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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Pondichéry 17 avril 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne le revenu disponible brut (RDB)
des ménages et l'évolution de leur pouvoir d'achat en France de 2010 à 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\centering A							&B		&C		&D		&E\\ \hline
1	& Année 					&2010	&2011	&2012	&2013\\ \hline
2	& Rang de l'année : $x_i$	& 1		&2		&3		&4\\ \hline
3	& RDB en milliards d'euros : $y_i$&\np{1285,40}&\np{1311,40}&\np{1318,10}& \np{1326,30}\\ \hline
4	&Taux d'évolution du RDB, en \%, arrondi à 0,01\,\%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} 	&2,02 	&0,51	&\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source: INSEE}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.
}
\medskip

\textbf{Partie A : taux d'évolution}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La cellule E4 est au format pourcentage. Une formule que nous pouvons entrer dans E4 pour calculer le taux d'évolution du RDB en pourcentage de 2012 à 2013 est:		
		=(E\$3$-$D\$3)/D\$3. 

{\footnotesize \emph{remarque :} le \$ n'est pas indispensable.} 
		
		\item Calculons le taux d'évolution du RDB en pourcentage de 2012 à 2013. En appliquent la relation précédente, $t=\dfrac{\np{1326.30}-\np{1318.10}}{\np{1318.10}}\approx \np{0.00622}$. Le taux d'évolution du RDB  arrondi à  0,01\,\% est d'environ \np{0.62}\,\%.
		

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux annuel moyen d'évolution du RDB entre 2010 et 2013.%, arrondi à 0,01\,\%, est égal à 1,05\,\%.
		
En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque le RDB a subi 3 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^3=\dfrac{\np{1326.30}}{\np{1285.40}}\approx\np{1.03181889}$ par conséquent $t_m=\np{1.03181889}^{\tfrac{1}{3}}-1\approx \np{0.010496}$.

Le taux annuel moyen d'évolution du RDB entre 2010 et 2013, arrondi à 0,01\,\%, est bien  égal à 1,05\,\%. 
		\item On suppose que le taux d'évolution du RDB de 2013 à 2014 est égal à 1,05\,\%.

Calculons le RDB pour l'année 2014.

À une hausse de \np{1.05}\,\% correspond un coefficient multiplicateur égal à \np{1.0105}.

$\np{1.0105}\times \np{1326.30}=\np{1340.22615}$.
 Le RDB pour  2014, arrondi au centième est de \np{1340.23}~milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés est 

$y=\np{12.94}x+\np{1277.95}$.
\item  La droite $\mathcal{D}$  est tracée dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\item Calculons le RDB prévu en 2014 selon ce modèle d'ajustement.

Le rang de l'année 2014 est 5, remplaçons $x$ par 5 dans l'équation de la droite.
 
$y=\np{12.94}\times 5+\np{1277.95}=\np{1342.65}$.

Le RDB pour l'année 2014  est estimé à \np{1342.65} milliards d'euros.

 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des deux prévisions}

\medskip

Une étude statistique suggère que le RDB des ménages en 2014 aurait été de \np{1340}~milliards
d'euros. Si on autorise une marge d'erreur de 1\,\%, les prévisions pour le RDB en 2014
obtenues en \textbf{partie A - 2. b.} et en \textbf{partie B - 3.} sont acceptables puisque les deux prévisions appartiennent à l'intervalle autorisé.

La marge d'erreur pouvait atteindre $1340\times \np{0.01}=\np{13.4}$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Deux coureurs cyclistes, Ugo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin
de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois. Leur objectif est de parcourir
chacun une distance totale de \np[km]{1500} pendant leur période d'entraînement de 20~semaines.

Ugo commence son entraînement en parcourant \np[km]{40} la première semaine et prévoit
d'augmenter cette distance de \np[km]{5} par semaine.

Vivien commence son entraînement en parcourant \np[km]{30} la première semaine et prévoit
d'augmenter cette distance de 10\,\% par semaine.

On note $u_n$ la distance, en kilomètres, parcourue par Ugo la $n$-ième semaine.

On note $v_n$ la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la $n$-ième semaine.

On a ainsi $u_1 = 40$ et $v_1 = 30$. 

