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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé Jean-Claude Souque
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pdftitle = {Corrigé \hspace{0.5em}Centres étrangers - 13 juin 2019 },
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{centres étrangers\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{13 juin 2019}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Centres étrangers\footnote{Pondichéry}~\decofourright\\[5pt] 13 juin 2019 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}.

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{La réponse correcte à chacune des questions $1$ et $2$ rapporte un point et la réponse correcte à la
question $3$ rapporte $2$ points.}

\emph{Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\bigskip

Un zoologiste étudie l'évolution de la population d'une espèce animale dans un secteur géographique
délimité. Il a observé depuis 2010 que cette population diminue chaque année en moyenne de 5\,\%.

Le 1\up{er} mars 2018, la population compte \np{2 375} individus.

Le zoologiste émet l'hypothèse que cette baisse annuelle de 5\,\% va se poursuivre jusqu'en 2025.
}
\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'individus de la population au 1\up{er} mars 2022 est estimé, à la dizaine près, à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{1 840}} &\textbf{b.~~} \psframebox{\np{1 930}}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{2 040}}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \np{2 890}}.
\end{tabularx}
\medskip

\item Le nombre d'individus au 1\up{er} mars 2017 était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{2 300}$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\np{2 400}$}&\textbf{c.~~}\psframebox{$\np{2 500}$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\np{ 2 600}$}.
\end{tabularx}
\medskip

\item {\footnotesize Le zoologiste souhaite connaître l'année à partir de laquelle la population aura diminué de plus
de 25\,\% par rapport à sa valeur de 2018.

Parmi les quatre algorithmes suivants, celui pour lequel le contenu de la variable $n$ fournit, après
exécution, l'information souhaitée est :}

\vspace{0.5cm}

\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{
\framebox{
\begin{minipage}{3.7cm}
 $n  \leftarrow \np{2018}$\\
 $v  \leftarrow \np{2375}$\\
 Tant que $v \geqslant  \np{0.75} \times v$\\
 $v  \leftarrow v -\np{0.05} v$\\
 $n  \leftarrow n + 1$\\
Fin Tant que
\end{minipage}}}\hspace{3cm}
\textbf{b.~~}\psframebox{
\framebox{
\begin{minipage}[]{3.7cm}
$n  \leftarrow \np{2018}$\\
 $v \leftarrow \np{2375}$\\
 Tant que $v\geqslant \np{0.75} \times \np{2375}$\\
 $v  \leftarrow \np{0. 95} v$\\
 $n  \leftarrow n + 1$\\
Fin Tant que
\end{minipage}}}

\vspace{0.7cm}
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{
\framebox{
\begin{minipage}[]{3.7cm}

$n  \leftarrow \np{2018}$\\
$v \leftarrow \np{2375}$\\
Tant que $v \leqslant \np{0.75} \times \np{2375}$\\
$v  \leftarrow \np{0.95}v $\\
$n  \leftarrow n + 1$\\
Fin Tant que
\end{minipage}
}}
\hspace{2.89cm}
 \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{
 \framebox{
\begin{minipage}[]{3.7cm}
$n  \leftarrow \np{2018}$\\
 $v \leftarrow \np{2375}$\\
 Tant que $v \geqslant \np{0.75} \times \np{2375}$\\
 $v  \leftarrow v - \np{0.05}$\\
 $n \leftarrow n + 1$\\
Fin Tant que
\end{minipage}
}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

{\footnotesize
Une entreprise artisanale fabrique des tablettes de chocolat pâtissier pesant en moyenne 200 grammes.

Pour être commercialisable, une tablette doit peser entre 198 et 202 grammes.

Un contrôle de masse est effectué sur les tablettes fabriquées.

Celles qui ne sont pas commercialisables sont alors refondues.
}
\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
{\footnotesize
On modélise la masse d'une tablette (exprimée en gramme) par une variable aléatoire $X$ qui suit une
loi normale d'espérance \textmu = 200.

On sait que $P(198 \leqslant X \leqslant 200) = \np{0.34}$.
}

Calculons  la probabilité qu'une tablette soit commercialisable c'est-à-dire calculons $P(198\leqslant X\leqslant 202)$.


Par raison de symétrie, $P(200 \leqslant X \leqslant 202)=P(198 \leqslant X \leqslant 200)$.

Par conséquent $P(198 \leqslant X \leqslant 202)= 2\times \np{0.3}4=\np{0.68}$.

La probabilité qu'une tablette soit commercialisable est de 0,68.



\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
{\footnotesize
Afin d'améliorer la proportion de tablettes de chocolat commercialisables, le fabricant met en place
une nouvelle chaîne de production.

