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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,45cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.35cm}

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

{\footnotesize
\medskip

Un comité d’entreprise décide de construire une structure supplémentaire pour améliorer le
bien-être des salariés. Il hésite entre deux possibilités :
\begin{itemize}
\item installer une médiathèque ;
\item faire construire une salle de sport.
\end{itemize}

Dans cette entreprise, 55\,\% des salariés ont 40 ans ou plus.

Le comité d’entreprise mène une enquête auprès des salariés afin de connaître leur préférence
quant à la création d’une telle structure. Parmi les salariés ayant clairement exprimé leur avis,
60\,\% des 40 ans ou plus sont davantage intéressés par la création d’une médiathèque alors
que 70\,\% des moins de 40 ans sont davantage intéressés par la construction d’une salle de
sport.

Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout
évènement $B$ de probabilité non nulle, $p_B(A)$) la probabilité de l’évènement $A$ sachant que $B$ est
réalisé.


On note :\begin{itemize}
\item $Q$ l’évènement \og le salarié a plus de 40 ans\fg
\item $S$ l’évènement \og  le salarié préfère une salle de sport\fg
\item $M$ l’évènement \og le salarié préfère une médiathèque\fg
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item   Complétons l’arbre pondéré ci-dessous.

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{	\pstree{\TR{$Q$~}\taput{\np{0.55}}}
		{
		\TR{$S$}\taput{\np{0.4}}
		\TR{$M $}\tbput{\np{0.6}}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{Q}$~}\tbput{\np{0.45}}}
	{
		\TR{$S$}\taput{\np{0.7}}
		\TR{$M$}\tbput{\np{0.3}}
	}
	
}
\end{center}

\bigskip

\item  L’évènement $Q\cap S$  est l'événement : \og le salarié a plus de quarante ans et préfère une salle de sport\fg. 

$p(Q\cap S)=p(Q)\times p_{Q}(S)=\np{0.55}\times \np{0.4}=\np{0.220}$.
\item \begin{enumerate}
\item  Montrons que $p(S) = 0,535$.

$p(S)=p(Q\cap S) + p\left(\overline{Q}\cap S\right) = p(Q)\times p_{Q}(S)+p\left(\overline{Q}\right)\times p_{\overline{Q}}(S)= \np{0.220}+\np{0.45}\times\np{0.70}=\np{0.535}$.

C'est bien la probabilité attendue.
\item Le choix  qui semble le plus pertinent pour le comité d’entreprise est celui de la création d'une salle de sport. La probabilité que le salarié préfère une salle de sport est supérieure à \np{0.5}. Davantage de salariés seront satisfaits par cette création.
\end{enumerate}
\item La probabilité qu’un salarié favorable à la construction  d’une salle de sport ait plus de quarante ans est notée $p_{S}(Q)$.

$p_{S}(Q)=\dfrac{p(S\cap Q)}{p(S)}=\dfrac{\np{0.220}}{\np{0.535}}\approx \np{0.4112}$.

La probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié favorable à la construction  d’une salle de sport ait plus de quarante ans est $\np{0.411}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
{\footnotesize
Le comité d’entreprise a finalement décidé de construire une salle de sport. On désigne par $X$ la
variable aléatoire correspondant à la durée hebdomadaire, en minutes, de la fréquentation de la
salle de sport par un salarié de l’entreprise.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 20.
}
\begin{enumerate}
\item La probabilité qu’un salarié de l’entreprise pratique
entre 60 minutes et 140 minutes de sport par semaine est $p(60\leqslant X\leqslant 140)$.

$p(60\leqslant X\leqslant 140)=p(\text{µ}-2\sigma~;~\text{µ}+2\sigma) \approx \np{0.95}$

La probabilité, arrondie au centième, qu’un salarié de l’entreprise pratique
entre 60 minutes et 140 minutes de sport par semaine est \np{0.95}.
\item Pour rester en bonne santé, il est recommandé de pratiquer au moins 140 minutes de
sport par semaine. Calculons le pourcentage de salariés de l’entreprise
qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation.

