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%tapuscrit et corrigé Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies\\ du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Métropole septembre 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de
l'évènement $E$, et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_{F}(E)$ la probabilité
conditionnelle de $E$ sachant $F$.

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
}
\begin{enumerate}
\item  On considère l'arbre de probabilité ci-contre. 


\hspace{1.5em}
\begin{minipage}{8cm}

\textbf{Affirmation 1} : La probabilité conditionnelle
de B sachant A est égale à 0,2

vraie  car la somme des probabilités issues d'un même sommet est égale à 1

$\np{0.8}+\np{0.2}=1$
\vspace{3ex}

\textbf{Affirmation 2} : La probabilité de B est égale
à 0,5.

fausse car $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

$p(B)=\np{0.65}\times\np{0.2}+\np{0.35}\times\np{0.3}=\np{0.235}$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\np{0.65}$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{$\np{0.2}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\np{0.8}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$\np{0.35}$}}
	{\TR{$B$}\taput{$\np{0.3}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\np{0.7}$}
	}
}
\end{center} 
\end{minipage}

\item Un institut de sondage affirme que 56\,\% des Français écoutent de la musique classique, au moins de temps en temps.
On interroge 200 Français, et parmi eux 140 déclarent écouter de la musique classique
de temps en temps.

\hspace{1.85em}\textbf{Affirmation 3} : On peut rejeter, avec un risque d'erreur inférieur à 5\,\%, le résultat
donné par l'institut de sondage.

vraie : l'intervalle de confiance est $\left[\np{0.56}-\frac{1}{\sqrt{200}}~;~\np{0.56}+\frac{1}{\sqrt{200}}\right]=[\np{0.489}~;~\np{0.63}]$. La proportion $\frac{140}{200}$ soit 0.7 n'appartient pas à cet intervalle.

\item La courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance
\textmu = 100 et d'écart-type $\sigma = 20$ est donnée ci-dessous. La valeur de l'aire de la surface
grisée est de 0,242.

\begin{center}
\scalebox{0.5}{
\psset{xunit=0.065cm,yunit=200cm,arrowsize=5pt,labelFontSize=\scriptstyle, comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.003)(230,0.025)
  %\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
  \psaxes[Dx=20,Dy=0.005]{->}(0,0)(-1,0)(220,0.023)
  \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=100,sigma=20]{0}{200}
  \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=200]{0}{86}{x 100 20 GAUSS}
\psline[linewidth=0.1pt](86,0.0156127)(86,0)
}
\psline[linewidth=0.1pt](114,0)(114,0.0156127)
\psline[linewidth=0.1pt](100,0)(100,0.0199947)
\uput[d](86,-0.0005){\footnotesize $86$}\uput[d](114,-0.0005){\footnotesize $114$}
\end{pspicture} 
}
\end{center}

\hspace{1.85em}\textbf{Affirmation 4} : La probabilité que X soit comprise entre 86 et 114 est égale à 0,758.

fausse : $86=100-14$ et $114=100+14$. Vu la symétrie de la courbe $p(X \leqslant 86)=p(X\geqslant 114)$

 par conséquent $p(86\leqslant x\leqslant 114)=1-2\times \np{0.242}=\np{0.516}$.

\end{enumerate} 
\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
Les grands-parents d’Inès décident de lui ouvrir un compte épargne le 1\up{er} janvier 2016.

Une première banque leur propose un taux annuel de 1,5\,\%, à intérêts composés, pour un
dépôt initial de \np{2 000}\,\euro. On rappelle qu’un capital produit des intérêts composés si, à la fin de
chaque année, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux
intérêts.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le capital, exprimé en euro, disponible le 1\up{er} janvier de l’année
$2016 + n$.
Ainsi $u_0 = \np{2 000}$.

\begin{enumerate}
\item  À un taux d'évolution de   \np{1.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{\np{1.5}}{100}$ soit \np{1.015}.

$u_1=\np{2000}\times \np{1.015}=\np{2030}\qquad u_2=\np{2030}\times \np{1.015}=\np{2060.45}$.
%Vérifier que $u_1 = \np{2 030}$ et donner la valeur de $u_2$.
\item \begin{enumerate}
		\item  Il en résulte aussi que   $u_{n+1}=\np{1.015}u_n$.
		\item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre \np{1.015}, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.015} et de premier terme \np{2000}.
		\item 
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $ u_n=u_0q^n$.

