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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie~\decofourright\\[4pt]  \hspace{1em} 4 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.35cm}
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\emph{Pour chacune des quatre questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
}
\begin{enumerate}
\item Le prix d'un article vendu dans un magasin a augmenté de 30\,\% durant les 3 derniers mois.

Le taux d'évolution mensuel moyen est, à 0,01\,\% près :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox{ $9,14\,\%$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$10\,\%$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$11,21\,\%$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $12,45\,\%$}.
\end{tabularx}

{\footnotesize $t_m=1,3^{1/3}-1$}
\item Lors d'une période de promotion, le prix d'un produit ménager a subi deux baisses de 12\,\%
consécutives. Le fabriquant désire lui appliquer une hausse pour revenir au prix initial avant
la période de promotion. Cette hausse doit être :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{de $24\,\%$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{de $28,45\,\%$}&\textbf{c.~~}\psframebox{de $ 29,13\,\%$}& \textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{supérieure à $30\,\%$}.
\end{tabularx}
 
 
 {\footnotesize $(1-0,12)^2(1+t)=1$ d'où $t=0,2913$}
\item Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~8]$.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c p{0.5cm}c p{0.5cm}c p{0.5cm}c|}
\hline
$x$ &$-5$& &$-2,5$& &4& &8\\\hline
&&&1&&&&4\\
$f(x)$&&$\nearrow$&&$\searrow$&&$\nearrow$&\\
&$-$2&&&&$-1$&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $f'(-2,5)=1$} &\textbf{b.~~}\psframebox{ $f'(-1)< 0$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(-1)=4$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $f'(0)=2$}.
\end{tabularx}

{\footnotesize la fonction est décroissante sur [-2,5~;~4] $-1$ appartient à cet intervalle.} 
\item  Une chaîne d'hôtels internationale annonce un taux de remplissage de ses chambres de
74,8\,\% pour l'année 2015 dans le monde. Cette année là, cette chaîne possédait 850
chambres en France.

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de remplissage des chambres en France
pour 2015 est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[74,80~ ;~74,84 ]$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[0,747~ ;~0,749]$}&\textbf{c.~~}\psframebox{$[0,713~ ;~0,783 ]$}& \textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[0,715~ ;~0,780 ]$}.
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.35cm}

{\footnotesize
Le maire d'une ville a mis en place une politique pour réduire les incivilités sur les voies publiques de sa commune.

Un bilan a été établi pour comptabiliser le nombre d'incivilités durant les 6 dernières années et ces données sont résumées dans le tableau suivant :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}}
\hline
Année 						&2011	&2012	&2013 	&2014	&2015	&2016 \\\hline
Rang de l'année $x_i$		&0		&1		&2 		&3		&4 		&5\\\hline
Nombre d'incivilités $y_i$	&857	&810	&720 	&604	&375 	&273\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique de \textbf{l’annexe à rendre avec
la copie}.
}
\begin{enumerate}
\item  Le maire annonce à ses concitoyens que sa politique de lutte contre les incivilités a permis de
réduire leur nombre de plus de 60\,\% entre 2011 et 2015.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$\mathcal{T}=\dfrac{375-857}{857}\approx -\np{0.56247}$.

Il n'a pas  raison puisque la baisse est d'environ 56\,\%.
\item À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du
nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés est 

$y= - \np{124.03}x + \np{916.57}$, les coefficients étant arrondis à $0,01$ près.

\end{enumerate}
Pour la suite, on prendra comme ajustement affine la droite $D$ d'équation $y=-124 x+ 917$.
\begin{enumerate}[resume]
\item La droite $D$ est  tracée sur la figure donnée en annexe.
\item À l’aide de cet ajustement, estimons le nombre d'incivilités
 en 2018. En 2018 $x = 7$.  En remplaçant $x$ par 7 dans l'équation de la droite, nous obtenons :
 $y = - 124\times 7 + 917 = 49$. 

Selon ce modèle une estimation du nombre d'incivilités  prévues en 2018 est 49.

\end{enumerate}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)}  

\vspace{0.35cm}

\textbf{Partie A }

\medskip
{\footnotesize
Un centre d'appel téléphonique propose ses services pour réaliser un démarchage par téléphone afin de vendre des offres d'abonnement à la télévision par internet. Dans ce centre sont employés deux types de collaborateurs : des expérimentés et des débutants.

La proportion des débutants est de 60\,\%. On constate que

\begin{itemize}
\item  12\,\% des personnes contactées par un collaborateur débutant se déclarent intéressées
 par les offres d'abonnement,
\item 21\,\% des personnes contactées par un collaborateur expérimenté se déclarent intéressées par
les offres d'abonnement.
\end{itemize}

On choisit au hasard le dossier d'une personne contactée par le centre d'appel et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $D$ : \og la personne est contactée par un débutant\fg
\item $I$ : \og la personne contactée se déclare intéressée par les offres d'abonnement\fg.
\end{itemize}
On note $\overline{D}$ et $\overline{I}$ les évènements contraires.
}
\begin{enumerate}
\item  Complétons l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\np{0.60}}}
	  { 
		  \TR{$I$}\taput{$\np{0.12}$}
		  \TR{$\overline{I}$}\tbput{$\np{0.88}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.4}$}}
	  {
		  \TR{$I$}\taput{$\np{0.21}$}
		  \TR{$\overline{I}$}\tbput{$\np{0.79}$}
	  }	
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $p(D\cap I)=p(D)\times p_{D}(I)=\np{0.6}\times\np{0.12}=\np{0.72}$ .
		\item La probabilité que la personne se déclare intéressée par les offres d'abonnement est $p(I)$.

