\documentclass[a4paper,10pt,leqno]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit sujet : Vincent Tolleron
%Tapuscrit corrigé : J. C. Souque
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pst-bezier,pst-all,pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {ST2S v},
pdftitle = {20 juin 2012},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 20 juin 2012~\decofourright \\
 }}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}
 

\smallskip

{\footnotesize 
Afin de dépister le diabète gestationnel, on pratique chez les femmes enceintes, entre la 22\up{e} et la 26\up{e} semaine de grossesse, le test de O'Sullivan qui met à l'épreuve les mécanismes de régulation du glucose sanguin maternel.

\smallskip

Ce test consiste tout d'abord à faire absorber à la patiente 50~g de glucose.

\smallskip

Trente minutes plus tard, la glycémie de la patiente atteint 2~g par litre de sang. On commence alors à observer l'évolution de la glycémie.

\smallskip

On relève la glycémie de la patiente 30 minutes après le début de l'observation (soit une heure après l'ingestion du glucose) et le résultat du test s'interprète de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item
si la glycémie est inférieure ou égale à \np{1,30}~g/L, on considère que la patiente n'est pas atteinte de diabète gestationnel;
\item si la glycémie est supérieure ou égale à 2~g/L, on considère que la patiente est atteinte de diabète gestationnel;
\item si la glycémie est strictement comprise entre \np{1,30}~g/L et 2~g/L, la patiente devra subir un second test. 
\end{itemize}

\smallskip
}
\textbf{Partie A}

\smallskip

Une première patiente a une glycémie égale à 2~g/L au début de l'observation, puis on admet que cette valeur baisse de 1~\% par minute. On note, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ sa glycémie $n$ minutes après le début de l'observation. On a donc $u_0=2$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient multiplicateur  de $1+t$. Ici, il s'agit d'une baisse  de $1~\%$ par conséquent le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{1}{100}=\np{0.99}$
 $u_1=2 \times \np{0.99}=\np{1,98}$.
\item Calculons de même $u_2$. $u_2=\np{1.98}\times \np{0.99}\approx \np{1.96}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Le taux d'évolution étant le même chaque minute, le coeffficient multiplicateur est \np{0.99} par conséquent pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0.99}u_n$.
\item La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de  raison \np{0.99} et de premier terme 2.
\item Le terme général d'une suite  géométrique de  premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$, par conséquent pour tout entier naturel $n$, $u_n=2\times (\np{0.99})^n$.
\end{itemize}
\item \begin{enumerate}
\item
 $u_{30}=2\times \np{0.99}^{30}\approx\np{1.48}$. Le  résultat étant arrondi à $10^{-2}$ près.
\item Si la glycémie est strictement comprise entre \np{1,30}~g/L et 2~g/L, la patiente devra subir un second test. Le taux de glycémie de la patiente étant dans cet intervalle, elle devra subir un second test.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par $f(t)=2\times(\np{0,984})^t$.

\smallskip

La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée \textbf{en Annexe 1 (page~\pageref{toto})}. Cette annexe devra être \textbf{rendue avec la copie}.

\smallskip

Chez une autre patiente, on considère que la glycémie, $t$ minutes après le début de l'observation est donnée, en grammes par litres de sang, par:
\[
f(t)=2\times(\np{0,984})^t\text{ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~60]$}.
\]

\begin{enumerate}
\item
Dressons le tableau de valeurs suivant.  
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60\\\hline
$f(t)$&2 & \np{1.70}&\np{1,45}&\np{1.23} &\np{1.05} & \np{0.89}&\np{0.76} \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
{\footnotesize Les valeurs sont arrondies à $10^{-2}$ près.}

\item
\begin{enumerate}
\item
Résolvons graphiquement l'inéquation $f(t)\leqslant\np{1,30}$. Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la courbe est située en dessous de la droite d'équation $y=\np{1.30}$ ou coupe cette droite.

L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions est : $\mathcal{S}=]\np{26.7}~;~60]$
\item Au bout d'une demi-heure le taux de glycémie est inférieur  à \np{1.30}. Cette deuxième patiente n'est pas atteinte de diabète gestationnel selon l'interprétation des résultats donnée dans le préambule.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résolvons, pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~60]$, l'inéquation d'inconnue $t$ : $2\times(\np{0,984})^t\leqslant 1$.
\[
2\times (\np{0,984}^t) \leqslant 1\hspace{0.5cm}\np{0,984}^t \leqslant \dfrac{1}{2}\hspace{0.5cm}t\log \np{0,984}\leqslant \log \dfrac{1}{2}\hspace{0.5cm}t\geqslant \dfrac {-\log 2}{\log\np{0,984}}\hspace{0.5cm}t\geqslant \np{42,97}
\]
L'ensemble des solutions  de l'inéquation  est [\np{42,97}~;~60]
\item La durée nécessaire après le début de l'observation pour que la glycémie de cette deuxième patiente redevienne inférieure à 1~g/L est \np[min]{43}  (durée arrondie à la minute près).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