$p(X\geqslant 140) = p(X\geqslant \text{µ} + 2\sigma)\approx \np{0.02275}$

Le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de salariés de l’entreprise
qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation est $\np{2.3}\,\%$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
{\footnotesize
Le président du comité déclare que 80\,\% des salariés sont satisfaits de la qualité des nouvelles
installations sportives. Alix mène une enquête auprès de 300 de ses collègues choisis au
hasard. Parmi eux, 228 se déclarent satisfaits des installations sportives.}
\begin{enumerate}
\item  Déterminons un intervalle de fluctuation, au seuil de 95\,\%, de la proportion de personnes
satisfaites dans cet échantillon.  Les bornes sont arrondies au centième.

$\left[\np{0.8}-\dfrac{1}{\sqrt{300}}~;~\np{0.8}+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right]\approx\left[\np{0.74}~;~\np{0.86}\right]$

\item La fréquence des salariés satisfaits de la qualité des installations sportives est $\dfrac{228}{300}= \np{0.76}$. Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation. Les résultats de l’enquête menée par Alix ne  remettent pas, au risque de 5\,\%, en question les propos du président.
\end{enumerate}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (6 points)} 

\vspace{0.35cm}

{\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne la proportion d’électricité (exprimée en pourcentage et arrondie à
0,1\,\%) provenant des énergies renouvelables par rapport à la consommation totale d’électricité,
par an, entre 2005 et 2014, en Belgique et en France.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2005	&2006	&2007	&2008	&2009 	&2010	&2011	&2012	& 2013& 2014\\\hline
Rang de l’année : $x_i$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8	&9\\\hline
Pourcentage d’électricité provenant de sources renouvelables en Belgique : $y_i$&
2,4						& 3,1& 3,6& 4,6&6,2 &7,1& 9,1& 11,3& 12,4& 13,4\\\hline
Pourcentage d’électricité provenant de sources renouvelables en France : $z_i$&
13,7 					&14,1& 14,3& 14,4& 15,1& 14,8& 16,3& 16,4 &16,8& 18,3\\\hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source Eurostat}}
\end{tabularx}
}
\bigskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique}


\begin{enumerate}
\item Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ correspondant aux données concernant la Belgique est construit dans le repère donné en annexe 1.
\item À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$
en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{1.315}x+\np{1.402}$, les coefficients sont arrondis au millième.
\item {\footnotesize Pour les deux questions suivantes, on prendra comme droite d’ajustement affine la
droite $D$ d’équation $y = 1,3x + 1,4$.}
\begin{enumerate}
\item Cette droite est tracée dans le repère donné en annexe 1.
\item À l’aide de cet ajustement, estimons la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en 2022. En 2022 $x=17$.  En remplaçant $x$ par 17 dans l'équation de la droite, nous obtenons :

$y = \np{1.3}\times 17 + \np{1.4} = \np{23.5}$. 

Selon ce modèle une estimation de  la part d’électricité issue des énergies renouvelables en 2022, valeur arrondie à 0,1\,\%, est \np{23.5}\,\%.

\end{enumerate}
\item Déterminons à partir de quelle année la part d’électricité issue des énergies renouvelables
dépassera 25\,\% en Belgique. Pour ce faire, résolvons $1,3 x+1,4>25$ 

$1,3x+1,4 > 25\ ;\ 1,3x > 25 - 1,4 \ ;\ 1,3x > 23,6\ ;\ x > \dfrac{236}{13}$ ; 
$\dfrac{236}{13}\approx \np{18.15}$. 

À 19 correspond l'année 2024, par conséquent à partir de 2024, la part d’électricité issue des énergies renouvelables
dépassera 25\,\% en Belgique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en France entre 2010 et 2014.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{18.3}-\np{14.8}}{\np{14.8}}\approx \np{0.23649}$.

Le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est \np{23.6}\,\%,valeur arrondie à 0,1\,\%.
\item Calculons le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en France entre 2010 et 2014. 
%Donner la valeur arrondie à 0,1\,\% et interpréter le résultat trouvé.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque la part d'électricité issue des énergies renouvelables a subi 4 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^4=1+\np{0.23649}=\np{1.23649}$ par conséquent $t_m=\np{1.23649}^{\tfrac{1}{4}}-1\approx \np{0.0545}$.

