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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{20 juin 2018}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR Polynésie 20 juin 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (10 points)}  

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\smallskip
L’Europe accueille un grand nombre de touristes. Il en résulte des recettes importantes. Le tableau suivant donne l’évolution des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015 en milliards d’euros.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{4.35cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Année& 2012&2013&2014&2015\\\hline
Recettes (en milliards d’euros)&354,5&370,5&386,6&405,7\\\hline
\multicolumn{5}{r}{\emph{Source : organisation mondiale du tourisme}}\\
\end{tabularx}
\end{center}
}
\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.
 
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{405.7}-\np{354.5}}{\np{354.5}}\approx \np{0.1444}$.

 Le taux global d’évolution des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015 exprimé en pourcentage et arrondi à 1\,\% est de 14\,\%.
\item Calculons le taux d’évolution moyen annuel des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015 exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\%.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque les recettes du tourisme ont subi 3 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^3=\dfrac{\np{405.7}}{\np{354.5}}\approx\np{1.1444}$ par conséquent $t_m=\np{1.1444}^{\tfrac{1}{3}}-1\approx \np{0.045}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est  égal à \np{4.5}\,\%. 
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

{\footnotesize

Dans la suite de l’exercice, on supposera qu’à partir de 2015, les recettes du tourisme en Europe continuent à augmenter de 4,5\,\% par an.

Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ l’estimation des recettes du tourisme en Europe en $2015+n$ exprimées en milliards d’euros. On a ainsi $u_0=405,7$.}
\begin{enumerate}
\item  À une augmentation de \np{4.5}\,\%, correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{\np{4.5}}{100}$ soit \np{1.045}.

 $u_1=\np{405.7}\times \np{1.045}=\np{423.9565}$. En arrondissant la valeur au dixième, $u_1 =\np{424.0}$.
 
\item  Puisque nous passons d'un terme au suivant en le multipliant par le même nombre, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.045} et de premier terme $u_0=\np{405.7}$. %Donner la valeur de sa raison.
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n = u_0q^n$.

 Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{405.7}\times\left(\np{1.045}\right)^n$ .
\item Calculons une estimation des recettes du tourisme en Europe en 2020. 

En 2020, $ n=5, \  u_5=\np{405.7}\times \left(\np{1.045}\right)^5 \approx \np{505.576}$.

Une estimation des recettes du tourisme en Europe en 2020 est, en milliards d’euros, arrondies au dixième, de \np{505.6}.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Complétons l’algorithme donné dans \textbf{l’annexe 1 à rendre avec la copie} qui calcule le nombre d’années nécessaires à partir de 2015 pour que les recettes du tourisme en Europe dépassent 550 milliards d’euros.
		\item La valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme est 7
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		$n$&5&6&7&8\\\hline
		$u$&\np{505.6}&\np{528.3}&\np{552.1}&\\\hline
		&vraie&vraie&fausse&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
{\footnotesize
En 2015, d’après l’organisation mondiale du tourisme, parmi les touristes venus en Europe, 14\,\% sont venus en France.

Parmi les touristes qui sont venus en France, 26\,\% ont dépensé plus de 900 euros pour leur séjour.

Parmi les touristes qui ne sont pas venus en France, 15\,\% ont dépensé plus de 900 euros pour leur séjour.

On choisit au hasard un touriste venu en Europe et on considère les événements suivants :


\begin{itemize}
\item $F$ : \og le touriste a choisi comme destination la France.\fg
\item $A$ : \og le touriste a dépensé plus de 900\,\euro{} pour son séjour.\fg
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item  Nous avons complété l’arbre pondéré donné dans \textbf{l’annexe 2 à rendre avec la copie.}
\item  $p(\overline{F}\cap A)=p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(A)=\np{0.86}\times \np{0.15}=\np{0.129} $.
\item La probabilité que le touriste ait dépensé plus de 900 euros pour son séjour est notée $p(A)$.

$p(A)=p(F)\times p_{F}(A)+p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(A)=\np{0.14}\times\np{0.26}+\np{0.129}=\np{0.1654}$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (10 points)}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

Un hôtel situé à Saint Gilles Croix de Vie cherche à attirer une nouvelle clientèle durant le week-end. Pour cela, le responsable commercial a décidé de mettre en place une offre \og week-end détente\fg{} qui inclut une chambre pour une nuit et de nombreuses autres options.

