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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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%%%%
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{7 septembre 2017}}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\ \medskip 7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}
%
%\medskip

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de
travail : le vélo ou les transports en commun.

\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10.

Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$.

Pour une journée donnée, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$ l'évènement \og La journée est ensoleillée \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement\og Romane se déplace en vélo \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On construit l'arbre pondéré représentant la situation:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$E$}\naput{$p$}}
 	  { 
 		  \TR{$V$}\naput{$0,9$}
 		  \TR{$\overline{V}$}\nbput{\red $1-0,9=0,1$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-p$}}
 	  {
 		  \TR{$V$}\naput{$0,6$}
          \TR{$\overline{V}$}\nbput{\red $1-0,6=0,4$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales, la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est:

$P(V) =P(E\cap V) + P(\overline{E}\cap V) = p\times 0,9+ (1-p)\times 0,6 = 0,9p + 0,6 - 0,6p = 0,3p + 0,6$.

\item On constate que dans 67,5\,\% des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail, donc $P(V)=0,675$.
	\begin{enumerate}
		\item 
$\left.
\begin{array}{@{} l !{=} l}
P(V) & 0,3p+0,6\\
P(V) & 0,675
\end{array}
\right\rbrace		
\implies
0,3p+0,6=0,675 \iff 0,3p = 0,075 \iff p=\dfrac{0,075}{0,3}$\\ donc  $p=0,25$
		
		\item Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, la probabilité que la journée soit ensoleillée est:

$P_V(E)= \dfrac{P(V\cap E)}{P(V)} = \dfrac{p\times 0,9}{0,675} = \dfrac{0,25\times 0,9}{0,675} = \dfrac{0,225}{0,675} = \dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip
Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes,
entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute.

Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet,
exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous.

%Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(19,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=6,Dx=2,Dy=6](0,0)(0,0)(19,0.005)
\psGauss[linewidth=1.25pt,sigma=1,mue=8]{0}{19}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,sigma=3,mue=10]{0}{19}
\uput[d](16.5,-0.05){temps en minutes}
\psline[linestyle=dotted](8,0)(8,0.4)
\psline[linestyle=dotted](10,0)(10,0.12)
\end{pspicture}
\end{center}

Les deux courbes sont symétriques par rapport aux deux droites verticales $t=14$ et $t=16$ donc les lois normales ont pour espérances 14 et 16.

L'écart-type est un paramètre de dispersion autour de l'espérance; plus cet écart-type est petit, plus la courbe est resserrée autour de l'espérance. Donc la courbe ayant pour espérance 14 correspond à l'écart-type le plus petit, donc 1 qui correspond au trajet en vélo; $\mu_{V}=14$ et donc $\mu_{C}=16$.

\item La probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15~minutes est $P(10 \pp T_V \pp 15)$ sachant que $T_V$ suit la loi normale d'espérance 14 et d'écart-type 1; on trouve à la calculatrice:  $P(10 \pp T_V \pp 15)\approx \np{0,8413}$.

\item Pour savoir quel mode de déplacement Romane doit privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail, il faut comparer $P(T_V \pp 15)$ à $P(T_C\pp 15)$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $P(T_V \pp 15) \pg P(10 \pp T_V \pp 15)$ donc $P(T_V \pp 15) \pg 0,84$.

\item $P(T_C\pp 15) < P(T_C\pp 16)$; or $\mu_C=16$ donc $P(T_C\pp 16) =0,5$ et donc $P(T_C\pp 15) <0,5$.

\end{list}

Donc $P(T_V \pp 15) > P(T_C\pp 15)$ donc il vaut mieux privilégier le vélo si Romane souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\subsubsection*{Partie C}
\def\interA{\cd 0~;~+\infty\cd}
\medskip

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la
durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$,
suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $\interA$ par 
$f(t) = \lambda \e^{- \lambda t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $b$ un réel positif.

%Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]

La fonction $f$ a pour primitive sur $\interA$ la fonction $F$ définie par $F(t)=-\e^{-\lambda t}$.

Donc $P(X \pp b) = \ds\int_{0}^{b}  \lambda \e^{- \lambda t} \d t = \left [  F(t) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{0}^{b} = F(b)-F(0) = -\e^{-\lambda b} - \left ( -\e^{0} \right ) = 1-\e^{-\lambda b}$.

\item  On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9 ce qui veut dire que $P(X \pg 50) = 0,9$.

	\begin{enumerate}
		\item %En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
$P(X \pp b) = 1-\e^{-\lambda b}$ donc $P(X \pg b) = 1- P(X\pp b) = 1-\left ( 1-\e^{-\lambda b}\right ) 	= \e^{-\lambda b}$	

$P(X \pg 50) = 0,9 \iff \e^{-\lambda \times 50} = 0,9 \iff -50\lambda = \ln(0,9) \iff \lambda = -\dfrac{\ln(0,9)}{50}$
		
		\item La probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$~heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$~heures est $P_{(X\pg 200)}(X \pg 250)$.
		
La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc \\ 
$P_{(X\pg 200)}(X \pg 250)= P(X\pg 250-200) = P(X\pg 50) = 0,9$
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 2 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par
$\left\{\begin{array}{l c l}
z_0& =& 100\\
z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\quad \text{ pour tout entier naturel }n.
\end{array}\right.$

%Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
Les points $M_n$ et $M_{n+2}$ ont pour affixes  $z_n$ et $z_{n+2}$.

$z_{n+2} = \dfrac{\i}{3} z_{n+1} = \dfrac{\i}{3} \left ( \dfrac{\i}{3} z_n\right ) = \dfrac{\i^2}{9} z_n = -\dfrac{1}{9} z_n$

Le vecteur $\vect{\text{O}M_{n+2}}$ a pour affixe $z_{n+2}$ et le vecteur $\vect{\text{O}M_{n}}$ a pour affixe $z_n$; or $z_{n+2} = -\dfrac{1}{9} z_n$ donc $\vect{\text{O}M_{n+2}} = -\dfrac{1}{9} \vect{\text{O}M_{n}}$. Les vecteurs $\vect{\text{O}M_{n+2}}$ et $\vect{\text{O}M_{n}}$ sont colinéaires donc les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés quel que soit $n$.

\item% On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$.

Le point $M_n$ appartient au disque de centre O et de rayon 1 si $\text{O}M_n \pp 1$.
On sait que $\text{O}M_n = |z_n|$.

Soit $(d_n)$ la suite définie pour tout $n$ par $d_n=|z_n|$.

On sait que $z_{n+1} = \dfrac{\i}{3} z_n$ donc $\left | \strut z_{n+1} \right | = \left | \strut \dfrac{\i}{3} z_n\right | = \left | \dfrac{\i}{3} \right | \times \left |z_n\right | = \dfrac{1}{3} \left |z_n\right |$; donc, pour tout $n$, $d_{n+1}=\dfrac{1}{3} d_n$.

De plus, $d_0=\left |z_0\right | = 100$.

La suite $(d_n)$ est définie par $d_0=100$ et $d_{n+1} = \dfrac{1}{3} d_n$, pour tout $n$. \\
Donc la suite $(d_n)$ est  une suite géométrique de premier terme $d_0=100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $-1 < q < 1$ donc la suite $(d_n)$ est convergente et a pour limite 0. \\
D'après la définition de la limite d'une suite, on peut déduire que l'intervalle $\cd 0~;~1\cd$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, ce qui répond à la question.

\item On peut également déterminer le rang $n$ à partir duquel tous les points sont situés dans le disque (\emph{mais ce n'était pas explicitement demandé dans l'exercice}).