 $u_n=\np{2000}\times\left(\np{1.015}\right)^{n}$.
%En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	   \end{enumerate}
\item  On considère l’algorithme ci–dessous :

{\footnotesize
\begin{tabular}{r|l}

\textbf{Variables} &$k$ est un nombre entier\\
          &$u$ est un nombre réel\\
          &\\
\textbf{Initialisation}& $k$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur \np{2 000}\\
&\\
\textbf{Traitement}& Tant que $u < \np{2 250}$\\
&Faire\\
& \hspace{1em} $u$ prend la valeur $u \times 1,015$\\
& \hspace{1em} $k$ prend la valeur $ k + 1$\\
& Fin Tant que\\
&\\
\textbf{Sortie}& Afficher $k$
\end{tabular}
}

	\begin{enumerate}
		\item La valeur en sortie de cet algorithme correspond au plus petit entier $k$  pour lequel le terme correspondant de la suite sera supérieur ou égal à \np{2250}
		\item À l’aide de la calculatrice,  cette valeur est 8. En effet $u_7\approx \np{2219.69} \quad u_8\approx \np{2252.99}$.
	\end{enumerate}
\item  Une autre banque propose aux grands parents d’Inès 32\,\euro{} d’intérêts simples annuels
pour un dépôt initial de \np{2 000}\,\euro. On rappelle qu’un capital produit des intérêts simples
si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital.


Considérons la suite $\left(v_n\right)$ modélisant ce nouveau placement. Nous avons $v_n=2000+32n$, la suite étant arithmétique puisque la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut 32. Nous cherchons $n$ de telle sorte que $v_n>u_n$. 

En utilisant la table de la calculatrice, nous obtenons $u_9\approx \np{2286.78} \quad v_9=\np{2288}$.

$u_{10}\approx \np{2321.08} \quad v_{10}=\np{2320}$.

Pendant dix ans, à partir de 2016, ce nouveau placement est plus avantageux que le précédent. Il l'est strictement du premier janvier 2017 jusqu'au premier janvier 2026.
% Justifier la réponse.

\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution de la population
française, de 2006 à 2014.

La ligne 4 est au format pourcentage.

\medskip

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.59cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
&\centering A& B &C& D& E &F& G& H& I& J\\
\hline
1& Année& 2006 &2007& 2008& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\
\hline
2& Rang de l’année : $x_i$& 0& 1& 2& 3& 4 &5& 6& 7& 8\\
\hline
3 & Population (en millier) : $y_i$ & \np{63 186}& \np{63 601}&\np{63 962} &\np{64 305}  &\np{64 613} &\np{64 933} &\np{65 241}& \np{65 921}& \\
\hline
4& Taux d’évolution entre deux années consécutives (en pourcentage)&\cellcolor{lightgray} &0,66\,\% & & 0,54\,\% & 0,48\,\% & 0,50\,\% & 0,47\,\% & 1,04\,\% & 0,42\,\% \\
\hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{Sources: INSEE et banque mondiale}}\\
\end{tabularx}
}

\smallskip

Le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i$) pour $i$ variant de 0 à 8, est donné en \textbf{annexe 1,
à rendre avec la copie}.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une formule qui, entrée en cellule C4, permet par recopie vers la droite d’obtenir
les taux d’évolution annuels successifs jusqu’en 2014 est \quad =(C\$3-B\$3)/B\$3.
\item En appliquant cette formule,  la valeur contenue dans la cellule D4 est \np{0.57}\,\% $\left((\np{63962}-\np{63601})/\np{63601}\right) $

et dans la cellule J3 : \np{66198} $\left((x-65921)/\np{65921}=\np{0.0042}\right)$.
\item  Calculons le taux d’évolution moyen annuel entre 2006 et 2014 de la population française.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{8}$ puisque l'effectif de la population française a subi 8 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{8}=\dfrac{\np{66198}}{\np{63186}}\approx\np{1.0476688}$ par conséquent $t_m=\np{1.0476688}^{\tfrac{1}{8}}-1\approx \np{0.005838}$.

Le taux annuel moyen d'évolution de la population française entre 2006  et 2014, arrondi à 0,01\,\%, est d'environ \np{0.58}\,\%. 

