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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie~\decofourright}\\[4pt] \textbf{juin 2009 Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip

%Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. 
%
%\medskip
%
%On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par litre de sang) et l'âge (exprimé en année) d'un échantillon de la population d'une région. 
%
%\medskip
%
%Les résultats sont consignés dans le tableau d'effectifs à double entrée ci-dessous. 
%
%On peut lire par exemple, que dans l'échantillon considéré il y a 8 individus entre 50 et 60~ans qui ont un taux de cholestérol compris entre 2,0 et 2,2~g/l.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\backslashbox{taux}{âge}& [20~;~30[ &[30~;~40[ &[40~;~50[ &[50~;~60[ &[60~;~70[ &70 et plus&Totaux\\ \hline 
%[1,6~;~1,8[ &23 &15 &12 &9 	&5 	&4 	&68 	\\ \hline
%[1,8~;~2,0[ &14 &13 &11	&9 	&7 	&5 	&59          \\ \hline 
%[2,0~;~2,2[	& 4 &9 	&7 	&8 	&10 &7 	&45 		\\ \hline 
%[2,2~;~2,4[ &0 	&3 	&5 	&5 	&8 	&9 	&30 		\\ \hline 
%[2,4~;~2,6[ &1 	&2 	&3 	&3 	&4 	&5 	&18 		\\ \hline 
%Totaux		&42	&42 &38 &34 &14 &30 &220 	\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux moyen de cholestérol, arrondi à $10^{-2}$ près,  des individus de la classe d'âge [20~;~30[.
On a $\dfrac{23 \times 1,7 + 14 \times 1,9 + 4 \times 2,1 + 0 \times 2,3 + 1 \times 2,5}{23 + 14 + 4 + 0 + 1} = \dfrac{76,6}{42} \approx 1,82$. 
\item %On affirme que plus de 60\,\% des individus de l'échantillon ont un taux de cholestérol appartenant à l'intervalle [1,8~;~2,4[. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse. 
Dans l'intervalle [1,8~;~2,4[, il y a $59 + 45 + 30 = 134$ personnes qui représentent $\dfrac{134}{220}\times 100 \approx 60,9$(\,\%). L'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On s'intéresse maintenant à un nouveau tableau dans lequel figure le taux moyen de cholestérol par tranche d'âge (on a remplacé les intervalles par leur centre). 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%âge		& 25	&35 	&45 	&55 	&65 	&75	\\ \hline 
%Taux moyen	& 1,82	&1,93 	&1,98 	&2,01	&2,09 	&2,14 	\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter par un nuage de points cette nouvelle série statistique.
 
%On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés en abscisses (unité  : 2~cm pour 10~ans) et le taux de cholestérol en ordonnées (unité graphique :  5~cm). 
\psset{xunit=0.16cm,yunit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(75,2.25)
\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(75,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.1,comma=true]{->}(0,0)(75,2.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1,comma=true,labels=none]{->}(0,0)(75,2.25)
\uput[u](75,0){$x$ (ans)}\uput[r](0,2.2){$y$ (taux en g/l)}
\psdots(25,1.82)(35,1.93)(45,1.98)(55,2.01)(65,2.09)(75,2.14)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](35,1.91)(65,2.08)
\uput[d](35,1.91){$G_{1}$} \uput[d](65,2.08){$G_{2}$}
\psplot{25}{75}{0.17 x mul 30 div 10.27 6 div add} 

\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(51,0)(51,2)(0,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %On appelle $G_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et $G_{2}$ celui des trois derniers. 
		
%Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.
$G_{1}(35~;~1,91)$ et $G_{2}(65,2,08)$.
\medskip
 
%Dans la suite de cette partie. on admet que cette droite donne une approximation satisfaisante de l'évolution du taux moyen de cholestérol en fonction de l'âge.
		\item %Déterminer graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles, une valeur approchée du taux moyen de cholestérol d'un individu de 51~ans.
On trace la droite d'équation $x = 51$ qui coupe la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées : on lit un taux de 2
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $y = m x + p$  (on donnera $m$ à $10^{-4}$ près et $p$ à $10^{-2}$ près). Retrouver par le calcul le résultat de la question 2. b.
On écrit que les coordonnées des points $G_{1}$ et $G_{2}$ vérifient l'équation 

$y = mx + p$ soit :

$\left\{\begin{array}{l cl}
1,91&=&35m + p\\
2,08&=&65m + p
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par différence ) $0,17 = 30m \iff m = \dfrac{0,17}{30} \approx \np{0,0057}$, puis 

$p = 1,91 - 35 \times \np{0,0057} = \np{1,7105} \approx 1,71$.

Une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est $y = \np{0,0057}x + \np{1,71}$.

Avec $x = 51$, on obtient $y = \np{0,0057}\times 51 + \np{1,71} = \np{2,0007} \approx 2$. 

On retrouve le résultat lu sur le graphique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Une des 220 personnes de l'échantillon se présente pour prendre connaissance de son taux de cholestérol. On suppose, pour une raison ou une autre, qu'il est impossible de deviner son âge et encore moins de deviner son taux de cholestérol. 