L'ancienne chaîne ne prend désormais en charge que 40\,\% de la production totale.

À l'issue de la fabrication, un nouveau contrôle de masse est effectué.

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] Parmi les tablettes produites par l'ancienne chaîne, 68\,\% sont commercialisables.
\item [$\bullet$]  Parmi les tablettes produites par la nouvelle chaîne, 90\,\% sont commercialisables.
\end{itemize}
On choisit, de façon équiprobable, une tablette dans l'ensemble de la production.

On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[]$A$ l'évènement : \og la tablette choisie est produite par l'ancienne chaîne\fg;
\item[]$N$ l'évènement : \og la tablette choisie est produite par la nouvelle chaîne \fg ;
\item[]$C$ l'évènement : \og la tablette choisie est commercialisable\fg.
\end{itemize}
}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Nous avons complété l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item La probabilité que la tablette choisie provienne de l'ancienne chaîne et soit commercialisable est notée $P(A \cap C)$.
$P(A\cap C)=P(A)\times P_{A}(C)=\np{0.4}\times\np{0.68}=\np{0.272}$
\item Pour affirmer qu'au moins 80\,\% de la production totale de tablettes est commercialisable, calculons cette probabilité.

$P(C)=P(A\cap C)+p(N\cap C)=\np{0.272}+\np{0.6}\times\np{0.9}=\np{0.812}$

Cette probabilité étant strictement supérieure à \np{0.8}, l'affirmation est vraie.

%Expliciter la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne l'évolution de la fréquentation
annuelle d'un parc de loisirs entre 2010 et 2017.

La plage de cellules C4:I4 est au \textbf{format pourcentage, arrondi au centième}.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{aliceblue}}c|m{4.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{aliceblue}&\centering A &B& C&D&E& F& G &H& I\\\hline
1& \centering{Année}& 2010 & 2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\\hline
2& Rang de l'année : $x_i$& 0& 1& 2& 3& 4 &5& 6&7\\\hline
3&Nombre de visiteurs :
$y_i$ (en million)&1,47 &1,49 &1,60 &1,74& 1,91 &2,10 &2,20& 2,26\\\hline
4&Taux d'évolution annuel & \cellcolor{aliceblue}&1,36\,\%&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip
\textbf{Partie A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Une formule qui, saisie dans la cellule C4, permet d'obtenir par recopie vers la droite les
taux d'évolution annuels successifs de la ligne 4 est : =(C\$3 $-$ B\$3)/B\$3.
\item Calculons, au centième près, le taux d'évolution global du nombre de visiteurs du parc entre les
années 2012 et 2015.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.
 $\mathcal{T}=\dfrac{\np{2.1}-\np{1.6}}{\np{1.6}}= \np{0.3125}$.

 Le taux global d’évolution du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 exprimé en pourcentage est de \np{31.25}\,\%.
\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque le nombre de visiteurs subi 3 évolutions durant cette période. 

$\left(1+t_m\right)^3=\dfrac{\np{2.1}}{\np{1.6}}=\np{1.3125}$ par conséquent $t_m=\np{1.3125}^{1/3}-1\approx \np{0.09487}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est  égal à \np{9.5}\,\%. 
% On donnera le résultat en pourcentage et arrondi au dixième.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère le nuage des points dont les coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ figurent dans le tableau, de 2010 à 2017.

\begin{enumerate}
\item  Pour ce nuage de points,  une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est, obtenue par la calculatrice, est $y=\np{0.128}x+\np{1.398}$. {\footnotesize \emph{Les coefficients sont arrondis au millième.}}
\end{enumerate}

Pour la suite de l'exercice, on prendra comme droite d'ajustement la droite d'équation :
\[y = \np{0.13}x + \np{1.40}\]
\begin{enumerate}[resume]
\item  Donnons, à l'aide de cet ajustement, une estimation du nombre de visiteurs du parc de loisirs pour
l'année 2019. En 2019 n=9. Remplaçons $x$ par 9 dans l'équation de la droite.$ y = \np{0.13}\times 9 + \np{1.40}=\np{2.57}$.

Selon ce modèle, une estimation du nombre de visiteurs du parc en 2019 sera d'environ \np{2.57} millions.
\item Grâce à ce modèle, estimons l'année à partir de laquelle la fréquentation annuelle atteindra au
moins \np{2750000} visiteurs. Pour ce faire, résolvons $\np{0.13}x + \np{1.40}\geqslant \np{2.75}$.