On cherche $n$ tel que $d_n<1$. La suite $(d_n)$ est géométrique de premier terme $d_0=100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ donc, pour tout $n$, $d_n=d_0\times q^n$ donc $d_n=100 \left ( \dfrac{1}{3}\right )^n$.

On résout l'inéquation:

$d_n<1 \iff 100 \left ( \dfrac{1}{3}\right )^n < 1 \iff \left ( \dfrac{1}{3}\right )^n < 0,01
\iff \ln\left (\left ( \dfrac{1}{3}\right )^n \right )< \ln(0,01)
\iff n\times \ln\left ( \dfrac{1}{3}\right )< \ln(0,01)\\
\phantom{d_n<1}
\iff n > \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left ( \frac{1}{3}\right )}$

Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left ( \frac{1}{3}\right )} \approx 4,2$ donc les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir de $n=5$.
\end{list}



\end{enumerate}

\bigskip 

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie A}
\def\interA{\cd 1~;~+\infty\cd}
\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\interA$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x)$.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
D'après le cours, $\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc 
$\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ donc la courbe  admet la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) comme asymptote horizontale en $+\infty$.

\item% Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\interA$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\interA$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\interA$:

$f'(x)=-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x -  \ln(x) \times 1}{x^2} = \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\interA$.
On étudie le signe de $f'(x)$ sur $\interA$:

$f'(x)>0 \iff \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}>0 \iff 1-\ln(x) >0 \iff 1>\ln(x) \iff \e >x \iff x<\e$

\begin{tabular}{@{} ll}
Donc la fonction $f$ est:& strictement croissante sur $\cd 1~;~\e\cg$;\\
 & strictement décroissante sur $\cd \e~;~+\infty\cd$.
\end{tabular}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}
\def\interB{\cd 1~;~2\cg}
\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par
$u_n = \ds\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\d x$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$.
$u_0=\ds\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x \ds\int_{1}^{2}  f(x) \d x $

$\dfrac{1}{x} \ln(x)$ est de la forme $u'u$ qui a pour primitive $\dfrac{1}{2}u^2$; donc la fonction $f$ a pour primitive sur $\interB$ la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left [ \ln(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2$.

Donc $u_0=\ds\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x 
= \left [ F(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{1}^{2}
= F(2)-F(1)
= \dfrac{1}{2} \left [ \ln(2)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2 - \dfrac{1}{2}\left [ \ln(1)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2
= \dfrac{1}{2}\left [ \ln(2)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2$

%Interpréter graphiquement ce résultat.

La fonction $f$ est positive sur $\interB$ donc $\ds\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x $ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

\item % Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2],  on a \[0 \leqslant  \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
\begin{tabular}[t]{@{}l l l}
Pour tout $x$ de $\interB$: 	& $1 \pp x \pp 2$ &\\
 														& $\iff \ln(1) \pp \ln(x) \pp \ln(2)$ &  la fonction ln est croissante sur $\interB$\\
 														& $\iff 0 \pp \ln(x) \pp \ln(2)$ & \\
 														& $\iff 0\pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2)$ &  $\dfrac{1}{x^{n+1}} >0$ sur $\interB$
\end{tabular}


\item%  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 -  \dfrac{1}{2^n}\right).\]
On a $0\pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2)$ donc, d'après la positivité de l'intégration:\\ 
$\ds\int_{1}^{2} 0 \d x \pp \ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \d x \pp \ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x$ ou encore
$0 \pp u_n \pp \ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x$.

On calcule $\ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x = \ln(2) \ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \d x$.

Pour $n>0$, la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}$  a pour primitive la fonction  $x \longmapsto -\dfrac{1}{n x^n}$.

Donc $\ds\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \d x = \left [ -\dfrac{1}{n x^n}\right ]_{1}^{2}
= \left ( -\dfrac{1}{n \times 2^n}\right ) - \left ( -\dfrac{1}{n\times 1^n} \right) 
= \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n\times 2^n}
= \dfrac{1}{n} \left ( 1-\dfrac{1}{2^n}\right )$

\smallskip

Donc, pour tout entier naturel $n>0$, on a: $0\pp u_n \pp \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$.