Dans cet exercice, on étudie les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
}
\bigskip

\textbf{Partie A : l'entraînement d'Ugo}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines
d'entraînement c'est-à-dire $u_2$ et $u_3$. $u_2=40+5=45, \quad u_3=45+5=50$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique car chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 5. La raison est 5.
\item %Recopier l'algorithme ci-dessous et en 
Complétons les lignes (1) et (2) de façon à ce qu'il
affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la $n$-ième semaine d'entraînement.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X}
\textbf{Variables :}	& $u$ est un réel\\
						&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
\textbf{Entrée :}		& Saisir $n$\\
\textbf{Initialisation :}& $u$ prend la valeur 35 \hspace{1em}(1)\\
Traitement :			& Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
						&\hspace{0.5cm}$u$ prend la valeur $u+5$\hspace{1em} (2)\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $u$\\
\end{tabularx}
\end{center}
\emph {remarque} {\footnotesize puisque la boucle commence à 1 il faut donc qu'en sortie pour $n=1$ on obtienne 40, par conséquent il faut initier la valeur $u$ à 35 comme le montre la question suivante.}
\item Calculons $u_n$. 

Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1+(n-1)r$.

 $u_n=40+(n-1)\times 5=35+5n$.

Par conséquent pour tout $n \geqslant 1,\: u_n = 35 + 5n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : l'entraînement de Vivien}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
À une augmentation de 10\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.1}. Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{1.1} par conséquent  la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.1} et de premier terme $v_1=30$. %Justifier la réponse.
\item Calculons $v_n$.

Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est 

$u_n=u_1\times (q)^{n-1}$. 

$v_{n}=30\times(\np{1.1}^{n-1})$.
Pour tout $n \geqslant 1,\: v_n = 30 \times 1,1^{n-1}$.
\item Calculons $v_8$. $v_8=30\times \np{1.1}^{8-1}\approx \np{58.5}$. %On arrondira le résultat au dixième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des deux entraînements}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vivien est persuadé qu'il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a raison.

En dressant une table  des valeurs pour $u_n$ et $v_n$ , nous obtenons pour $n=15$, $u_{15}=110$ et $v_{15}=\np{113.9}$.

%On pourra utiliser les \textbf{parties A et B} pour justifier la réponse.
\item À la fin de la 17\up{e} semaine, les deux cyclistes se blessent. Ils décident alors de réduire leur entraînement. Ils ne feront plus que \np[km]{80} chacun par semaine à partir de la 18\up{e} semaine.

Calculons la distance totale parcourue pendant les dix-sept semaines :

En utilisant la calculatrice, nous montrons qu'Ugo aura parcouru \np[km]{1360} et Vivien \np[km]{1216.34}.

{\footnotesize Les formules de la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique  ou d'une suite géométrique ne sont plus au programme, par curiosité ancienne manière 
\begin{description}
\item[] Ugo : $u_1+u_2+\dots +u_{16}+u_{17}=\dfrac{17\times (40+120)}{2}=1360$ ;
\item[] Vivien : $v_1+v_2+\dots +v_{16}+v_{17}=30\times \dfrac{\np{1.1}^{17-1}}{\np{1.1}-1}\approx\np{1216.34}$.
\end{description}}
Durant les trois semaines restantes, ils parcourront $\np[km]{240}$. Ugo atteindra son objectif car \np{1360}+240=\np{1600} tandis que Vivien ne pourra l'atteindre \np{1216.34}+240=\np{1456.34}.

%Leur objectif sera-t-il atteint ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
On s'intéresse à la trajectoire d'un ballon de basketball lancé par un joueur faisant face au
panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.

Dans ce repère, l'axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la
base du panneau, l'unité sur les deux axes est le mètre. On suppose que la position initiale du
ballon se trouve au point J et que la position du panier se trouve au point P.

La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe $\mathcal{C}$ représentant une fonction $f$.

Les coordonnées du ballon sont donc $(x~;~f(x))$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude graphique}

En exploitant la figure de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}, répondons aux questions
suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item La hauteur du ballon lorsque $x = 0,5$ m est d'environ 3 mètres. Nous lisons l'ordonnée du point d'abscisse~\np{0.5}.
		\item Le ballon n'atteint pas  la hauteur de $5,5$ m car il n'y a pas de points d'intersection entre la courbe et la droite d'équation $y=\np{5.5}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~6] par $f(x) = - 0,4x^2 + 2,2x + 2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$. 
		
		$f'(x)=-\np{0.4}(2x)+\np{2.2}=-\np{0.8}x+\np{2.2}$.
		\item \'Etudions le signe de $f'(x)$. 
		
Sur $\R, \ -\np{0.8}x+\np{2.2}>0 \iff x<\dfrac{\np{2.2}}{\np{0.8}}\iff x<\np{2.75}$.

 Par conséquent si $x\in[0~;~\np{2.75}[, \ f'(x)>0$  et si $x\in]\np{2.75}~;~6], \ f'(x)<0)$.
 
 Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~\np{2.75}[, \ f'(x)>0$, par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ 

Sur $]\np{2.75}~;~6], \ f'(x)<0$, par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~6].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45){$\np{2.75}$}\uput[u](7.75,2.45){$6$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[dl](1.45,0.51){$2$}\uput[u](4.5,1.5){$\np{5.025}$}\uput[dr](7.2,0.55){$\np{0.8}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

		\item La hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer est de \np[m]{5.025}.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Modification du lancer}
{\footnotesize	
En réalité, le panneau, représenté par le segment [AB] dans la \textbf{figure de l'annexe à rendre avec la copie}, se trouve à une distance de 5,3~m du joueur. Le point A est à une hauteur
de 2,9~m et le point B est à une hauteur de 3,5~m.
	
Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le
panneau. Il effectue alors deux lancers successifs.
	
Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction $g$ définie sur
l'intervalle [0~;~6] par $g(x) = - 0,2x^2 + 1,2x + 2$.
	
Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction $h$ définie sur
l'intervalle [0~;~6] par $h(x) = - 0,3x2 + 1,8x + 2$.
}
Pour chacun de ces deux lancers, déterminons si le ballon rebondit ou non sur le panneau.

 La  hauteur  $g(\np{5.3})$  ou $h(\np{5.3})$ doit être comprise entre \np[m]{2.9} et \np[m]{3.5}. 
\begin{description}
\item[premier lancer] calculons $g(\np{5.3})$.

 $g(\np{5.3})=-\np{0.2}\times (\np{5.3})^2+\np{1.2}\times \np{5.3}+2 =\np{2.742}$. Le ballon ne rebondit pas sur le panneau.
\item[second lancer] calculons $h(\np{5.3})$.

 $h(\np{5.3})=-\np{0.3}\times (\np{5.3})^2+\np{1.8}\times \np{5.3}+2 =\np{3.113}$. Le ballon  rebondit sur le panneau.
\end{description}


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}.

\emph{Pour chacune des quatre questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte.}}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

Une urne contient 15 jetons rouges et 5 jetons bleus. 20\,\% des jetons rouges sont gagnants et
40\,\% des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l'urne. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'événement : \og Le jeton est rouge\fg.
\item[$\bullet~~$] $B$ l'événement : \og Le jeton est bleu \fg.
\item[$\bullet~~$] $G$ l'événement : \og Le jeton est gagnant\fg.
\end{itemize}

\medskip

La situation peut être modélisée par l'arbre de probabilité ci-dessous:
}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.01pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~}\taput{0,75}}
	{\TR{$G$}\taput{\np{0.2}}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{0,8}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{\np{0.25}}}
	{\TR{$G$}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\np{0.6}}
	}	
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le jeton soit bleu est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,75} &\psframebox[linewidth=0.05pt]{ 0,25} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,4} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,6}
\end{tabularx}
\medskip

\item $p(R \cap G) = $

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,05}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,45}&\psframebox[linewidth=0.05pt]{0,15}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,95}
\end{tabularx}
\medskip
\item La probabilité que le jeton soit gagnant est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,2}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,6}&\psframebox[linewidth=0.05pt]{0,25}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,75}
\end{tabularx}
\medskip

\item {\footnotesize Une machine fabrique plusieurs milliers de ces jetons par jour. On désigne par $X$ la
variable aléatoire qui, à chaque jeton, associe son diamètre en millimètres.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $20$ et d'écart-type $0,015$. Les jetons sont
acceptables si leurs diamètres appartiennent à l'intervalle [19,98~;~20,02].}

La probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production soit acceptable, arrondie à
$10^{-3}$, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
\psframebox[linewidth=0.05pt]{0,818}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$4,84 \times 10^{-4}$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,182} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0}
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{0.8cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(5.2,80)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(5.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1270,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(5.2,80)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](1,15.4)(2,41.4)(3,48.1)(4,56.3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=0.5pt,linecolor=blue]{0}{5.05}{x 12.94 mul 7.95 add}
\uput[d](5,70){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}

\vspace{3cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(7,6.2)
\multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](\n,0)(\n,6.2)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(0,0)(7,6.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2.2 x mul 2 add x dup mul 0.4 mul sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](0,2)(5,3)(5.3,2.9)(5.3,3.5)
\uput[dr](0,2){J}\uput[dl](5,3){P}\uput[r](5.3,2.9){A}\uput[r](5.3,3.5){B}
\uput[r](1.75,5){$\mathcal{C}$}
\uput[u](6,0){Distance en mètres}\uput[r](0,6.2){Hauteur en mètres}
\psline(5.3,2.9)(5.3,3.5)
\psset{arrowscale=2}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=0.55pt,linecolor=red]{0}{6}{5.5}
\def\Func{2.2 x mul 2 add x dup mul 0.4 mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=violet,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 0.5 def \Func)(!0.5 /x 0.5 def \Func)(0.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}