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%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\bigskip

Un fermier possède des pommiers.

Les pommes de taille standard sont vendues sur le marché, les autres servent à faire des compotes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère que le diamètre, exprimé en cm, d'une pomme produite par l'un des pommiers du
fermier suit la loi normale de moyenne \textmu = 6 et d'écart type \textsigma = 0,7.

Les pommes de taille standard, donc qui vont être vendues sur le marché, sont celles dont le diamètre
est compris entre \np[cm]{5,3} et \np[cm]{6,7}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'une pomme soit vendue au marché est $P(5,3\leqslant X \leqslant \np{6.7})$.

$P(5,3\leqslant X \leqslant \np{6.7})\approx \np{0.683}$.%  Arrondir le résultat au millième.

{\footnotesize\emph{Remarque} $P(5,3\leqslant X \leqslant \np{6.7})=P(\text{\textmu}-\text{\textsigma} \leqslant X\leqslant \text{\textmu}+\text{\textsigma})$}

\item La probabilité qu'une pomme serve à faire des compotes est la probabilité de l'événement contraire de l'événement: \og être vendue au marché\fg d'où $1-\np{0.683}=\np{0.317}$.

La probabilité qu'une pomme serve à faire des compotes est \np{0.317}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les pommes récoltées sont soit rouges, soit jaunes.

60\,\% des pommes récoltées sont rouges.

Parmi les pommes rouges, 80\,\% sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.

Parmi les pommes jaunes, 50\,\% sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.

On choisit une pomme au hasard parmi les pommes récoltées et on note:

\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement \og la pomme est rouge \fg
\item $J$ l'évènement \og la pomme est jaune \fg
\item $M$ l' évènement \og la pomme est vendue sur le marché \fg
\item $C$ l' évènement \og la pomme sert à faire des compotes \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'arbre de probabilités est complété sur celui fourni en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $P(R \cap M)$. $P(R\cap M)=P(R)\times P_{R}(M)=\np{0.6}\times \np{0.8}=\np{0.48}$.

 La probabilité qu'une pomme rouge soit mise sur le marché est de \np{0.48} soit un peu moins d'une pomme sur deux.
		\item Montrons  que la probabilité qu'une pomme soit vendue au marché est de 68\,\%.
		
		$R$ et $J$ forment une partition de l'univers.
		
$P(M) = P(R\cap M)+P(J\cap M)=P(R)\times P_{R}(M)+ P(J)\times P_{J}(M)$.

$P(M)=\np{0.60}\times \np{0.80}+\np{0.40}\times \np{0.50}=\np{0.68}$. 

Cela correspond bien à la probabilité cherchée.
		
		\item Le résultat obtenu au \textbf{b.} est cohérent avec celui obtenu à la question \textbf{1.} de la partie A puisque dans les deux cas, nous observons une probabilité d'environ \np{0.68}.
	\end{enumerate}
\item  Un client vient d'acheter une pomme sur le marché. 

La probabilité que cette pomme soit rouge est notée  $P_{M}(R)$. 
$P_{M}(R)=\dfrac{P(M\cap R)}{P(M)}=\dfrac{\np{0.48}}{\np{0.68}}\approx\np{0.706}$

%Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}  

\bigskip

En 2010, le maire d'une ville a fait comptabiliser le nombre de mégots ramassés dans la rue principale.

Sur l'ensemble de l'année, le nombre de mégots ramassés est de \np{20000}.

Souhaitant que ce nombre diminue fortement, le maire fait voter en conseil municipal une loi
instaurant une amende de $160$~\euro{} pour jet de mégot par terre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Des statisticiens ont prévu, sur une période de $10$ ans, une diminution grâce à cette amende du nombre
de mégots jetés par terre de $15$\,\% par an.

Sous cette hypothèse, pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le nombre de mégots jetés par terre en l'année $2010 + n$.

Ainsi, $u_0$ est le nombre de mégots jetés par terre en 2010. On a $u_0 = \np{20000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de $-0,15$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-0,15$ soit \np{0.85}.

 $u_1 = \np{20000}\times \np{0.85}=\np{17000}$. 

En 2011,selon ce modèle, le nombre de mégots jetés par terre fut de \np{17000}.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.85} et de premier terme $u_0 =\np{20000}$ puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{0.85}.
		\item %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$.

$u_n=\np{20000}\times \left(\np{0.85}\right)^n$.

		\item Le nombre de mégots qui, selon ce modèle, seraient jetés par terre en 2019 est $u_9$. 

\(u_9= \np{20000}\times \left(\np{0.85}\right)^9 \approx \np{4632}\).
		
% Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}
\item  Le programme ci-dessous calcule le rang de la première année au cours de laquelle le nombre de
mégots jetés par terre devient inférieur à \np{3000}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.42\linewidth}{|m{4cm}X|}\hline
$N \gets 0$&ligne 1\\
$U \gets \np{20000}$&ligne 2\\
Tant que $U \geqslant \np{3000}$&ligne 3\\
\quad $U \gets  \textcolor{violet}{\np{0.85}U}$&ligne 4\\
\quad $N \gets N + 1$&ligne 5\\
Fin du Tant que&ligne 6\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Complétons la ligne 4.
		\item La valeur de la variable $N$ lorsque ce programme s'arrête est 12.
		
		Exécutons l'algorithme. 
			
		\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$N$& 0 &1& $\dots$& 9& 10 &11& 12&13\\\hline
 U &\np{20000}&\np{17000}&$\cdots$&\np{4632}&\np{3937}&\np{3347}&\np{2844}&\\\hline
U>\np{3000}&Vrai&Vrai&$\cdots$&Vrai&Vrai&Vrai&Faux&\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les nombres de mégots qui ont réellement été ramassés dans la rue
principale entre 2010 et 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2010 	&2011 		&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang $x_i$ 		&0 		&1 			&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
Nombre de mégots
 ramassés $y_i$	&\np{20000} &\np{17384}&\np{14817}&\np{12569}&\np{10 721}&\np{9142}&\np{8458}&\np{7673} &\np{6691}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale
entre 2010 et 2018.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.
 
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{6691}-\np{20000}}{\np{20000}}\approx -\np{0.66545}$.

 Le taux global d’évolution du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018, exprimé en pourcentage et arrondi à 1\,\% est de 67\,\%.

		\item Calculons le taux d'évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale
entre 2010 et 2018.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^8$ 
 car le nombre de mégots ramassés dans la rue principale a subi 8 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^8=\dfrac{\np{6691}}{\np{20000}}\approx\np{0.33455}$,
 par conséquent $t_m=\np{0.33455}^{\tfrac{1}{8}}-1\approx -\np{0.1279}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel du nombre de mégots ramassés dans la rue principale
entre 2010 et 2018 en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche est  égal à $-\np{13}\,\%$. 

		\item En supposant que le taux d'évolution entre 2018 et 2019 est de $- 14$\,\%, calculons le
nombre de mégots ramassés dans la rue principale en 2019.
 
À un taux d'évolution de $-\np{0.14}$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-0,14$ soit $\np{0.86}$.

Il serait ramassé, selon cette hypothèse, \np{5754} mégots, en effet, $\np{6691}\times \np{0.86}\approx \np{5754}$.


	\end{enumerate}
\item Le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ a été représenté en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{1642}x+\np{18507}$. Les coefficients sont arrondis à l'entier.
		\item On prend désormais comme droite d'ajustement la droite $d$ d'équation :
$y = - \np{1600}x + \np{18500}$.

 Cette droite est tracée sur l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
		\item En supposant que cet ajustement demeure valable jusqu'en 2020, estimons le
nombre de mégots ramassés en 2020.

 En remplaçant $x$ par 10, rang de 2020, dans l'équation de la droite, nous obtenons :

$y = - \np{1600}\times  10 + \np{18500}=\np{2500}$.
		\item À l'aide du graphique, à partir de 2020  le nombre de mégots devrait être inférieur à \np{3000}. Nous lisons pour abscisse du point de la droite d'ordonnée \np{3000} environ \np{9.67}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\bigskip

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0~;~22] par :

\[f(x) = 0,05x^2 - 2x + 20,35\quad  \text{et}\quad  g(x) =  0,7x + 3,9.\]

Les deux fonctions sont représentées ci-dessous.


\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.1pt](0,0)(23,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(23,22)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{22}{x dup mul 0.05 mul 2 x mul sub 20.35 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{22}{0.7 x mul 3.9 add}
\def\Func{x dup mul 0.05 mul 2 x mul sub 20.35 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 3 def \Func)(!3 /x 3 def \Func)(3,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=orange,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 7 def \Func)(!7 /x 7 def \Func)(7,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, avec la précision permise par celui-ci, l'image de 3 par la fonction $f$ est \np{14.8}.
\item À l'aide du graphique,  le point d'intersection des deux courbes a pour coordonnées (7~;~\np{8.8}).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : calculs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que l'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à l'équation suivante 
		
		\[(E) :\qquad  0,05x^2 - 2,7x + 16,45 = 0.\]
		