Le taux annuel moyen d'évolution de la part d'électricité issue des énergies renouvelables  entre 2010 et 2014, arrondi à 0,1\,\%, est 5,5\,\%. 

\item {\footnotesize À la fin de l’année 2014, un journaliste déclare : \og Si l’on augmente la part d’électricité
issue des énergies renouvelables de 5,4\,\% par an, alors plus d’un quart de l’électricité
française sera issue des énergies renouvelables en 2022\fg.}

 Cette affirmation est exacte :

À un taux d'évolution de 5,4\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,054. Entre 2014 et 2022 il y a donc 8 évolutions, $18,3\times \np{1.054}^8 \approx \np{27.87}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (4 points)}

\vspace{0.35cm}

{\footnotesize
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.

\textbf{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.}

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

\medskip

Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en
euro pour $x$ centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction $B$
définie sur [0~;~9] par : 

\[B(x) = 40 x^3 - 561 x^2 + \np{1 917}x - 200.\]

La courbe représentative du bénéfice hebdomadaire est donnée en annexe 2.

\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] Fabriquer et vendre 600 brosses à dents connectées par semaine est rentable
pour l’entreprise.

\textbf{Affirmation fausse} $B(6)= 40 \times 6^3 - 561\times 6^2 + \np{1 917}\times 6 - 200=-254$

il y a donc une perte pour l'entreprise.

ou le bénéfice est négatif car  le point de la courbe d'abscisse 6 est \og en-dessous \fg{} de l'axe des abscisses.

\item[Affirmation 2 :] La fonction $B'$ , dérivée de la fonction B, est définie pour tout $x\in [0~;~9]$ par

$B'(x) = 120 x^2 -\np{1122} x + \np{1 917}$.

\textbf{Affirmation vraie} $B'(x)=40(3x^2)-561(2x)+\np{1917}=120x^2-\np{1122}x+\np{1917}$.
\item[Affirmation 3 :] La fonction $B'$, dérivée de la fonction B, s’annule trois fois dans l’intervalle [0~;~9].

\textbf{affirmation fausse}  $B'(x)$ est un trinôme du second degré, il ne peut s'annuler qu'au plus deux fois.
\item[Affirmation 4 :] Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour 224 brosses à dents
fabriquées et vendues.

\textbf{Affirmation fausse} si l'on résout l'équation $B'(x) = 0$ alors les solutions   sont \np{2.25} et \np{7.1}.
Nous avons donc un bénéfice maximum pour 225 brosses.

Affirmation que l'on pourrait considérer comme \textbf{vraie} si l'on regarde le graphique de la courbe. Avec la précision permise par le graphique nous pouvons estimer que le maximum est situé à \np{2.24} soit une fabrication et vente de $224$~brosses.
\end{description}

\vspace{0.45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)}

\vspace{0.35cm}
{\footnotesize
En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud
diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En 2015, le stock de cabillaud de la région
concernée était estimé à \np{5 000} tonnes.

Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition
totale des côtes des communes littorales concernées.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors
pêche, le stock reste constant à \np{5 000} tonnes.

On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces
côtes l’année $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 600$.

Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de 30
tonnes.
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Passant d'un terme au suivant en ajoutant le même nombre $-30$ la suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de  raison $-30$ et de premier terme 600.
		\item Le terme général d'une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ est $u_n=u_0+nr$.  $u_n=600-30n$.
		\item  $u_{10}= 600-30\times 10=300$.  Ce résultat dans le contexte étudié peut s'interpréter comme le quota de pêche permis en 2025.
	\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015.
	\begin{enumerate}
		\item  Une formule, destinée à être copiée vers le bas, que nous pouvons  saisir en B3 afin d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ est : =\$B2$-$30
		\item Une formule que nous pouvons  saisir dans la cellule C3 afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 est  =\$C2+\$B3 ou =somme(\$B\$2 :\$B3)
	\end{enumerate}
\vspace{0.25cm}
\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}&A	& B 	&C\\\hline
1					&$n$&Quota annuel (en tonne) : $u_n$&Quantité totale de cabillaud  pêchée depuis 2015 (en tonne)\\ \hline
2					&0 	&600	&600\\ \hline
3					&1	&570	&\np{1170}\\\hline
4					&2	&540 	&\np{1710}\\\hline
5					&3 	&510 	&\np{2220}\\\hline
6 					&4	&480	&\np{2700}\\\hline
7 					&5	&450	&\np{3150}\\\hline
8					&6	&		&\\\hline
9 					&7	&		&\\\hline
10					&8	&		&\\\hline
11					&9	&		&\\\hline
12 					&10	&		&\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\medskip
\item \begin{enumerate}
\item  Calculons la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025 soit $u_0 + u_1 + \dots+ u_9 + u_{10}$.