$P(I) = p(D)\times p_{D}(I) + p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}(I)=\np{0.072}+\np{0.4}\times \np{0.21}=\np{0.156}$.

La probabilité que la personne se déclare intéressée par les offres d'abonnement est de 0,156.	\end{enumerate}
\item  Sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement,
 la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté  est notée $p_{I}\left(\overline{D}\right)$.

$p_{I}\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(I\cap \overline{D}\right)}{p(I)}=\dfrac{\np{0.21}\times\np{0.4}}{\np{0.156}}\approx\np{0.538}$

Sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté à 0,001 près est $\np{0.538}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On modélise le nombre de personnes contactées en une semaine par ce centre d'appel par une
variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance \np{9000} et d'écart-type 450.

\begin{enumerate}
\item  Déterminons la probabilité que moins de \np{9500} personnes soient contactées en une semaine.

À l'aide d'une calculatrice, $p(X<\np{9500})\approx \np{0.8667}$.
\item  $P(\np{8100}< X < \np{9900})\approx \np{0.954}$.

{\footnotesize \emph{Remarque :} nous pouvons constater  que $p(\np{8100}<X<\np{9900})=p(\text{\textmu} - 2\sigma<X<\text{\textmu}+2\sigma)$ }
\item L'objectif est de contacter au moins \np{8750} personnes en une semaine. Calculons 

$p(X>\np{8750})$.

$p(X>\np{8750})\approx \np{0.711}<\np{0.75}$.  Par conséquent, il y a moins de  3 chances sur 4 d'atteindre cet objectif. 
\end{enumerate}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (6 points)}  

\vspace{0.35cm}

{\footnotesize
Une entreprise qui connaît des difficultés économiques souhaite réaliser des prévisions de son
chiffre d'affaires mensuel pour l'année 2018.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize 
On estime que le chiffre d'affaires mensuel sera de 35 millions d'euros en janvier 2018 et que celui-ci diminuera chaque mois de 18\,\%.}
{\footnotesize
On définit la suite $\left(c_n\right)$ en notant $c_n$ le chiffre d'affaires exprimé en millions d'euros pour le $n$-ième mois de l'année 2018 ; on a ainsi $c_1=35$.
}
\begin{enumerate}
\item  À une baisse de 18\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.18}=\np{0.82}$.

$c_2=35\times  \np{0.82}=\np{28.7}$ et  $c_3 = \np{28.7}\times \np{0.82} = \np{23.534}$. Nous avons bien 23,5 comme  valeur approchée  de $c_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.82} et de premier terme 35.
		\item La valeur du chiffre d'affaires, en millions, pour le mois de décembre 2018 est $c_{12}$.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est 

$u_n=u_1q^{n-1}$.

 $c_{12}=35\times \np{0.82}^{11}\approx \np{3.94}$.

La valeur du chiffre d'affaires pour le mois de décembre 2018 est d'environ \np{3.94} millions.
	\end{enumerate}
\item Pour déterminer au cours de quel mois le chiffre d'affaires mensuel sera  pour la première fois inférieur à $5$~millions d'euros, résolvons $c_n < 5$. Pour ce faire, nous allons utiliser l'algorithme décrit à la question \textbf{4.}, traduit dans le langage machine.
Nous obtenons $N = 11$. 

Au  cours du mois de novembre la valeur du chiffre d'affaires sera inférieur à $5$ millions d'euros.

\item

\mbox{}

\smallskip
\begin{tabular}{l p{1cm}l}
\begin{minipage}[]{4cm}
On considère l'algorithme ci-contre : complétons cet
algorithme afin qu'il réponde à
la question \textbf{3.} précédente.

\end{minipage}
				&	&
\begin{minipage}[]{9.5cm}
\begin{tabular}{|cp{0.51pt}l|}
\hline
\textbf{Variables:}& &$U$ nombre réel\\
				&	& $N$ nombre entier\\
\textbf{Traitement:}& &$U$ prend la valeur 35\\
				&	& $N$ prend la valeur 1\\
				&	&TANT QUE $ U \geqslant 5$\\
				&	& $U$ prend la valeur $U\times \np{0.82}$ \\
				&	&$N$ prend la valeur $N+1$\\
				&	&FIN TANT QUE\\
\textbf{Sortie:}&	& AFFICHER N \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0.35cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Cette entreprise a la possibilité de bénéficier d'une aide de l'\'Etat.

Avec cette aide, on modélise le chiffre d'affaires mensuel en millions d'euros par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par $f (x) = \dfrac{15x + 20}{x}$.

Ainsi , $f(1)$ désigne le chiffre d'affaires du mois de janvier, $f(2)$ désigne le chiffre d'affaires du mois de février, etc.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons l'expression de $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

$f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ par conséquent $f'=\frac{u'v - v'u}{v^2}$

$u(x) = 15 x + 20 \quad u'(x) = 15 \qquad v(x) = x \quad v'(x) = 1 $ d'où  $f'(x) = \dfrac{15 x-(15x + 20)}{x^2} = -\dfrac{20}{x^2}$

Sur l'intervalle [1~;~12],  $f'(x) < 0$ comme quotient d'un nombre réel strictement négatif et d'un nombre réel strictement positif.

Nous pouvons en déduire que la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle .
\item Avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à $15$ millions d'euros
durant l'année 2018.En effet sur [1~;~12] $f(x)-15=\dfrac{20}{x}$ or sur [1~;~12] $\dfrac{20}{x}>0$ par conséquent $f(x)-15>0$ ce qui entraîne $f(x)>15$.
\end{enumerate}
 
\newpage 

\begin{center}
\textbf{Annexe \textsc{Exercice} 2 à rendre avec la copie}
\end{center}

\rotatebox{-90}{
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}
\end{document}