Depuis 2012, le responsable a testé plusieurs prix pour cette offre en fonction des options proposées. Voici les résultats obtenus :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix proposé (en \euro) :$x_i$						&150&180&200&250&270\\\hline
Nombre d’offres \og week-end\fg{} vendues : $y_i$	&130&111&97	&70	&57\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

On a représenté dans le repère orthogonal donné en \textbf{annexe 3 à rendre avec la copie} le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~y_i)$.

\begin{enumerate}
\item  Calculons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.

 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
\[\overline{x}_G=\frac{150+180+200+250+270}{5}=210 \quad \overline{y}_G=\frac{130+111+97+70+57}{5}=93\]
 
 G~(210~;~93)

\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la
méthode des moindres carrés est : 
$y=-\np{0.6}x+219$.
		\item  Cette droite d’ajustement est tracée et  le point moyen G placé dans le repère de \textbf{l’annexe 3 à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\item À l’aide de cet ajustement, donnons une estimation du nombre d’offres vendues si le prix de l’offre \og week-end détente\fg{} est fixé à 220 euros.

Pour ce faire, remplaçons $x$ par 220 dans l'équation de la droite. $y=-\np{0.6}\times 220+219=87$.

Une estimation possible, selon ce modèle, du nombre d'offres vendues est 87.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

{\footnotesize
Le nombre d’offres \og week-end détente\fg{} vendues en fonction du prix fixé est modélisé par la fonction  $f$ définie sur l’intervalle [100 ;300] par $f(x)=-0,6x+219$ où $x$ est le prix de l’offre, exprimé en euros.
}
\begin{enumerate}
\item  Calculons la recette réalisée par cet hôtel si le prix de l’offre est fixé à 240 \euro.

Calculons d'abord le nombre d'offres \og week-end détente\fg{} vendues au prix de 240\euro.

 $f(240)=-\np{0.6}\times 240+219=75$.

Ce nombre d'offres vendues engendre une recette de $240\times 75$  soit \np{18000}\euro.

\item On note $R(x)$ la recette réalisée par l'hôtel si le prix de l’offre est fixé à  $x$ euros. On admet alors que 

\[R(x)=-0,6x^2+219x\]

Le responsable commercial de l'hôtel souhaite étudier cette fonction $R$ afin d’en déduire le prix de l’offre le plus avantageux.
\begin{enumerate}
\item  La fonction $R'$, fonction dérivée de la fonction $R$ est définie par \[R'(x)=-\np{0.6}(2x)+219=-\np{1.2}x+219.\]
\item Étudions le signe de $R'(x)$ sur l’intervalle $[100~;~300]$.

Sur $\R,\ -\np{1.2}x+219>0 \iff x<\dfrac{219}{\np{1.2}}$ soit $x<\np{182.5}$

Si $x\in [100~;~\np{182.5}[\  R'(x)>0$ si $x\in]\np{182.5}~;~300], R'(x)<0$.
\item Étudions la variation de $R$.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[100~;~\np{182.5}[, \: f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $]\np{182.5}~;~300[,\:f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $R$ sur l’intervalle $[100~;~300]$.
	\begin{center}
	\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(10,3)
\psline(0,1.5)(10,1.5)\psline(0,2.5)(10,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[ur](3.7,2.5){$100$}\uput[ur](9.1,2.5){$300$}\uput[u](6.4,2.5){$\np{182.5}$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $R'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variation de $R$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1.5)(9.1,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$} 
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[u](4,0.){\small $\np{15900}$} \rput(6.4,1.35) {\small $\np{19983.75}$}
\uput[u](9,0){$\np{11700}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\item  $R$ admet un maximum en \np{182.5} par conséquent  le prix de l’offre à fixer pour que la recette soit maximale est de \np{182.5}\,\euro. Cette recette maximale vaut alors \np{19983.75}\,\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{Partie C}

