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%Tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{22 avril 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Pondichéry 22 avril 2016~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

{\footnotesize
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Le tableau ci-dessous donne l'émission moyenne de CO$_2$ (exprimée en grammes de CO$_2$ par
km) des voitures particulières neuves, immatriculées chaque année en France, entre 1995
et 2013.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.65cm}|*{10}{c|}}
\hline
Année& 1995& 2000& 2005& 2007& 2008& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013\\\hline
Rang de l'année : $x_i$& 0& 5 &10& 12& 13& 14& 15& 16& 17 &18\\\hline

Émission moyenne de CO$_2$ : $y_i$& 173& 162& 152& 149& 140& 133& 130& 127& 124& 117\\\hline

\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : ADEME}} 
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
}
\textbf{Partie A}

\smallskip
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté page \pageref{courbe} en \textbf{annexe à rendre
avec la copie}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $D$ qui réalise un
ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{3.08}x+\np{177.7}$.

 \emph{\footnotesize Les coefficients sont arrondis au centième.}

\item On décide de modéliser l'évolution de l'émission moyenne $y$ de CO$_2$ en fonction du
rang $x$ de l'année par la relation $y = - 3,1x + 177,7$.

On note $D$ la droite d'équation $y = - 3,1x + 177,7$.

	\begin{enumerate}
		\item  La droite $D$ est tracée dans le repère donné \textbf{en annexe à rendre avec la copie page} \pageref{courbe}.
		\item Le règlement européen du 10 mars 2014 fixe un objectif d'émissions moyennes d'au
maximum 95 grammes de CO$_2$ par km en 2020 pour les voitures particulières neuves.

Selon ce modèle, la France n'atteindra pas cet objectif. 

En 2020, le rang de l'année est 25, en remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=-\np{3.1}\times 25+\np{177.7}=\np{100.2}$. Ce résultat est supérieur à 95.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

À partir des données fournies dans le tableau:

\begin{enumerate}
\item  Calculons le taux global d'évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures
particulières neuves entre 1995 et 2013. 

Le taux d'évolution $t$  est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.		
		$T=\dfrac{117-173}{\np{173}}\approx-\np{0.3237}$.

 Le  taux d'évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures
particulières neuves entre 1995 et 2013 est à \np{0.1}\,\% près de $-\np{32.4}\,\%$.
 
\item Calculons le taux moyen annuel d'évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures
particulières neuves entre 1995 et 2013. 

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global $(1+T)$ est aussi $(1+t_m)^{18}$ puisque les émissions moyennes ont subi 18 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{18}=\np{0.6763}$ par conséquent $t_m=\np{0.6763}^{\tfrac{1}{18}}-1\approx -\np{0.021494}$.

Le taux moyen annuel d'évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures
particulières neuves entre 1995 et 2013 a baissé chaque année en moyenne de $\np{2.1}\,\%$.
%Exprimer le résultat en pourcentage et arrondir à 0,1\,\%.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

Dans cette partie, on se propose de modéliser, par une suite géométrique, l'évolution de
l'émission moyenne de CO$_2$ (exprimée en grammes de CO$_2$ par km) des voitures
particulières neuves immatriculées chaque année en France. On considère que celle-ci
diminue de 2,1\,\% par an à partir de 2013.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'émission moyenne de CO$_2$ des voitures
particulières neuves immatriculées dans l'année en France pour l'année 2013$ + n$. Ainsi
$u_0 = 117$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item   Montrons que $u_1 \approx  114,5$.

À un taux d'évolution $t$  correspond un coefficient multiplicateur $(1+t)$. Au taux d'évolution de $-\np{0.021}$ correspond le coefficient multiplicateur $1-\np{0.021}=\np{0.979}$. 

$u_1=117\times \np{0.979}\approx \np{114.5}$.
\item  $u_2=\np{114.5}\times \np{0.979}\approx \np{112.1}$. 
%\emph{On arrondira le résultat au dixième}.
\end{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.979} puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par la raison.
\item Exprimons $u_n$ en fonction de $n$.
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q $ est $u_n=u_0\times q^n$. 

$u_n=117\times \np{0.979}^n$.

\item Selon ce modèle, la France ne respectera pas l'objectif européen d'émissions
moyennes d'au maximum 95 grammes de CO$_2$ par km en 2020 pour les voitures particulières neuves.

En 2020, le rang de l'année est $7$, en calculant $u_7$ nous obtenons $u_7=117\times \np{0.979}^7 \approx\np{100.8}$.

