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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Polynésie ~\decofourright\\[5pt]11 septembre 2015}}

\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des quatre questions, une seule réponse proposée est correcte. \\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Une réponse multiple ne rapporte pas de
point.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'évolution du prix d'un produit ménager. Son prix a d'abord augmenté de 8,5\,\%
puis il a diminué de 3\,\%. Le taux d'évolution global du prix arrondi à 0,01\,\% est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{11,76\,\%}& \textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 5,5\,\%}& \textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{5,25\,\%}& \textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{5\,\%}\\
\end{tabularx}
{\footnotesize $\np{1.085}\times \np{0.97}-1\approx \np{0.05245}$}
\medskip

\item À la sortie d'un magasin, on estime que la proportion de clients ayant effectué un achat est de $0,29$. On considère un échantillon de $10$ clients choisis au hasard et de façon indépendante.

La probabilité arrondie à $0,01$ près que parmi ceux-ci, au plus quatre aient effectué un achat est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,09}& \textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{0,87}& \textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,13}& \textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,96}\\ 
\end{tabularx}
{\footnotesize $X\hookrightarrow \mathcal{B}(10~;~\np{0.29})\quad p(X\leqslant 4)\approx \np{0.8663}$}
\medskip
\end{enumerate}
{\footnotesize
Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 1~;~2,5]$ et dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Les tangentes à la courbe sont horizontales uniquement aux points d'abscisses $x = 0$ et $x= 2$.
}

\smallskip

\parbox{0.35\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] La fonction $f$ vérifie :
	\begin{enumerate}
		\item \psframebox[linewidth=0.05pt]{$f'(1) < 0$}
		
		{\footnotesize la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~2]}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(1)= 0$}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'( 1) = 1$}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(1 ) = - 5$}
 	\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Sur l'intervalle [0~;~2 ]
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'$ change de signe}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'$ s'annule une fois}
		\item \psframebox[linewidth=0.05pt]{$f'$ est négative ou nulle}
		
		{\footnotesize la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~2]}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'$ est décroissante}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.62\linewidth}{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.333,-2.5)(2.666,2.5)
\multido{\n=-1.333+0.333}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](\n,-2.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=-2.5+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](-1.333,\n)(2.666,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.333,-2.5)(2.666,2.5)
\uput[d](2.5,0){$x$}\uput[l](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{x 3 exp   x dup mul 3  mul  sub 2 add}
\uput[ur](0.666,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
{\footnotesize
Une société de hotline fait une enquête sur le niveau de satisfaction des personnes qui ont recours à leurs services par téléphone. Elle dispose de deux centres d'appel: un situé à Marseille, un autre situé à Lille.

L'enquête consiste à demander à chaque personne ayant téléphoné si elle est satisfaite ou non du
service que la hotline lui a proposé.

La société estime que 58\,\% des appels reçus l'ont été par le centre de Marseille.

De plus, parmi les appels reçus par le centre de Marseille, on constate un taux de 34\,\% de personnes
satisfaites ; alors que pour le centre de Lille, on constate un taux de 44\,\% de personnes satisfaites.

On choisit au hasard une personne ayant téléphoné. 

On considère les évènements suivants :

$M$ : \og la personne a téléphoné au centre de Marseille \fg.

$S$ : \og la personne est satisfaite du service proposé \fg.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Complétons l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}		
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\taput{\np{0.58}}}
	{\TR{$S$}\taput{\np{0.34}}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{\np{0.66}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{\np{0.42}}}	
	{\TR{$S$}\taput{\np{0.44}}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{\np{0.56}}
	}
}
\end{center}
	\item La probabilité que la personne ait téléphoné au centre de Marseille et soit satisfaite est notée $p(M\cap S)$.
	
	$p(M\cap S)=p(M)\times p_{M}(S)=\np{0.58}\times\np{0.34}=\np{0.1972}$.
		\item Calculons la probabilité que la personne ayant téléphoné soit satisfaite.
		
		$p(S)=p(M\cap S)+p\left(\overline{M}\cap S\right) = p(M)\times p_{M}(S)+p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(S)\\
		p(S)=\np{0.1972}+\np{0.42}\times\np{0.44}=\np{0.1972}+\np{0.1848}=\np{0.382}$.

Nous avons bien trouvé le résultat attendu.