%: Ex 2 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 

\smallskip

Le tableau suivant donne la répartition des médecins en France, au 1\up{er} janvier 2011.
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&Libéraux ou mixtes* & Salariés & Total\\
\hline
Généralistes & \np{67843} & \np{32823} &\np{100666} \\
\hline
Spécialité chirurgie &\np{16699} &\np{8795} &\np{25494}\\
\hline
Spécialité médicale &\np{30599} &\np{28890} &\np{59489}\\
\hline
Autres spécialités &\np{7650} &\np{15428} &\np{23078}\\
\hline
Total&\np{122791}&\np{85936}&\np{208727}\\
\hline
\end{tabular}

* en partie salariés\\
{\footnotesize Source: http://www.sante-gouv.fr:OMG/pdf.seriestat157.pdf}
\end{center}


\smallskip


\textbf{Partie A}


\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Le tableau est complété ci-dessus.
\item Sachant que \np{40,9}~\% des généralistes sont des femmes, calculons le nombre de femmes médecins généralistes. Il y a \np{100666} médecins généralistes. 

$\dfrac{\np{40.9}}{100}\times\np{100666}\approx \np{41172}$. 
Il y a donc environ \np{41172} femmes généralistes.
\item Déterminons le  pourcentage des médecins spécialisés en chirurgie parmi les médecins. Il y a \np{25494} médecins spécialisés en chirurgie parmi \np{208727} médecins.  

 $\dfrac{\np{25494}}{\np{208727}}\approx \np{0.12214}$  soit environ $\np{12.2}\,\%$
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\emph{Les résultats seront, dans cette partie, arrondis à \np{0,01} près.}

\smallskip

Un médecin est choisi au hasard parmi l'ensemble des médecins exerçant en France.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'univers est l'ensemble des médecins et la loi mise sur cet ensemble est l'équiprobabilité. Par conséquent la probabilité d'un événement A est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$

Calculons la probabilité que ce médecin soit salarié. Il y a \np{85936} médecins salariés et il y a \np{208727}  médecins.  $p(\text{\og ce médecin est salarié \fg})=\dfrac{\np{85936}}{\np{208727}}\approx \np{0.411} \approx 0,41$.
\item Calculons la probabilité que ce médecin soit généraliste et salarié. Il y a \np{32823} médecins généralistes et salariés  donc $p( \text{\og ce médecin est généraliste salarié\fg})=\dfrac{\np{32823}}{\np{208727}}\approx \np{0.16}$
\item  Calculons la probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie ou médecin salarié. Le nombre de médecins spécialisés en chirurgie ou salariés est égal au total de ces deux catégories diminué du nombre de médecins salariés spécialisés en chirurgie. Il y en a $\np{25494}+\np{85936}-\np{8795}=\np{102635}$ par conséquent 

$p(\text{\og ce médecin est salarié ou spécialisé en chirurgie \fg})=\dfrac{\np{102635}}{\np{208727}}\approx \np{0.49}$.
\end{enumerate}
\item Calculons la probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie sachant qu'il est un médecin salarié. Parmi les \np{85936} médecins salariés, \np{8795} médecins sont spécialisés en chirurgie.

$p(\text{\og ce médecin est spécialisé en chirurgie sachant qu'il est un médecin salarié \fg})=\dfrac{\np{8795}}{\np{85936}}\approx \np{0.10}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

%: Ex 3 7 points
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 

\smallskip


Une personne a consommé de l'alcool au début de la soirée. Sachant qu'elle devra conduire pour rentrer chez elle, elle procède à une première mesure de son alcoolémie à l'aide d'un éthylomètre.

\smallskip

Celui-ci indique \np{1,1} gramme d'alcool par litre de sang.

\smallskip

La personne procède ensuite à plusieurs mesures successives.

\smallskip

Les résultats obtenus sont consignés dans une feuille de tableur.

\smallskip
{\footnotesize
La colonne C est au format \%.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& A & B & C\\
\hline
1 & Durée écoulée (en heures)& Alcoolémie &Taux d'évolution par rapport à\\
&depuis la première mesure &en g/L&  l'alcoolémie de départ\\
\hline
2 & 0 & \np{1,10} & \\
\hline
3 & \np{0,25} & \np{1,07} & \\
\hline
4 & \np{0,75} & \np{1,00} & \\
\hline
5 & \np{1} & \np{0,95} & \\
\hline
6 & \np{2} & \np{0,83} & \\
\hline
7 & \np{3} & \np{0,73} & \\
\hline
8 & \np{4} & \np{0,63} & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
%\smallskip 

%\textbf{Partie A: on ne demande pas de compléter le tableau}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
La colonne C (de C3 à C8) doit permettre de calculer le taux d'évolution de l'alcoolémie, \textbf{par rapport à l'alcoolémie de départ}. Puisque l'on doit toujours faire référence à la cellule B2, la ligne 2 doit être bloquée. La formule à saisir en C3 puis à recopier vers le bas est :
\begin{center}
\textbf{A:}~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{=(B3-B2)/B2}\qquad
\textbf{B:}~~\ovalbox{=(B3-B\$2)/B\$2} \qquad
\textbf{C:}~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{=B3/B2}\qquad
\textbf{D:}~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{=B3/B\$2} \qquad
\end{center}
\item Dans les textes de la sécurité routière on lit: \og l'alcoolémie en gramme d'alcool par litre de sang diminue \textbf{toutes les heures} de \np{0,10} à \np{0,20} grammes\fg{}.

