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\everymath{\displaystyle}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2009}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%tapuscrit Olivier Noël
%modifié pour la question fausse par Patrick Soubeyrand !
\usepackage[french]{babel}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small Amérique du Sud}
\rfoot{\small Décembre 2009}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2009~\decofourright\\[5pt] }}
\end{center}

\subsection*{EXERCICE 1 \hfill  6 points}
\begin{center}
\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}
%L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prend 1~cm comme unité.

\textbf{Partie A --- Restitution organisée de connaissances}

\medskip

%Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation
 
%$ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.

%Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~:
%\[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Voir le cours.
\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item %Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC.
	On a $\vect{\text{AB}}(3~;~0~;~-3),\: \vect{\text{AC}}(3~;~3~;~3),\:  \vect{\text{BC}}(0~;~3~;~6)$.
	
D'où AB$^2 = 9 + 9 = 18,\: \text{AC}^2 = 9 + 9 + 9= 27,\:\text{BC}^2 = 9 + 36 = 45$.

Or $18 + 27 = 45 \iff \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2 \iff $ ABC est un triangle rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

On a donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{18}\times \sqrt{27}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}\times 3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9\sqrt{6}}{2}$ (cm$^2$).
	\item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
$\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 3 + 0 - 3 = 0 \Rightarrow \vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{AB}}$ ;

$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 3 - 6  + 3 = 0 \Rightarrow \vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{AC}}$.

Donc $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (puisqu'orthogonaux) du plan ABC est un vecteur normal à ce plan. Une équation de ce plan est donc : $M(x~;~y~;~z) \in \text{ABC} \iff 1x - 2y + 1z + d = 0.$

Par exemple A$(3~;~-2~;~2) \in \text{ABC} \iff 3 + 4 + 2 + d = 0 \iff d = - 9.$

Finalement :

\[M(x~;~y~;~z) \in \text{ABC} \iff x - 2y + z - 9 = 0.\]	
%Déterminer une équation du plan (ABC).
	\item %Calculer la distance du point D au plan (ABC).
$d(\text{D}, ABC) = \dfrac{\left|4 - 0 - 1 - 9 \right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.	
%Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On sait que la distance de D au plan ABC est obtenue en traçant la perpendiculaire à ce plan contenant D : la distance calculée à la question précédente est donc la longueur de la hauteur du tétraèdre DABC. Son volume est donc égal à :

$V = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(ABC) \times \sqrt{6} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{6} = 9$~cm$^3$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Soit $Q$ le plan d'équation $x- 2y + z - 5 = 0$.

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item %Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
Le vecteur $\vect{n}$ étant lui aussi un vecteur normal au plan $Q$, les deux plans sont parallèles et distincts car $- 9 \neq -5$.
	\item %$Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
%Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
Équation de (DA) : on traduit l'appartenance géométrique $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AD})$ par la relation de colinéarité : il existe $\alpha \in \R$, tel que $\vect{\text{A}M} = \alpha \vect{\text{AD}}$ qui se traduit en égalant les coordonnées des deux vecteurs par le système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x - 3&=&\alpha\\
y + 2&=&2\alpha\\
z - 2&=&-3\alpha
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&3 + \alpha\\
y &=&- 2 + 2\alpha\\
z &=&2 - 3 \alpha
\end{array}\right.$

E est commun à $Q$ et à (AD) : ses coordonnées vérifient donc l'équation de $Q$ et les équations paramétriques de (AD) soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&3 + \alpha\\
y &=&- 2 + 2\alpha\\
z &=&2 -3 \alpha\\
x - 2y + z - 5&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&3 + \alpha\\
y &=&- 2 + 2\alpha\\
z &=&2 -3 \alpha\\
3 + \alpha - 2(- 2 + 2\alpha) + 2 - 3 \alpha - 5&=&0
\end{array}\right.$