 
	\end{enumerate}
\item Sachant que la personne ayant téléphoné a été satisfaite,  la probabilité que cette
personne ait téléphoné au centre de Lille est notée $p_{S}(\overline{M})$.

$p_{S}(\overline{M})=\dfrac{p\left(\overline{M}\cap S\right)}{p(S)}=\dfrac{\np{0.1848}}{\np{0.382}}\approx \np{0.484}$ à $0,001$ près.

 
\item On considère un échantillon de $500$~personnes choisies au hasard ayant téléphoné à l'un des
centres d'appel.
	
Déterminons un intervalle $\mathcal{I}$ de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de personnes satisfaites pour
cet échantillon. 

$\mathcal{I}=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[\np{0.382}-\dfrac{1}{\sqrt{500}}~;~\np{0.382}+\dfrac{1}{\sqrt{500}}~\right]=[\np{0.337}~;~\np{~0.427}]$
{\footnotesize\emph{ les bornes sont arrondies à $0,001$ près.}}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

{\footnotesize On considère que désormais le taux $S$ de satisfaction des personnes ayant téléphoné aux centres
d'appel suit une loi normale d'espérance $\mu = 38,2$ et d'écart-type $\sigma = 4,9$.

On arrondira les résultats à 0,01 près.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité que le taux $S$ de satisfaction soit compris entre 28,4\,\% et 48\,\%. 

 $ p\left(\np{28.4}\leqslant S\leqslant 48\right)\approx \np{0.95}$
\item Calculons la probabilité que le taux $S$ de satisfaction soit supérieur à 40\,\%. 

$p\left(S\geqslant 40\right)=\np{0.5}-p\left(\np{38.2}\leqslant S \leqslant 40\right)\approx \np{0.36}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne le montant du SMIC mensuel net au 1\up{er} septembre de chaque année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2010 			&2011 			&2012 			&2013\\ \hline
Montant en euros&\np{1053,24} 	&\np{1072,07} 	&\np{1118,29} 	&\np{1120,43}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux global d'évolution du SMIC mensuel net entre 2010 et 2013.

Le taux d'évolution $T$ est défini par $T=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$

$T=\dfrac{\np{1120.43}-\np{1053.24}}{\np{1053.24}}\approx \np{0.0638}$ arrondi à \np{0.06}
\item Déterminons le taux d'évolution annuel moyen sur la période 2010-2013.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque le SMIC a subi 3 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^3=\np{1.0638}$ par conséquent $t_m=\np{1.0638}^{\tfrac{1}{3}}-1\approx \np{0.0208}$ arrondi à \np{0.02}.

\item En prenant comme base 100 l'année 2010,  l'indice du SMIC mensuel net pour l'année 2013 est 

 $100\times 1,06=106$ arrondi à l'unité.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
{\footnotesize
On considère dans cette partie qu'à partir de 2013, le taux d'évolution annuel du SMIC net sera de 2,1\,\%.
 On modélise ainsi l'évolution du SMIC par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le montant en euros au 1\up{er} septembre de l'année $2013 + n$. Ainsi $u_0 = \np{1120,43}$.

On arrondira les résultats à $0,01$ près.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de \np{2.1}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.021}. 

Par conséquent $u_1=u_0\times \np{1.021}=\np{1120.43}\times \np{1.021}= $
$\np{1143,96}$ et 

$u_2 = u_1\times \np{1.021}=\np{1143.96}\times \np{1.021}=\np{1167,98}$.
\item  La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=\np{1120.43}$ et de raison \np{1.021}, nombre par lequel nous multiplions un élément de la suite pour obtenir le terme suivant. Le terme général de la suite est donc $u_n=\np{1120.43}\times \left(\np{1.021}\right)^n$.
\item Déterminons une estimation du montant du SMIC net au 1\up{er} septembre pour l'année 2020. En 2020 $n=7$, il en résulte $u_7=\np{1120.43}\times \left(\np{1.021}\right)^7\approx \np{1295.88}$.

