponibles pour l’année 1871.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.1cm}|*{6}{c|}}\hline
					&Population	&Population	&Population&Population&Population &Population\\
 					&en 1851 	& en 1861	&en 1881	&en 1891&en 1901&en 1911 \\\hline
Rang de la 
décennie : $x_i$	&0 			&1			&3			&4		& 5		& 6\\\hline
Population en
 millions :$y_i$	&35 		&37,4		&37,7		&39,9 	&39 	&39,6\\\hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
}
\textbf{Partie A : Approximation de la population en 1871.}

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est placé sur le graphique donné en annexe.
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.701}x+\np{35.881}$ {(\footnotesize Les coefficients sont arrondis au millième)}.
\item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite (d) d’équation $y = 0,7x + 35,9$. 
Cette droite est tracée sur ce même graphique.
\item  À l’aide de ce modèle, estimons la population en 1871. Le rang de la décennie est 2. Remplaçons $x$ par 2 dans l'équation de la droite. 
$y=\np{0.7}\times 2+\np{35.9}=\np{37.3}$.

Selon ce modèle, nous pouvons estimer à \np{37.3} millions la population française en 1871.
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{Partie B : Évolution de la population après 1911.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Les données de l’INSEE (Institut National de la Statistique et des Études Économiques)
montrent qu’en 1921 la population française était d’environ 39,2 millions de personnes.

En 1921, le rang de la décennie est 7. $y=\np{0.7}\times 7+\np{35.9}=\np{40.8}$.

Selon le modèle utilisé dans la partie A, nous pouvons estimer à \np{40.8} millions la population française en 1921.

 Ce modèle  donne une évaluation un peu haute du résultat. 

Nous pouvons cependant estimer que  le modèle permettait d'avoir une estimation proche du résultat (+4\,\%, ce qui paraît acceptable). 
\item Sachant qu’en 2011 il y avait 65,2 millions d’habitants en France.
En 2011, le rang de la décennie est 16. $y=\np{0.7}\times 16+\np{35.9}=\np{47.1}$.

Selon le modèle utilisé dans la partie A, nous pouvons estimer à \np{47.1} millions la population française en 2011.

Par conséquent, il apparaît que  ce modèle ne reste plus valable jusqu'à nos jours. L'estimation minimise la population de près de dix-huit millions.
\end{enumerate}

\smallskip
\textbf{Partie C}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d’évolution global, exprimé en pourcentage et arrondi au centième, de la
population française entre 1911 et 2011 (\emph{les données se trouvent dans les deux premières parties}).
 
Le taux $t$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$t=\dfrac{\np{65.2}-\np{39.6}}{\np{39.6}}\approx \np{0.646465}$.

Le taux d'évolution global de la population française  entre 1911 et 2011 est, arrondi à 0, 1\,\% près, d'environ \np{64.6}\,\%.
 \item Soit $t_m$  le taux d'évolution moyen durant cette période. Le coefficient multiplicateur global est d'une part \np{1.646465} et $(1+t_m)^{100}$ d'autre part puisqu'il y a eu 100 évolutions durant cette période. D'où $t_m=\np{1.646465}^{\np{0.01}}-1\approx \np{0.0049988} $

Le taux d’évolution annuel moyen pendant cette période arrondi à 0,1\,\% près est \np{0.5}\,\%.
\item  On souhaite utiliser ce taux moyen pour obtenir un autre modèle de la population.

Soit $\left(U_n\right)$la suite géométrique de raison $1,005$ et de premier terme $U_0= 39,6$.
\begin{enumerate}
\item Le terme général d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ est 

$u_n=u_0 q^n$.
$U_n=\np{39.6}\times \np{1.005}^n$.

 $U_3=\np{39.6}\times \np{1.005}^3\approx \np{40.2}$, $U_{100}=\np{39.6}\times \np{1.005}^{100}\approx \np{65.2}$ (\emph{les résultats sont arrondis à $0,1$ près}).
\item Dans le cadre de l’exercice, donnons une représentation  de $U_3$ et de $U_{100}$

 $U_0$ représentant la population en 2011, $U_3$ représente la population française en 2011+3 soit en 2014 et $U_{100}$ celle en 2011.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (8 points)}

\medskip

En 2016, une entreprise compte produire au plus \np{60 000} téléphones mobiles pour la France et
les vendre $800$ \euro{} l’unité. On supposera que tous les téléphones produits sont vendus. On
s’intéressera dans cet exercice au bénéfice éventuel réalisé par l’entreprise.

Après plusieurs études, les coûts, en euros, liés à la production, à la distribution et à la publicité,
sont modélisés par 

\[C(x) = 0,01x^2 + 250x + \np{2500000}\]

(où $x$ est le nombre d’exemplaires fabriqués et vendus).

\medskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item Calculons le bénéfice, selon le nombre $x$ d’exemplaires vendus, $ x\in [0~;~\np{60000}]$.

Le montant du bénéfice est le montant de la différence entre la recette et les coûts.

$f(x)=800x-(0,01x^2 + 250x + \np{2500000})= -0,01x^2 + 550x - \np{2500000}$.

Le bénéfice est bien défini sur $[0~;\np{~60000}]$ par $f(x) = - 0,01x^2 + 550 x - \np{2 500 000}$.
\item Déterminons la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$.

$f'(x)=-0,01(2x)+550=-\np{0.02}x+550$.
\item Étudions le signe de $f'(x)$.

Sur $\R,\  -\np{0.02}x+550 >0$ est équivalent à $x<\np{27500}$. Par conséquent si $x\in[0~;~\np{~27500}[,$

$\ f'(x)>0$ et si $x\in]\np{27500}~;~\np{60000}], \ f'(x)<0$.

Étudions le sens de variation de $f$ sur $[0~;~\np{60000}]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~\np{27500}[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.


Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]\np{27500}~;~\np{60000}],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~\np{60000}]$.
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}\scalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$\np{27500}$}    \uput[u](7.53,2.45){$\np{60000}$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[dr](1.15,0.45){$-\np{2500000}$}\uput[d](7.24,0.45){$-\np{5500000}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{5062500}$}
\end{pspicture}}
\end{center}

%Donner, en justifiant votre démarche, le tableau de variation de la fonction $f$.
\item  La fonction $f$ admettant un maximum pour $x=\np{27500}$, l’entreprise doit vendre \np{27500} téléphones pour réaliser un bénéfice maximal.
 Ce bénéfice vaut \np{5062500}\,\euro .
\item La fonction $f$ est représentée ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item  Graphiquement  l’entreprise doit vendre  entre \np{10 000} et \np{45 000} téléphones (ces valeurs incluses)  pour réaliser
un bénéfice supérieur à 2 millions d’euros.

 Nous traçons la droite d'équation $y=\np{2000000}$ et nous lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe.
\item  L’entreprise n'a pas intérêt à produire $\np{60000}$ exemplaires en 2016 puisque $f(\np{60000})=-\np{5500000}$.
 Il en résulterait un bénéfice  strictement négatif. 

Graphiquement le point de la courbe d'abscisse \np{60000}  est situé dans le demi-plan des $y$ négatifs.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=0.00018cm,yunit=0.00075cm}
\begin{pspicture}(-5000,-6000)(80000,7000)
\uput[r](0,8200){\euro}
\multido{\n=0+5000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](\n,-6000)(\n,8000)}
\multido{\n=-6000+1000}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,\n)(75000,\n)}
\psaxes[labels=x,labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt,Dx=90000,Dy=2000]{->}(0,0)(0,-6000)(75000,8500)
\uput[u](65000,0){\footnotesize Nombre de téléphones fabriqués}
\multido{\n=0+5000}{16}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \np{\n}}}
\multido{\n=-6000+2000,\na=-6000000+2000000}{7}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60000}{x x mul 0.01 neg mul x 550 mul add 2500000 sub 1000 div }
 \psset{arrowscale=2}
 \def\Func {x x mul 0.01 neg mul x 550 mul add 2500000 sub 1000 div}
 \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 10000 def \Func)(!10000 /x 10000 def \Func)(10000,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 45000 def \Func)(!45000 /x 45000 def \Func)(45000,0)
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2.5,linecolor=red](60000,-5500)
\end{pspicture}
}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

{\footnotesize

On s’intéresse dans cette partie au bénéfice unitaire qui est modélisé par la fonction $g$ définie
sur ]0~;~\np{60000}] par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x} $.

Sur un tableur, on a préparé une feuille de calcul dont on donne, ci-dessous, un aperçu :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*3{c|}}
\hline
&A& B& C\\\hline
1&Nombre
d'exemplaires $x$&Bénéfice $f(x)$&Bénéfice unitaire $g(x)$\\\hline
2& \np{1000}& $-$\np{1960000}& $-$\np{1960,00}\\\hline
3& \np{2000} &$-$\np{1440000}& $-$\np{720,00}\\\hline
4& \np{3000}& $-$\np{940000}& $-$\np{313,33}\\\hline
5& \np{4000}& $-$\np{460000}& $-$\np{115,00}\\\hline
6 &\np{5000}& 0& 0,00\\\hline
7& \np{6000}& \np{440000}& 73,33\\\hline
8& \np{7000}& \np{860000}& 122,86\\\hline
9& \np{8000}& \np{1260000}& 157,50\\\hline
10& \np{9000}& \np{1640000}& 182,22\\\hline
11& \np{10000}& \np{2000000}& 200,00\\\hline
12& \np{11000}& \np{2340000}& 212,73\\\hline
13& \np{12000}& \np{2660000} &221,67\\\hline
14 &\np{13000}& \np{2960000}& 227,69\\\hline
15& \np{14000}& \np{3240000}& 231,43\\\hline
16& \np{15000}& \np{3500000}& 233,33\\\hline
17& \np{16000}& \np{3740000}& 233,75\\\hline
18& \np{17000}& \np{3960000}& 232,94\\\hline
19& \np{18000}& \np{4160000} &231,11\\\hline
20& \np{19000}& \np{4340000}& 228,42\\\hline
21& \np{20000}& \np{4500000}& 225,00\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  Une formule que l'on peutsaisir en C2 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs du
bénéfice unitaire est : =\$B2/\$A2
\item D’après le tableau, le nombre d'exemplaires, arrondi au millier, que l'entreprise doit fabriquer et vendre pour avoir un
bénéfice unitaire maximal est de \np{16000} téléphones.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\medskip