%On exprimera le résultat en pourcentage (arrondi à 0,01\,\%).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l’aide de la calculatrice,  une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{369.9}x+\np{63182.6}$, Les coefficients étant arrondis au dixième.
\item Pour estimer la population française dans les années à venir, on décide d’ajuster ce
nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 370 x + \np{63 183}$.

 Cette droite est tracée sur le graphique figurant en \textbf{annexe 1}.
\item Par lecture graphique,  une estimation de la population française en 2020 est\np{68400}. Nous lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 14.
% On fera apparaître les traits de construction sur le graphique de l’\textbf{annexe 1}.
\item Selon une étude, la population française dépassera les 70 millions en 2030.

En considérant que le modèle reste encore valable en 2030, la population serait alors en millier de \np{72063} soit environ un peu plus de 72 millions.

En effet en 2030 $x=24$ et $y=370\times 24+\np{63183}=\np{72063}$. Nous pouvons donc penser que cette estimation est réaliste.

%Que peut-on penser de cette estimation ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
Une entreprise peut produire quotidiennement entre 1 et 20 tonnes de peinture.

Le coût de production, en millier d'euros, de $x$ tonnes de peinture est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1 ; 20] par : $C(x) = 0,05 x^2 - 0,1 x + 2,45 $.

L’entreprise fixe le prix de vente d’une tonne de peinture à 670\,\euro.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
On a représenté, dans l’\textbf{annexe 2}, la courbe $\Gamma$  représentant le coût de production dans un
repère orthogonal du plan.}

\begin{enumerate}
\item   Le coût correspondant à une fabrication quotidienne de 9,5 tonnes de peinture est $C(\np{9.5})$ soit 

$0,05\times \np{9.5}^2 - 0,1\times \np{9.5} + 2,45=\np{6.0125}$. 

Le coût de fabrication de \np{9.5} tonnes de peinture s'élève à \np{6012.5}~\euro.
\item Déterminons la production quotidienne correspondant à un coût de fabrication de \np{16000}\euro. Pour ce faire, résolvons $0,05 x^2 - 0,1 x + 2,45=16$
ou  $x^2-2x-271=0$. Nous avons un trinôme du second degré, calculons $\Delta$.

$\Delta=(-2)^2-4\times (-271)=4+\np{1084}= \np{1088}$. $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines distinctes :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

$x_1=\dfrac{-(-2)-\sqrt{\np{1088}}}{2}= \dfrac{2-2\sqrt{272}}{2}=1-\sqrt{272}\approx -\np{15.49}~;\quad x_2=1+\sqrt{272}\approx \np{17.49}$.

Pour un coût de \np{16 000} euros, l'entreprise pourra fabriquer environ \np[t]{17.49} de peinture.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construisons, dans le repère de l’\textbf{annexe 2}, la courbe représentant la recette
			correspondant à la vente de $x$ tonnes de peinture, pour $x\in[1~;~20]$ c'est-à dire la droite d'équation $y=0,67x$ restreinte à l'intervalle [1~;~20].
		\item L’entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe représentant les recettes est \og au-dessus \fg{} de la courbe représentant les coûts.
		Par lecture graphique et avec la précision permise par celui-ci, l’ensemble des valeurs de la production quotidienne appartient à l'intervalle [\np{4.5}~;~\np{10.9}].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour une production de $x$ tonnes de peinture, on appelle coût unitaire, le coût $f(x)$, auquel
revient alors la production d’une tonne de peinture.

\begin{enumerate}
\item  Sachant que, pour tout $x \in [1~;~20],\  f(x)=\frac{C(x)}{x}$, vérifions que $f(x) = 0,05 x - 0,1 + \frac{2,45}{x}$.

$f(x)=\dfrac{0,05 x^2 - 0,1 x + 2,45}{x}=\dfrac{\np{0.05}x^2}{x}-\dfrac{\np{0.1}x}{x}+\dfrac{\np{2.45}}{x}=\np{0.05}x-\np{0.1}+\dfrac{\np{2.45}}{x}$. La relation est vraie.