Ce résultat est supérieur à 95.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize 
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

Dans le cadre d'une campagne de sensibilisation au tri des ordures ménagères, une
enquête a été menée auprès de \np{1500} habitants d'une ville, répartis de la manière suivante:

\begin{itemize}
\item[\textbullet] moins de 35 ans: 25\,\% ;
\item[\textbullet] entre 35 et 50 ans : 40\,\% ;
\item[\textbullet] plus de 50 ans : 35\,\%.
\end{itemize}

\smallskip

À la question: \og Triez-vous le papier ? \fg,

\begin{itemize}
\item[\textbullet] 80\,\% des moins de 35 ans ont répondu \og oui\fg,
\item[\textbullet] 70\,\% des personnes âgés de 35 à 50 ans ont répondu \og oui \fg,
\item[\textbullet] 60\,\% des personnes de plus de 50 ans ont répondu \og oui\fg.
\end{itemize}

}
\medskip 

\textbf{Partie A} 

\medskip
{\footnotesize
On interroge au hasard une personne parmi celles qui ont répondu à cette enquête. On
considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item[\textbullet] $M$ : \og la personne interrogée a un âge compris entre 35 et 50 ans\fg{} ;
\item[\textbullet] $S$ : \og la personne interrogée a plus de 50 ans \fg{} ;
\item[\textbullet] $T$ : \og la personne interrogée trie le papier \fg.
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé complétons l'arbre de probabilités ci-dessous :

\begin{center}
\scalebox{0.85}{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$J$~}\taput{$\np{0.25}$}}
	{\TR{$T$}\taput{\np{0.8}}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.2}}
	}
\pstree{\TR{$M$~}\taput{$\np{0.4}$}}
	{\TR{$T$}\taput{\np{0.7}}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.3}}
	}
\pstree {\TR{$S$~}\tbput{\np{0.35}}}
	{\TR{$T$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.4}}
	}
}
}
\end{center}

\medskip

\item \begin{enumerate}
\item   $S \cap T$ est l'évènement : \og la personne interrogée a plus de 50 ans et trie le papier\fg.
\item Calculons la probabilité de l'évènement $S \cap T$. $p(S\cap T)=p(S)\times p_{S}(T)=\np{0.35}\times \np{0.6}=\np{0.21}$.
\end{enumerate}

\item La probabilité de l'évènement: \og la personne interrogée a moins de 35 ans et
trie le papier \fg{} est notée $p(J\cap T)$. $p(J\cap T) = p(J)\times p_{J}(T) = \np{0.25} \times \np{0.8} = \np{0.2}$
\item  On note $p$ la probabilité que la personne interrogée trie le papier. Calculons $p$.

$p = p(J)\times p_{J}(T) + p(M)\times p_{M}(T) + p(S\cap T)$.

$p=\np{0.2} + \np{0.4}\times \np{0.7} + \np{0.21} = \np{0.41} + \np{0.28} = \np{0.69}$.

Nous obtenons bien la probabilité cherchée à savoir $p = 0,69$.
\item La probabilité que la personne interrogée ait moins de
35 ans sachant qu'elle trie le papier est notée $p_{T}(J)$. 

$p_{T}(J)=\dfrac{p(J\cap T)}{p(T)}=\dfrac{\np{0.2}}{\np{0.69}}\approx \np{0.2899}$

La probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans sachant qu'elle trie le papier est, arrondie au centième, $\np{0.29}$.

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on choisit au hasard 3 personnes parmi les \np{1500} interrogées. On
suppose que ce choix peut être assimilé à 3 tirages indépendants avec remise. On rappelle
que la probabilité $p$ qu'une personne interrogée trie le papier est égale à \np{0.69}.

Calculons la probabilité, arrondie au centième, que, parmi les 3 personnes interrogées, une
au moins trie le papier.

L'évènement contraire est : \og parmi ces trois personnes, aucune ne trie le papier\fg.

La probabilité de cet évènement est $(1-\np{0.69})^3\approx \np{0.0298}$. 

Il en résulte que la probabilité qu'au moins une personne trie le papier est $1-\np{0.0298}$ soit, arrondie au centième,  $\np{0.97}$. 
\item  On considère que l'échantillon des \np{1500} personnes interrogées est représentatif du
comportement face au tri des déchets des habitants de cette ville.

Sachant que $p = 0,69$, estimons à l'aide d'un intervalle de confiance, au niveau de confiance
de 95\,\%, la proportion des habitants de cette ville qui trient le papier.