On modélise, par jour de production, le nombre d’appareils défectueux par la loi normale
d’espérance $\mu=14$ et d’écart type $\sigma  = 2$. On arrondira les résultats au millième.
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité pour qu’un jour donné, il y ait entre 12 et 16 téléphones défectueux.

Soit $X$ une variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'appareils défectueux. 
$X$ suit la loi normale de paramètres(14~;~2). La probabilité cherchée est $p(12\leqslant X\leqslant 16)$.

À la calculatrice, nous obtenons $p(12\leqslant X\leqslant 16)\approx\np{0.683}$.
\item On considère que la production d’une journée n’est pas satisfaisante quand il y a plus de 18
téléphones défectueux. 

La probabilité pour qu’un jour donné la production ne soit
pas satisfaisante est $p(X\geqslant 18)$. 

À la calculatrice, nous obtenons $p(X\geqslant 18) \approx \np{0.023}$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill (4 points)}

 \medskip
 {\footnotesize
\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte un point ; une réponse fausse ou
l’absence de réponse n’enlève pas de point.}

\medskip

Dans une population, on estime qu’il naît 51\,\% de garçons et 49\,\% de filles.
}
\begin{enumerate}
\item L’intervalle de fluctuation à au moins 95\,\% de la fréquence des filles dans un échantillon de
100 naissances choisies au hasard sera :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ [0,48~;~0,50]}&\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{[0,39~;~0,59]} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{[0,41~;~0,61] }&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{  [0,47~;~0,51]}
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\smallskip
 Dans cette même population si le premier enfant d’une famille est une fille, dans 75\,\% des cas il y a
un deuxième enfant. Si le premier enfant est un garçon, il y a un deuxième enfant dans 20\,\% des cas.

On choisit, au hasard dans cette population, une famille ayant au moins un enfant.

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[]$F$ : \og le premier enfant de cette famille est une fille \fg
\item[]$D$ : \og cette famille a eu un deuxième enfant \fg
\end{description}


\begin{enumerate}[resume]
\item On a :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{$P(D) = \np{0,4695}$} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$P(D) = 0,75$} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$P(D) = \np{0,3675}$} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$P(D) = \np{0,53025}$ }
\end{tabularx}

{\footnotesize $p(D)= \np{0.49}\times \np{0.75} +\np{0.51}\times \np{0.2}=\np{0.4695}$.}
\medskip
 
\item La probabilité que la famille choisie ait au moins deux enfants et que le premier soit une fille
est :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\np{0,1225}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $0,49 $}&\textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.1pt]{$\np{0,3675}$}&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{  $1,24$}
\end{tabularx}

{\footnotesize $p(F\cap D)=\np{0.49}\times \np{0.75}=\np{0.3675}$ .}
\medskip 

\item On choisit au hasard 5 familles parmi celles qui ont au moins un enfant. 0n appelle $Y$ la
variable aléatoire qui donne le nombre de ces familles ayant eu une fille en premier enfant.

On a alors :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$P(Y=2)= 10$}&\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.1pt]{$P(Y=2)\approx 0,32$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$P(Y=2)=0,98$}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $P(Y=2)=0,16$}.
\end{tabularx}

{\footnotesize $Y$ suit une loi de Bernoulli de paramètres (5~;~\np{0.49}) donc $p(Y=2)= \dbinom{5}{2} (\np{0.51})^3(\np{0.49})^2
\approx \np{0.318}$.}
\medskip 

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 1 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(17.5,15.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(17.5,15.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30]{->}(0,0)(0,0)(17.5,15.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,5)(1,7.4)(3,7.7)(4,9.9)(5,9)(6,9.6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{14}{x 0.7 mul 5.9 add}
\uput[ur](14.5,0){\footnotesize rang de la décennie}
\uput[ur](0,15){\footnotesize population en millions}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}