\item % Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On cherche la limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$.

\smallskip

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{n\to + \infty} n = +\infty \text{ donc } \ds\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} = 0\\[9pt]
\ds\lim_{n\to + \infty} 2^n = +\infty \text{ donc } \ds\lim_{n\to + \infty} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )=1
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc }
\ds\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right ) = 0$.

\smallskip

On a: $0\pp u_n \pp \dfrac{\ln(2)}{n\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$ pour tout $n$, et $\ds\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right ) = 0$; on peut donc dire, d'après le théorème des gendarmes, que la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite 0.


\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère les points A(1~;~1~;~14), B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}6\\\phantom{-}8\\- 1\end{pmatrix}$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, autrement dit si et seulement si les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires.
		
$\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $(0-1~;~1-1~;~8-14)=(-1~;~0~;~-6)$.

$\vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $(-2-1~;~2-1~;~4-14)=(-3~;~1~;~-10)$.

$-1\times 3 = -3$ et $0\times 3 = 0 \neq 1$ donc les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires.

On en déduit que les points A, B et C définissent un plan.

		\item% Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs  		$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
$\vect{n}\cdot\vect{\text{AB}} = 6\times (-1)+8\times 0 + (-1)\times (-6) = 0$ donc $\vect{n} \perp \vect{\text{AB}}$
		
$\vect{n}\cdot \vect{\text{AC}} = 6\times (-3)+8\times 1 + (-1)\times (-10) = 0$ donc $\vect{n} \perp \vect{\text{AC}}$
		
Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.	
		
		\item% Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
Le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6~;~8~;~-1)$ est orthogonal aux deux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ donc c'est un vecteur normal au plan (ABC); le plan (ABC) a donc une équation cartésienne de la forme $6x+8y-z+d=0$, où $d$ est un réel à déterminer.

Le plan (ABC) contient le point A donc les coordonnées de A vérifient l'équation du plan:

$6x_{\text A} + 8y_{\text A} -z_{\text A} +d=0
\iff 6+8-14+d=0 \iff d=0$

Le plan (ABC) a donc pour équation $6x+8y-z=0$.	
		
	\end{enumerate}

\item On considère la droite $\Delta$ de représentation paramétrique
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
x & 2t - 3\\
y & t - \dfrac{1}{2},\quad t\in\R.\\[5pt]
z & 4t + 2
	\end{array}\right.$
	
	\begin{enumerate}

		\item D'après le cours, le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~4)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.

		\item La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont sécants si le système
$\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
x &2t - 3\\
y &t - \dfrac{1}{2}\\[5pt]
z &4t + 2\\
6x+8y-z &  0\\
	\end{array}\right.$		
	
admet une solution unique.

Pour que ce système ait une solution, il faut que l'équation
$6\left (2t-3\vphantom{\dfrac{1}{2}}\right ) + 8\left (t-\dfrac{1}{2}\right ) - \left ( 4t+2\vphantom{\dfrac{1}{2}}\right ) = 0$ ait une solution,
c'est-à-dire
$12t-18+8t-4-4t-2=0
\iff 16t=24
\iff t=1,5$.

En remplaçant $t$ par $1,5$ on trouve $x=0$, $y=1$ et $z=8$; la droite $\Delta$ et la plan (ABC) sont donc sécants en un point de coordonnées $(0~;~1~;~8)$.

	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées
$(x~;~y~;~z)$ sont données par 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x &t^3 + t\\
y &t+1,\quad t\in\R\\
z &2t
	\end{array}\right.$
	
Il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à $(E)$ et à (ABC) si le système\\
$\left\{\begin{array}{r !{=} l}
x &t^3 + t\\
y &t+1\\
z &2t\\
6x+8y-z & 0\\
	\end{array}\right.$
admet une solution unique.