$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\quad I=\left[\np{0.69}-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1500}}}~;~ \np{0.69}+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1500}}}\right]=[\np{0.664}~;~\np{0.716}]$

La proportion des habitants  de cette ville qui trient le papier peut être estimée entre \np{66.4}\,\% et \np{71.6}\,\% avec un niveau de confiance de 95\,\%.  
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~11] par :$f(x)= 0,11 x^2 - 0,66 x + 1,86.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. $f'(x)=\np{0.11}(2x)-\np{0.66}=\np{0.22}(x-3)$.

\item Étudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~11] 

Sur $\R,\ x-3>0 \iff x>3$ par conséquent si $x\in[1~;~3[,\quad f'(x)<0$ et si $x \in ]3~;~11],$ 

$f'(x) > 0$.

Étudions d'abord le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[1~;~3[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]3~;~11],\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons maintenant le tableau de variation de $f$ sur [1 ; 11].
 
\begin{center}
\scalebox{0.85}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](4.5,2.45) {$3$}    \uput[u](7.73,2.45){$11$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,1.5){$\np{1.31}$}\uput[u](7.32,1.5){$\np{7.91}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\uput[d](4.5,0.45){$\np{0.87}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\item  Le minimum de $f$ est \np{0.87}. Il est atteint pour la valeur 3.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
%\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne les ventes annuelles (en millions) de disques vinyles aux
États-Unis de 2004 à 2014.
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{2cm}|*{11}{c|}}
\hline
Année		&2004&2005	&2006	&2007	&2008	&2009	&2010	&2011	&2012	&2013	&2014\\\hline
Rang $x_i$  & 1	 & 2	& 3 	&4		& 5		& 6		& 7		& 8		& 9		& 10	& 11\\\hline
Ventes $y_i$&\np{1.2} &\np{0.9}& \np{0.9} &1& \np{1.9}& \np{2.5}& \np{2.8}& \np{3.6}& \np{4.6}& \np{6.1}&\np{9.2} \\\hline
\multicolumn{12}{r}{\emph{Source : MBW analysis/Nielsen Soundscan}}
\end{tabular}
\end{center}

On a représenté les points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ dans le repère de \textbf{l'annexe à
rendre avec la copie en page \pageref{courbe}}.

On décide de modéliser les ventes annuelles de vinyles par la fonction $f$.
}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Complétons, à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant. \emph{\footnotesize 
Les résultats sont arrondis au dixième.}
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2 	&3 	&4 	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11 \\\hline
$f(x)$	&\np{1.3}&1	&\np{0.9}&1	&\np{1.3}&\np{1.9}&\np{2.6}&\np{3.6}&\np{4.8}&\np{6.3}&\np{7.9}\\\hline
\end{tabularx}

\item La représentation graphique de la fonction $f$ est tracée dans le repère donné en
annexe.
\item Le modèle semble le plus éloigné de la réalité en 2014 mais en 2008 et 2009 le modèle est assez éloigné de la réalité.
\end{enumerate}
\item  Estimons le nombre de ventes de vinyles en 2016.

 Le rang est alors 13, $f(13)=\np{0.11}\times 13^2-\np{0.66}\times 13 +\np{1.86}= \np{11.87}$.

En 2016, nous pourrions estimer le nombre de ventes de vinyles à \np{11.87} millions si le modèle reste valable après 2014.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
Annexe à rendre avec la copie

\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}-- Partie A}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(29,100)
\multido{\n=0+2}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=90,Dy=10]{->}(0,0)(29,100)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,83)(5,72)(10,62)(12,59)(13,50)(14,43)(15,40)(16,37)(17,34)(18,27)
\uput[u](25,-14){\small Rang de l'année}
\uput[u](-2.4,45){\rotatebox{90}{\small Émission de CO$_2$ (en g/km)}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt]{0}{28}{x 3.1 neg mul 87.7 add}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice 3}-- Partie B}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(12,11)
\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,10)}
\multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(12.5,10.50)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,1.2)(2,0.9)(3,0.9)(4,1)(5,1.9)(6,2.5)(7,2.8)(8,3.6)(9,4.6)(10,6.1)(11,9.2)
\uput[u](11,-1.25){\small Rang de l'année}
\uput[u](-1.2,4){\rotatebox{90}{\small Ventes (en millions)}}
\psplot[plotpoints=800,linecolor=blue,linewidth=1pt]{0}{12}{x 2 exp 0.11 mul x  0.66 mul sub 1.86 add}
\end{pspicture}
\end{center} 
\label{courbe}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}