\item On note $f'$ la dérivée de $f$.                                                                                                      

 $f'(x)=\np{0.05}(1)+\np{2.45}\times\dfrac{-1}{x^2}=\np{0.05}-\dfrac{\np{2.45}}{x^2}=\dfrac{\np{0.05}x^2-\np{2.45}}{x^2}=\dfrac{\np{0.05}(x^2-49)}{x^2}$

Nous avons montré que, pour tout réel $x$ de l’intervalle \mbox{[1 ; 20]},$f'(x)=\dfrac{0,05(x^2 - 49)}{x^2}$.

\item Déterminons le signe de $f'(x)$ pour $x\in[1~;~20]$

Nous pouvons écrire aussi $f'(x)=\dfrac{\np{0.05}(x+7)(x-7)}{x^2}$. Or sur [1~;~20] $\dfrac{\np{0.05}(x+7)}{x^2}>0$, par conséquent le signe de $f'(x)$ est celui de $x-7$.

Sur $\R$,  $x-7>0\iff x>7$. Par conséquent  si $x\in [1~;~7[,\ f'(x)<0$ et si $x \in ]7~;~20],\  f'(x)>0$

Étudions le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $[1~;~7[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $]7~;~20],\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Construisons le tableau de variation de $f$ sur [1 ; 20].
 
  \begin{center}
  \scalebox{0.5}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$7$}    \uput[u](7.73,2.45){$20$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$\np{2.4}$}\uput[u](7.32,1.45){$\np{1.0225}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.55)(7.3,1.5)
\uput[d](4.5,0.55){$\np{0.6}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

.
\item \begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ admet un minimum en $x=7$ par conséquent  la quantité de peinture que doit produire l’entreprise pour que le coût unitaire
		soit minimal est de 7 tonnes.
		\item  Ce coût unitaire minimal s'élève en millier d'euros à \np{0.6} par conséquent le coût unitaire minimal est de 600\,\euro.
		\item   Le bénéfice réalisé par l’entreprise est de 670-600 soit 70 \euro, pour chaque tonne fabriquée dans ces conditions. 
		Le bénéfice réalisé lors de la fabrication des sept tonnes est $7\times 70$ soit 490\,\euro.
		\end{enumerate}
\item La valeur trouvée à la question \textbf{4.~ c.} n'est pas  le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser. 

Le bénéfice  est $\np{0.67}-(0,05 x^2 - 0,1 x + 2,45)$ soit $-\np{0.05}x^2+\np{0.77}x-\np{2.45}$.

En étudiant la fonction $B$ définie sur [1~;~20] par $ x \mapsto -\np{0.05}x^2+\np{0.77}x-\np{2.45}$, nous pouvons montrer que le bénéfice maximal est obtenu pour une fabrication de \np[t]{7.7}. Le bénéfice maximal en millier d'euros est $B(\np{7.7})$ soit  \np{514.5}\,\euro.
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\medskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} - Partie B}  

\begin{center}
\psset{xunit=1.125cm,yunit=0.002cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-300)(15,6000)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,5500)}
\multido{\n=0+250}{23}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=63000,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(14.5,5700)
\psdots[dotstyle=Add,dotangle=45,dotscale=2.5,linecolor=blue](0,186)(1,601)(2,962)(3,1305)(4,1613)(5,1933)(6,2241)(7,2921)(8,3198)
\uput[d](7,-250){\footnotesize Rang de l'année}\uput[r](0,5800){\footnotesize Population (en millier)}
\psset{arrowscale=2}
 \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{x 370  mul 183 add}
 \def\Func{x 370 mul 183 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 14 def \Func)(!14 /x 14 def \Func)(14,0)
\uput[l](0,5383){\footnotesize $\approx \np{68400}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}
\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}

\medskip

\psset{xunit=0.84cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-2)(23,24)
\multido{\n=0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,21)}
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(21,21.9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{ x 0.05 mul 0.1 sub x mul 2.45 add }
\uput[d](18.5,-1.25){\footnotesize Quantité de peinture (en tonne)}\uput[ur](0,21.2){\footnotesize Coût de production ( en millier d'euros)}
\uput[u](19,19){\blue $\Gamma$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=cyan]{1}{20}{x 0.67 mul}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ](4.492197,3.00977)(4.492197,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ] {->}(10.90780,7.308226)(10.90780,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet]{<->}(4.4922,1)(10.9078,1)
\uput[u](8,1){\scriptsize intervalle de bénéfice}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.

\end{document}