$\np{0.13}x + \np{1.40}\geqslant \np{2.75} \quad;\quad \np{0.13}x \geqslant \np{2.75}- \np{1.40}\quad;\quad x \geqslant \dfrac{\np{2.75}- \np{1.40}}{\np{0.13}}$

$\dfrac{\np{2.75}- \np{1.40}}{\np{0.13}}\approx \np{10.385}$. Nous prendrons donc $x=11$. L'année à partir de laquelle, selon ce modèle, la fréquentation annuelle atteindra au moins \np{2750000} visiteurs est 2021.
%Présenter la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip

{\footnotesize

Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.

Chaque jour, le volume d'engrais liquide fabriqué est compris entre \np[m^3]{5}  et \np[m^3]{60}.

Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d'euros) de cet engrais est modélisé par
la fonction $f$ définie sur l'intervalle [5~;~60] par :

\[f(x) = x - 15 + \dfrac{400}{x}\]

où $x$ est le volume quotidien d'engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.
La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous :
}
\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-10,-10)(80,80)
 \multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,78)}
\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,]{->}(0,0)(70,80)
\def\Func{x 15 sub 400 x div add }
 \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{\Func}
 \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 50 def \Func)(!50 /x 50 def \Func)(50,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<-]{<-}(10,0)(10,35)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<-]{<-}(40,0)(40,35)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,]{-}(0,35)(60,35)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet]{<->}(10,5)(40,5)
\uput[u](25,5){\tiny zone où le coût moyen est inférieur à \np{3500}}
 \uput[u](57,-10){\footnotesize Volume quotidien(en  m$^3$)}
\uput[d](58,58){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$}
\uput[u](-8,20){\rotatebox{90}{\footnotesize Coût moyen (en centaines d'euros} }
\uput[d](65,0){$x$}\uput[l](0,75){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{PARTIE A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Le coût moyen quotidien pour la production de \np[m^3]{50}  d'engrais est $f(50)$. 

$f(50)=50-15+\dfrac{400}{50}=35+8=43$, soit \np{4300}~\euro.
 
On lit également sur la représentation graphique de $f$ que l'image de 50 est environ 43 avec la même conclusion.
\item Quels volumes d'engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production
inférieur ou égal à \np{3 500}~\euro ? Pour ce faire, résolvons $f(x)\leqslant 35$.

$ x - 15 + \dfrac{400}{x}\leqslant 35 \quad;\quad x -50+\dfrac{400}{x}\leqslant 0 \quad;\quad \dfrac{x^2+50x+400}{x}\leqslant 0$ et enfin $x^2+50x+400 \leqslant 0$, car $x > 0$.

$x^2-50x+400$ est un trinôme du second degré. Calculons le discriminant. $\Delta=50^2-4\times 1\times 400=900$.

$\Delta >0$ le trinôme admet deux racines 

 $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$  soit $x_1=\dfrac{50-\sqrt{900}}{2}=10$. 
 $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ soit $x_2=\dfrac{50+\sqrt{900}}{2}=40$.
 
 
Il faut donc résoudre $(x - 10)(x - 40)\leqslant 0$.
 
On sait que $(x - 10)(x - 40)\geqslant 0$, sauf sur l'intervalle [10~;~40]
  
L'ensemble des solutions de l'inéquation sur l'intervalle [5~;~60] est [10~;~40]. 

L'entreprise, pour avoir des coûts moyens inférieurs à \np{3500}~\euro, doit fabriquer entre 10 et 40 m$^3$ d'engrais.
  
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [5~;~60]. On note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item  Montrons  que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60], $f'(x) =\dfrac{x^2 - 400}{x^2}$.

$f'(x)=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2 - 400}{x^2}$
\item Étudions le signe de $x^2-400$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60].

$x^2 - 400 = x^2 - 20^2 = (x + 20)(x - 20)$

Sur $[5~;~60]\quad  x + 20 > 0$
 
Sur $\R,\  x-20 > 0\iff x > 20$, par conséquent sur $[5~;~20[\ x-20 <0$ et sur $]20~;~60]\ x+20>0$.
 
Il en résulte aussi que  sur $[5~;~20[\ x^2-400 <0$ et sur $]20~;~60]\ x^2-400>0$.
\item Étudions les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~60].

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[5~;~20[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]20~;~60],\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

\item  Le coût moyen quotidien de production est minimal pour un volume d'engrais fabriqué de \np[m^3]{20}.

Ce coût moyen minimal est égal à \np{2500}~\euro.
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

À rendre avec la copie
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\np{0.4}$}}
	{
	\TR{$C$}\taput{$\np{0.68}$}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$\np{0.32}$}
	}
\pstree{\TR{$N$~}\tbput{$\np{0.6}$}}
	{\TR{$C$}\taput{$\np{0.9}$}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$\np{0.1}$}
	}
}
\end{center}
\end{document}