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la probabilité que son taux de cholestérol soit inférieur strictement à 2,2~g/l.
Il y a $68 + 59 + 45 = 172$ personnes dont le taux de cholestérol est inférieur strictement à 2,2~g/l.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{172}{220} = \dfrac{43}{55} \approx 0,78$.
\item  %Déterminer la probabilité que son âge, au moment des relevés,  soit dans la tranche [30~;~50[.
Dans cette tranche il y a $42 + 38 = 80$ personnes.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{80}{220} = \dfrac{4}{11} \approx 0,36$.

%(On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.) 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip

%On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placées dans une boîte de Petri. Le nombre de bactéries en centaines est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(t) = \dfrac{4\text{e}^t - 1}{\text{e}^t  + 2}\]
%
%où $t$ représente le temps en heures. On suppose que l'on peut compter le 
%nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat.
$f(0) =  \dfrac{4\text{e}^0 - 1}{\text{e}^0  + 2} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Cela signifie qu'à l'instant $t = 0$ il y a 100 bactéries.
		\item %Montrer que $f(t) = 4 + \dfrac{-9}{\text{e}^t  + 2}$. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. On appellera cette valeur la saturation. Que peut-on en conclure pour la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ ?
On a $f(t) = \dfrac{4\text{e}^t - 1}{\text{e}^t  + 2}  = \dfrac{4\text{e}^t  + 8 - 8- 1}{\text{e}^t  + 2} =  \dfrac{4\left(\text{e}^t + 2\right) - 9 }{\text{e}^t  + 2} = \dfrac{4\left(\text{e}^t + 2\right)}{\text{e}^t  + 2} - \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2} = 4 - \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2}$.

\emph{Rem.} On peut aussi partir de l'expression donnée la réduire au m\^eme dénominateur et retrouver l'expression de l'énoncé de $f(t)$.

On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^t  = + \infty,~\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^t + 2 = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{9}{\text{e}^t  + 2} = 0$, donc finalement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 4$.

Graphiquement ce dernier résultat signifie que la droite d'équation $y = 4$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %L'équation $f(t) = 4$ admet-elle des solutions ? Justifier votre réponse.
		On a $f(t) = 4 \iff 4 - \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2} = 4 \iff 0 = \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2}$.
		
Cette équation n'a pas de solution puisque le second membre quotient de deux nombres supérieurs à zéro est un nombre supérieur à zéro.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ vérifie $f'(t) = \dfrac{9\text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 2 \right)^2}$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et en utilisant l'expression trouvée au 1. b. :

$f'(t) - \left(- \dfrac{9\text{e}^t}{\left(\text{e}^t  + 2 \right)^2} \right) = \dfrac{9\text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 2 \right)^2}$.
		\item %En déduire le tableau de signes de $f'(t)$ puis le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		Tous les termes de $f'(t)$ sont positifs, donc $f'(t) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$ et la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle de 1 à 4.
	\end{enumerate} 
\item  %Soit (T) la tangente au point d'abscisse $0$ à la courbe $(\mathcal{C})$. Déterminer l'équation de (T).
Une équation de $T$ est : $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

$f(0) = 1$ et $f'(0) =  \dfrac{9\text{e}^0}{\left(\text{e}^0 + 2 \right)^2} = \dfrac{9}{3^2} = 1$.

Une équation de $T$ est donc $y = x + 1$.
\item  %Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en arrondissant à $10^{-2}$ près : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	\\ \hline
$f(t)$	&1	&2,09	&3,04	&3,59	&3,84	&3,94	&3,98	&3,99	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Tracer, dans un repère orthonormé d'unité graphique 2~cm, la droite (T), la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi qu'en les précisant la (ou les) asymptote(s) éventuelles(s) à $(\mathcal{C})$.
Voir à la fin. 
\item  %Calculer à la minute près l'instant $t_{0}$ où le nombre de bactéries sera égal à 200.
Il faut résoudre dans $[0~;~+ \infty[$ l'équation : 

$f(t) = 2 \iff 4 - \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2} = 2 \iff 2 =  \dfrac{9}{\text{e}^t  + 2} \iff 2\left(\text{e}^t  + 2 \right) = 9 \iff$

$ \text{e}^t  + 2 = \dfrac{9}{2} \iff \text{e}^t = \dfrac{5}{2} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $t = \ln \left(\dfrac{5}{2}  \right) \approx \np{0,9163}$ soit 54,97~min ou encore 55~min à la minute près.
\item  %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la population de cette colonie dépassera 80\,\% de sa saturation.

%(\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.})
80\,\% de 4 représente 3,2 centaines.

On trace donc la droite d'équation $y = 3,2$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses.
On lit à peu près : 2,2~h soit 2~h 12~min.
\end{enumerate}
\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labels=none]{->}(0,0)(6,4)
\uput[d](6,0){$t$ (h)}\uput[r](0,4.2){$f(t)$ (centaines de bactéries)}
\psline(0,1)(3,4)\uput[ul](2.8,3.8){$T$} \psline[linewidth=1.5pt](0,4)(6,4) \uput[u](4.5,4){$y = 4$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{4 9 2.71828 x exp 2 add div sub}\uput[d](5.5,3.9){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,3.2)(2.23,3.2)(2.23,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}