 $u_0+u_1+\dots+u_9+u_{10} =\dfrac{11\times (u_0+u_{10})}{2}=\dfrac{11\times (600 + 300)}{2}=\np{4950}$
\item La réglementation adoptée ne permet pas d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées puisque le quota en 2026 serait de 270 et nous ne pourrions n'obtenir que 50 tonnes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le
stock de cabillaud augmente de 12\,\% chaque année.

On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à 500 tonnes par an.

On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année $2015 +n$  avant que ne démarre la
saison de pêche.

On rappelle que $v_0 = \np{5 000}$.
}
\begin{enumerate}
\item Calculons  $v_1$.

À une augmentation de 12\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,12. $v_1=\np{5000}\times 1,12-500=\np{5100}$.
\item On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :
\[v_{n+1} = 1,12 \times v_n-500.\]

On donne l’algorithme suivant :
\begin{center}

\begin{tabular}{|l}
\textbf{Variables}\\
$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
$v$ est un réel\\
\textbf{Traitement}\\
Saisir $n$\\
$v$ prend la valeur \np{5 000}\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
$v$ prend la valeur $1,12 \times v - 500$\\
Fin Pour\\
Afficher $v$\\
\end{tabular}

\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $v$ obtenues à l’aide de l’algorithme et
arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de $n$ comprise entre 2 et 7.

Par exemple, pour $n = 2$, l’algorithme affiche \np{5 212}.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}
\hline
Valeur de $n$& 2& 3& 4& 5& 6&7&8&9\\\hline
Valeur de $v$
(arrondie à l’unité)& \np{5212} &\np{5337}& \np{5478}&\np{5635}&\np{5812}& \np{6009}&\np{6230}&\np{6478}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

La valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur saisit la valeur $n = ~9$ est \np{6478} (en tonne), valeur obtenue en prolongeant le tableau.
		\item  La valeur affichée par l’algorithme pour $n = 9$ peut s'interpréter, comme la quantité en tonne  de cabillaud  disponible en 2024 avant que ne démarre la saison de pêche.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} 
\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\textbf{\textsc{Annexe} 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.625cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(19,35)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,32.3)}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(18.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=2,]{->}(0,0)(18.8,32.2)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=2,](0,0)(18.8,32.2)
\uput[u](0.5,33){\footnotesize Pourcentage d’électricité provenant}
\uput[u](0.5,32){\footnotesize de sources renouvelables en Belgique}
\uput[d](17,- 1.3){\footnotesize Rang de l'année}
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,2.4)(1,3.1)(2,3.6)(3,4.6)(4,6.2)(5,7.1)(6,9.1)(7,11.3)(8,12.4)(9,13.4)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{18.4}{  x 1.3 mul 1.4 add}

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\textbf{\textsc{Annexe} 2}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-700)(9.25,2400)
\multido{\n=0.25+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-650)(\n,1950)}
\multido{\n=-600+100}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0.00,\n)(9.25,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=200]{->}(0,0)(0,-650)(9.3,1950)
 \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{9}{ x 40 mul 561 sub x mul 1917 add x mul 200 sub}
\uput[ur](-0.3,1975){\footnotesize Bénéfice hebdomadaire (en euro)}
\uput[r](8.6,300){\footnotesize Quantité}\uput[r](8.6,200){\footnotesize (en}\uput[r](8.6,100){\footnotesize centaine)}
\end{pspicture}
\end{document}