		Formons l'équation aux abscisses des points d'intersection des deux courbes 
		
		$\np{0.05}x^2 -2x+\np{20.35}=\np{0.7}x+\np{3.9}$
	
		En regroupant dans le premier membre, nous obtenons $\np{0.05}x^2 -2x-\np{0.7}x+\np{20.35}-\np{3.9}=0$
		
		soit en réduisant  $\np{0.05}x^2 -\np{2.7}x+\np{16.45}=0$
		
		Par conséquent, $f(x)=g(x)$ si et seulement si  $\np{0.05}x^2 -\np{2.7}x+\np{16.45}=0$
		\item Résolvons l'équation $(E)$.
		$\np{0.05}x^2 -\np{2.7}x+\np{16.45}$ est un trinôme du second degré 
		
		 Calculons le discriminant 

 $\Delta= (\np{2.7})^2-4\times(\np{0.05})\times(\np{16.45})=4=2^2$.
		
		$\Delta>0$, le trinôme a deux racines distinctes 
		
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\dfrac{\np{2.7}-2}{\np{0.1}}=\dfrac{\np{0.7}}{\np{0.1}}=7 \quad  x_2=\dfrac{\np{4.7}}{\np{0.1}}=47$  d'où 

L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\left\{7\right\}$, $f$ et $g$ n'étant définies que sur [0~;~22].		
		\item  Déterminons les coordonnées du point d'intersection des deux courbes sur l'intervalle [0~;~22].

 $g(7)=\np{0.7}\times 7+\np{3.9}=\np{8.8}$.	Les coordonnées du point d'intersection sont $(7~;~\np{~8.8})$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons  la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. $f'(x)= \np{0.05}\times(2x)-2= 0,1x - 2$ pour tout $x$ appartenant à [0~;~22].
		\item Étudions le signe de la dérivée $f'$ sur l'intervalle [0~;~22].
		
		Sur $\R\quad  \np{0.1}\  x-2>0\iff x >20$. Il en résulte si $x\in[0~;~20[, \ f'(x)<0$ et si $x\in]20~;~22],\ f'(x)>0$.
		\item Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~22].
		
		Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~20[,\: f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]20~;~22],\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.




Dressons le tableau de variation de $f$ sur [0~;~22]

	  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$20$}    \uput[u](7.73,2.45){$22$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.51,1.45){$\np{20.35}$}\uput[u](7.52,1.45){$\np{0.55}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\uput[d](4.5,0.5){$\np{0.35}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\bigskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
Une réponse juste rapporte $1$ point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $7$.

Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n$ dépasse $50$ est  :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{5} &\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{6 }&\textbf{d.~~}\psframebox{7}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = \dfrac{3x}{x+1}$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 3x$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 3x - \dfrac{3}{2}$}&\textbf{c.~~} \psframebox{$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}$}&\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4}$}.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Afin d'estimer la proportion d'adolescents français qui possèdent un smartphone, on interroge les
\np{1024} élèves d'un lycée. $840$ élèves répondent qu'ils possèdent un smartphone.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion d'adolescents français
qui possèdent un smartphone est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[0,820~;~0,822]} &\textbf{b.~~} \psframebox{[0,789~;~0,852]} &\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[0,819~;~0,821]} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ [0,919~;~0,981]}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Pendant une période de soldes, le prix d'une tablette a subi deux démarques successives:
une première baisse de 10\,\% puis une autre de 15\,\% pour afficher un prix final de 137,70~\euro.
Le prix de cette tablette, en euros, avant le début des soldes était de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$105$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $142$ }&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $174$ }&\textbf{d.~~}\psframebox{ $180$}.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{ANNEXE 1 Exercice 1}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=1.5pt,labelsep=0.05pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~} \taput{\np{0.6}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.8}}
	\TR{$C$} \tbput{\np{0.2}}
	}
\pstree{\TR{$J$~~} \tbput{\np{0.4}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.5}}
	\TR{$C$} \tbput{\np{0.5}}
	}	
}

\vspace{2cm}
\textbf{ANNEXE 2 Exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(10.5,24000)
\multido{\n=0.0000+0.3333}{32}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,23000)}
\multido{\n=0+1000}{24}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(10.5,23000)
\uput[r](0,23500){Nombre de mégots}\uput[d](9.75,-800){Rang de l'année}
\uput[d](10.5,-300){$x$} \uput[l](0,23000){$y$}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=red,dotscale=2](0,20000)(1,17384)(2,14817)(3,12569)(4,10721)(5,9142)(6,8458)(7,7673)(8,6691)
\psset{arrowscale=1.8}
\def\Func{x 1600 neg mul 18500 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{10}{\Func}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 9.6875 def \Func)(!9.6875 /x 9.6875 def \Func)(9.6875,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}