\smallskip

Cette affirmation est exacte en ce qui concerne cette personne pendant la période de 4 heures considérées. En 4 heures son taux est passé de \np{1.1} à \np{0.63} soit une baisse de \np{0.47} ou  en moyenne de \np{0.12}~g/L. Nous pouvons étudié cette baisse durant chaque heure.
 Pendant la première heure le taux de cette personne a diminué de \np{0.15}~g/L, pendant la deuxième heure de \np{0.12}~g/L, pendant la troisième heure  de \np{0.10}~g/L  ainsi que durant la quatrième heure. Durant chaque période, l'affirmation est vérifiée.
\end{enumerate} 

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip 

Les résultats de la Partie A sont traités de manière statistique dans cette partie.
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{5cm}|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Durée écoulée (en heures)%& & & & & & & \\
 depuis la première mesure: $x_i$ & 0 & \np{0,27} & \np{0,75} & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
Alcoolémie en g/L: $y_i$ &\np{1,10} &\np{1,07}  &\np{1,00}  &\np{0,95}  &\np{0,83}  &\np{0,73}  &\np{0,63} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
 Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques:
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]2~cm pour 1~heure sur l'axe des abscisses;
\item [$\bullet$]10~cm pour 1~g/L sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
est tracé ci-dessous

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm, yunit=9,comma=true,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(6.5,1.25)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(6.5,1.25)
\multido{\n=0+0.25}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.01)(\n,1.21)}
\multido{\n=0+0.05}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.1,\n)(6.5,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,1.1)(0.25,1.07)(0.75,1)(1,0.95)(2,0.83)(3,0.73)(4,0.63)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{6.5}{x 0.12 neg mul 1.09 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](1.571429,0.901429)
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.541429,0.911429){G}
\def\Func{x 0.12 neg mul 1.09 add}
\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 4.91667 def \Func)(!4.91667 /x 4.91667 def \Func)(4.91667,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\frac{0+\np{0.25}+\dots+3+4}{7}=\np{1.57} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{1.10}+\np{1.0}+\dots+\np{0.63}}{7}=\np{0.90}\]
G $\left( \np{1.57}~;~\np{0.90} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ passant par $G$ et de coefficient directeur $-\np{0,12}$ constitue une droite d'ajustement convenable du nuage.
\begin{enumerate}
\item
Une équation de $\mathcal{D}$ est: $y=-\np{0,12}x+\np{1,09}$. En effet la droite passant par G, ses coordonnées doivent vérifier l'équation de la droite donc $\np{0.90}=\-\np{0.12}\times \np{1.57}+p$ d'où $p=\np{1.09}$.
\item  La droite $\mathcal{D}$ est tracée dans le repère précédent.
\item Déterminons à l'aide du graphique la durée nécessaire, selon l'ajustement choisi, pour que la personne puisse conduire à nouveau. Nous devons résoudre graphiquement $-\np{0,12}x+\np{1,09}= \np{0.50}$ c'est-à-dire lire l'abscisse du point de la droite  d'ordonnée \np{0.50}. Nous lisons environ \np{4.9}. La personne devra attendre 5 heures pour pouvoir conduire.
%On rappelle qu'en France pour pouvoir conduite, l'alcoolémie doit être inférieure à \np{0,5}~g/L de sang.
\end{enumerate}
\item Déterminons par le calcul, la durée nécessaire pour que l'alcoolémie soit, selon l'ajustement choisi,  strictement inférieure à \np{0,3}~g/L. Résolvons $-\np{0,12}x+\np{1,09}<\np{0.30}$

$-\np{0,12}x+\np{1,09}< \np{0.30}\qquad -\np{0,12}x<\np{0.30}-\np{1,09}\qquad -\np{0.12}x<-\np{0.79}\qquad x> \dfrac{-\np{079}}{-\np{0.12}}\qquad x> \np{6.58}$. Il faut attendre  presque 7 heures  pour que le taux d'alcoolémie soit strictement inférieur à \np{0.30}~g/L.

\end{enumerate}

\vfill
\label{toto}
% \begin{center}
% \large \textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}
% \end{center}


% \bigskip


\textbf{ANNEXE 1: Exercice 1 Partie B question 2.a}

\begin{center}


\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,22)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(13,22)
\psset{xunit=0.2cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(65,2.2)
\psplot[algebraic,plotpoints=200]{0.0}{60.0}{2*0.984^x}
\uput[90](60,0){$t$ (min)}
\uput[0](0,2.2){glycémie (g/L)}
\def\Func{0.984 x exp 2 mul}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,linecolor=cyan,linewidth=0.5pt]{->}(!0 /x 26.708 def \Func)(!26.708 /x 26.708 def \Func)(26.708,0)
\rput(26.5,-0.03){\textcolor{cyan}{\tiny $\approx 26,7$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}