\smallskip
{\footnotesize
Un couple habitant Paris a découvert l’offre « week-end détente » sur le site internet de l'hôtel et décide donc de se rendre le week-end suivant à Saint Gilles Croix de Vie.
Ne possédant pas de voiture, le couple décide de faire du covoiturage pour s’y rendre. Voici les différents parcours proposés sur un site de covoiturage et les montants associés.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Parcours& Montant en euros\\\hline
Paris $\rightarrow$ Le Mans&25\\\hline
Paris $\rightarrow$ Cholet&30\\\hline
Paris $\rightarrow$ Nantes&40\\\hline
Le Mans$\rightarrow$ Cholet&10\\\hline
Le Mans $\rightarrow$La Roche--sur--Yon			&20\\\hline
Cholet $\rightarrow$ La Roche--sur--Yon			&13\\\hline
Nantes $\rightarrow$ Saint--Gilles--Croix--de--Vie	&17\\\hline
La Roche--sur--Yon $\rightarrow$ Saint--Gilles--Croix--de--Vie&8\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  Le graphe pondéré de l'\textbf{annexe 4 à rendre avec la copie} est complété avec les données du tableau ci-dessus.
\item Le parcours le moins cher pour ce couple souhaitant aller de Paris à Saint--Gilles--Croix--de--Vie est le parcours

Paris--Cholet--La Roche--sur--Yon--Saint--Gilles--Croix--de--Vie revenant à $30 + 13 + 8$ soit 51\,\euro.

Les deux autres parcours possibles reviennent à :

Paris--Nantes--Saint--Gilles--Croix--de--Vie : $40 + 17$ soit 57 \euro.

Paris--Le Mans--La Roche--sur--Yon--Saint-Gilles--Croix--de--Vie : $25 + 20 + 8$ soit 53 \euro.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{1.2cm}

\textbf{Annexe 1 : EXERCICE 1 – Partie B}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow 405,7$\\
Tant que $u<550$\\
\hspace{2em}$n\leftarrow n+1$ \\
\hspace{2em} $u\leftarrow\np{1.045}u$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Annexe 2 : EXERCICE 1 – Partie C}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\np{0.14}$}}
	{
	\TR{$A$}\taput{$\np{0.26}$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\np{0.74}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{$\np{0.86}$}}
	{\TR{$A$}\taput{$\np{0.15}$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\np{0.85}$}
	}
}
\end{center} 

\newpage

\textbf{Annexe 3 : EXERCICE 2 – Partie A}

\begin{center}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.08cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-15,-10)(160,110)
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=150,Dx=10,Oy=50,Dy=10,]{->}(0,0)(155,105)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](0,80)(30,61)(50,47)(100,20)(120,7)
\psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,dotangle=45,fillcolor=red](60,43)
\uput[u](-12,50){\rotatebox{90}{\footnotesize Nombre d'offres vendues}}
\uput[d](120,- 5){\footnotesize Prix proposé (en euros)}
\uput[ur](60,44){\textcolor{red}{$G$}}\uput[l](0,37){\footnotesize  $87$}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 0.6 neg mul 79 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 70 def \Func)(!70 /x 70 def \Func)(70,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{132}{\Func}

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 4 : EXERCICE 2 – Partie C}

\vspace{1cm}


\psset{unit=1cm,shortput=tablr,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-2,-3.5)(-2,5)
\rput(0,0){\rnode{P}{\psframebox{Paris}}}
\rput(5,3){\rnode{M}{\psframebox{Le Mans}}}
\rput(5,0){\rnode{C}{\psframebox{Cholet}}}
\rput(5,-3){\rnode{N}{\psframebox{Nantes}}}
\rput(10,3){\rnode{R}{\psframebox{La Roche sur Yon}}}
\rput(10,-3){\rnode{S}{\psframebox{Saint Gilles Croix de Vie}}}
\ncline{->}{P}{M}^{25}\ncline{->}{P}{C}^{30}\ncline{->}{P}{N}_{40}
\ncline{->}{M}{C}<{10}\ncline{->}{M}{R}^{20}
\ncline{->}{C}{R}^{13}\ncline{->}{N}{S}_{17}\ncline{->}{R}{S}>{8}
\end{pspicture}
\end{document}