Pour que ce système ait une solution unique, il faut que l'équation
$6(t^3+t)+8(t+1)-2t=0$ ait une solution unique.

$6t^3+6t+8t+8-2t=0 \iff 6t^3 +12t+8=0$
	
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)= 6t^3+12t+8$.

$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(t)= 18t^2 + 12>0$; donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

$f$ est une fonction polynôme donc sa limite à l'infini est la limite de son terme de plus haut degré:\\
$\ds\lim_{t\to -\infty} f(t) = \ds\lim_{t\to -\infty} 6t^3 = -\infty$ et 
$\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = \ds\lim_{t\to +\infty} 6t^3 = +\infty$.	
	
La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\R$, et elle est strictement croissante sur $\R$. Sa limite en $-\infty$ est $-\infty$ et sa limite en $+\infty$ est $+\infty$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=0$ aura une unique solution sur $\R$.

Il existe donc un $t$ unique solution de l'équation $6t^3 +12t+8=0$, ce qui entraîne qu'il existe un unique  point  d'intersection de l'ensemble $(E)$ et du plan (ABC).
	
%Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.

\end{enumerate}

%\newpage
\bigskip

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un entier relatif donné.

Soit l'équation $\left(E_p\right)$: $3x + 4y = p$, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.

	\begin{enumerate}
		\item $3\times (-p)+4\times p = -3p+4p=p$ donc le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de $\left(E_p\right)$.
		
		\item Soit $S_p$ l'ensemble des couples de la forme $(- p + 4k~;~p - 3k)$ où $k \in \Z$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On suppose que le couple $(x~;~y)$ appartient à l'ensemble $S_p$; alors il existe un entier relatif $k$ tel que $x=-p+4k$ et $y=p-3k$. \\
On a donc:
$3x+4y = 3(-p+4k) + 4 (p-3k) = -3p+12k +4p-12k=p$ \\
donc le couple $(x~;~y)$ est solution de l'équation $\left (E_p\right )$.

\item On suppose que le couple $(x~;~y)$ est solution de $\left (E_p\right )$; cela signifie que $3x+4y=p$.

On sait que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de $\left(E_p\right)$ donc $3(-p)+4p=p$.

En retranchant membre à membre ces deux égalités, on obtient $3(x+p) +4(y-p)=0$ ou encore $3(x+p) = -4(y-p)$.

D'après cette égalité, 4 divise $3(x+p)$; on sait que les nombres 3 et 4 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 4 divise $x+p$. \\
On en déduit que $x+p = 4k$ avec $k\in \Z$ et donc que $x=-p+4k$.

De $3(x+p) = -4(y-p)$ et de $x+p = 4k$, on déduit que $3\times 4k = -4(y-p)$ c'est-à-dire que $-3k =y-p$ ou encore $y=p-3k$.

On peut donc enfin dire que $(x~;~y)=(-p+4k~;~p-3k)$ avec $k\in\Z$, donc que le couple $(x~;~y)$ appartient à $S_p$.

\end{list}
		
On a donc démontré que l'ensemble des solutions de l'équation $\left (E_p\right )$ est l'ensemble des couples $(-p+4k~;~p-3k)$ où $k\in\Z$.	
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}			
Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
		
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
		
\begin{enumerate}[resume]
\item  Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathcal P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item On sait que le point $M_0$ appartient au plan $\mathcal{P}$, donc ses coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ vérifient l'équation du plan:
$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$	 donc $z_0=	6x_0 + 8y_0$.

$6x_0$ est pair et  $8y_0$ est pair donc $6x_0 + 8y_0$ est pair donc $z_0$ est pair.
		
		%Démontrer que $z_0$ est pair.
		\item  On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif.