Une estimation du SMIC au 1\up{er} septembre 2020 est d'environ \np{1295.88}~euros.
\end{enumerate}
{\footnotesize
On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{VARIABLES}\\
\hspace{0.2cm}$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\
\hspace{0.2cm}$u$ EST DU TYPE NOMBRE\\
\textbf{TRAITEMENT}\\
\hspace{0.2cm}$n$ PREND LA VALEUR $0$\\ 
\hspace{0.2cm}$u$ PREND LA VALEUR \np{1120,43}\\
\hspace{0.2cm}TANT QUE $u < \np{1400}$ FAIRE\\
\hspace{0.4cm}$u$ PREND LA VALEUR $u * 1,021$\\
\hspace{0.4cm}$n$ PREND LA VALEUR $n + 1$\\
\hspace{0.2cm}FIN TANT QUE\\
\hspace{0.2cm}AFFICHER $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\begin{enumerate}[resume]
\item Cet algorithme permet de calculer  le nombre nécessaire d'années   pour que le SMIC dépasse \np{1400}~euros.
\item Le résultat affiché par cet algorithme est 11. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Un audit est effectué auprès d'une collectivité locale afin de connaître l'évolution de son budget
concernant sa dépense pour l'équipement (véhicules, fournitures, \ldots).

Cette évolution est résumée dans le tableau suivant où la dépense est exprimée en centaine de
milliers d'euros :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\ \hline
Rang $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
Dépense $\left(y_i\right)$& 16,5 &11 &9,4 &6,1 &5,7 &4,6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{En annexe  à rendre avec votre copie}, on a représenté le nuage des points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.
}
\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, une équation réduite de la droite, notée $(d)$, d'ajustement
affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{2.25}x+\np{16.75}$.
{\footnotesize \emph{Les coefficients sont arrondis à $0,01$ près}.}
\end{enumerate}
Pour la suite, on utilisera comme équation de la droite $(d)$ : $y = - 2,2 x + 16,8$.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Cette droite est tracée dans le repère donné en annexe.
		\item À l'aide de cet ajustement, donnons une estimation de la dépense de la collectivité locale pour l'année 2015. En 2015, le rang de l'année est 7, par conséquent remplaçons $x$ par $7$ dans l'équation de la droite.
		
	$y = - 2,2 \times 7 + 16,8=\np{1.4}$.

Une estimation de la dépense de la collectivité locale pour l'année 2015 est, selon ce modèle, d'environ \np{140000}~euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 

\[f(x) = \dfrac{20x+21}{x^2 + 1}.\]

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est tracée sur le graphique en annexe.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On admet que $f'(x) = \dfrac{- 20x^2 - 42x + 20}{\left(x^2 + 1 \right)^2}$, pour tout nombre réel $x \in  [1~;~15]$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrons que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [1~;~15]. Pour ce faire, étudions le signe de $f'(x)$. Le dénominateur étant strictement positif, étudions alors le signe du numérateur. Celui-ci étant un trinôme du second degré, calculons le discriminant. 

$\Delta=(-42)^2-4\times (-20)\times 20)=\np{3364}=(58)^2$

Calculons maintenant les racines du trinôme : $x_1=\dfrac{42+58}{-40}=-\dfrac{5}{2}\qquad x_2=\dfrac{42-58}{-40}=\dfrac{2}{5}$.

Le signe du trinôme est celui de $a$ ($a=-20$) sur $]-\infty~,~x_1[ \cup]x_2~;~+\infty[$. $\dfrac{2}{5}<1$ par conséquent sur [1~;~15],  $f'(x)<0$. 

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Pour  tout $x$ appartenant à [1~;~15], $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle 

\item On choisit désormais la courbe $\mathcal{C}_f$ comme ajustement du nuage de points.

À l'aide de cet ajustement, donnons une estimation de la dépense de la collectivité locale pour
l'année 2015. Calculons $f(7)$. $f(7)=\dfrac{2\times 7+21}{7^2+1}= \np{3.22}$.

À l'aide de cet ajustement, une estimation de la dépense de la collectivité locale pour l'année 2015 est d'environ \np{322000}~euros.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.84cm,yunit=0.42cm,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,26)
\psgrid[gridlabels=0pt,griddots=8,subgriddiv=1](0,0)(13,26)
\multido{\n=0.5+1.0}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.9,-1)(13,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(12,25)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,16.5)(2,11)(3,9.4)(4,6.1)(5,5.7)(6,4.6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{1}{13}{20 x mul 21 add x dup mul 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=0.75pt,linecolor=violet]{1}{7.63}{x 2.2 neg mul 16.8 add}
\uput[l](7,1){(d)}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](12,1.9){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](12.9,0){$x$}\uput[l](0,25.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}