$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$ donc $6x_0 + 8y_0 - 2p = 0$ ce qui équivaut à 	$6x_0 + 8y_0 = 2p$ ou encore $3x_0 + 4y_0 = p$; donc le couple $(x_0~;~y_0)$ est solution de l'équation $\left (E_p\right )$.
		
%Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.

		\item % En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $\mathcal P$ à coordonnées entières.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On vient de voir que si $M_0$ de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ appartient au plan $\mathcal{P}$, alors $z_0$ est pair et égal à $2p$, et $\left (x_0~;~y_0\right )$ est solution de $\left (E_p\right )$. Donc $x_0=-p+4k$ et $y_0=p-3k$ d'après la question 1.

%Comme $M_0\in\mathcal{P}$, $6x_0 + 8y_0 - z_0 = 0$	 donc $z_0=	6x_0 + 8y_0= 6(-p+4k) +8(p-3k) = 2p$.

\item Réciproquement, si un point $M_0$ a pour coordonnées $\left ( x_0~;~y_0~;~z_0\right )=\left ( -p+4k~;~p-3k~;~2p \right )$ on a:
$6x_0 + 8y_0 - z_0 = 6(-p+4k) +8(p-3k)+2p = -6p +24k +8p -24k +2p=0$ donc $M_0\in\mathcal{P}$.

\end{list}		
		
L'ensemble des points du plan $\mathcal{P}$ à coordonnées entières est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme $\left ( -p+4k~;~p-3k~;~2p \right )$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.	
		
		
	\end{enumerate}
\item  À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées
$\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec
	
\[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
\begin{pmatrix}
31&75&180\\
56&41&- 144\\
28&- 30&29 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
\begin{pmatrix}
31&75&180\\
56&41&- 144\\
28&- 30&29 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
\begin{pmatrix}
31x + 75y + 180z\\
56x +41y- 144z\\
28x- 30y +29z 
\end{pmatrix}$

$\text{Donc }6x' + 8y' - z' = 6(31x + 75y + 180z) + 8(56x +41y- 144z) -(28x- 30y +29z )\\
\phantom{\text{Donc }6x' + 8y' - z'}
= 186x + 450y +\np{1080}z + 448x + 322y - \np{1152}z -28x + 30y - 29z\\
\phantom{\text{Donc }6x' + 8y' - z'}
= 606x + 808y - 101z = 101(6x+8y-z)$

		\item Si le point $M$ est un point du plan $\mathcal P$, alors $6x+8y-z=0$ donc $101(6x + 8y - z)$, et donc $6x'+8y'-z'=0$ ce qui prouve que  le point $M'$ est aussi un point du plan $\mathcal P$.
		
		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathcal P$ passant par O.

Le plan $\mathcal{P}$ d'équation $6x+8y-z=0$ a pour vecteur normal $\vect{n}$ de coordonnées $(6~;~8~;~-1)$; ce vecteur est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
De plus, la droite $\Delta$ passe par le point O donc elle a pour représentation paramétrique:
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r l}
x & 6t &\\
y & 8t & t\in\R\\
z & -t & \\
\end{array}
\right.$

On suppose que le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ donc il a ses coordonnées de la forme 
$(6t~;~8t~;-t)$ où $t\in\R$.

Le point $M'$ a pour coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ telles que
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	
\begin{pmatrix}
31x + 75y + 180z\\
56x +41y- 144z\\
28x- 30y +29z 
\end{pmatrix}$
et donc:

$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} r !{=} l}
x' & 31\times 6t + 75\times 8t + 180\times (-t)  & 606t & 6(101t)\\
y' & 56\times 6t +41\times 8t- 144\times (-t) & 808t & 8(101t)\\
z' & 28\times 6t- 30\times 8t +29 \times (-t) & -101t & -(101t)
\end{array}
\right.$

Les coordonnées de $M'$ sont donc de la forme $(6t'~;~8t'~;~-t')$ où $t'\in\R$ donc le point $M'$ appartient à la droite $\Delta$.


%Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}