$ \iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&3 + \alpha\\
y &=&- 2 + 2\alpha\\
z &=&2 - 3\alpha\\
4&=&6\alpha
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&3 + \dfrac{2}{3}\\
y &=&- 2 + 2\times \dfrac{2}{3}\\
z &=&2 -3\times \dfrac{2}{3}\\
\dfrac{2}{3}&=&\alpha
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&\dfrac{11}{3}\\
y &=&-\dfrac{2}{3}\\
z &=& 0\\
\dfrac{2}{3}&=&\alpha
\end{array}\right.$

Conclusion ; E$\left(\dfrac{11}{3}~;~-\dfrac{2}{3}~;~ 0\right)$. On a aussi $\vect{\text{AE}} = \dfrac{2}{3} \vect{\text{AD}}$. Cette dernière égalité montre que E appartient à la droite (AD) et que l'abscisse de E est $\dfrac{2}{3}$ si on prend le repère (A,~D) ; donc E appartient au segment [AD] (il est aux $2/3$ en partant de A ou au 1/3 en partant de D.)
	\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
%Déterminer le volume du  tétraèdre EFGD.
D'après la question précédente et les deux plans $Q$ et (ABC) étant parall\`eles la section de la pyramide DABC est la pyramide DEFG dont les dimensions sont celles de DABC multipliées par $\dfrac{1}{3}$.

 D'où $V(\text{DEFG}) = \left(\dfrac{1}{3} \right)^3V(\text{DABC}) = \left(\dfrac{1}{3} \right)^3 \times 9 = \dfrac{1}{3}$~cm$^3$.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
\begin{center}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}
%Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère
%les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\item
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
$z_{\text{P}'}= \dfrac{\overline{1 + \text{i}}(1 + \text{i} - 2)}{\overline{1 + \text{i}} - 2} = \dfrac{(1 - \text{i})(- 1 +  \text{i})}{-1 - \text{i}} = \dfrac{(1 - \text{i})( 1 -  \text{i})}{1 +  \text{i}} = \dfrac{-2\text{i} }{1 +  \text{i}} = \dfrac{-2\text{i}(1 -  \text{i})}{(1 +  \text{i})(1 -  \text{i})} = \dfrac{-2 - 2\text{i}}{2} = - 1 - \text{i}.$

Donc $z_{\text{P}'} = - z_{\text{P}}.$
		\item %Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.
$\vect{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\vect{\text{P}'\text{B}}(-1~;~1)$. Les vecteurs sont égaux donc les droites (AP) et (P$'$B) sont parallèles.

On peut même dire que $\vect{\text{AP}} = \vect{\text{P}'\text{B}} \iff $(APBP$'$) est un parallélogramme.
		\item %Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
		$\vect{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\vect{\text{PP}'}(-2~;~-2)$. Donc $\vect{\text{AP}} {}\cdot{} \vect{\text{PP}'} = (-1 ) \times (-2) + 1 \times (-2) = 0 \iff \vect{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\vect{\text{PP}'}$ sont orthogonaux ou encore les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 	tels que M'=M).
Pour $M(z)$ avec $z \neq 2$, donc avec $\overline{z} \neq 2$,\:	$M'(z') = M(z) \iff $

$z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} = z \iff \overline{z}(z - 2) = z\left(\overline{z} - 2 \right) \iff z\overline{z} - 2\overline{z} = z\overline{z} - 2z \iff -2\overline{z} =  - 2z \iff \overline{z} = z \iff z \in \R$.

L'ensemble des points invariants par $f$ est l'axe des abscisses privé du point A.
\end{enumerate}
%On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\setcounter{enumi}{2}
\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)(\overline{z} - 2)$ est réel.
$(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right) = (z - 2)\left(\overline{z} - \overline{2}\right) = (z - 2)\overline{\left(z - 2\right)} = \left|z - 2 \right|^2 \in \R_{+}$ (carré du module de $z - 2$, soit A$M^2$.)
		\item %En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
$\dfrac{z' + 2}{z - 2} = \dfrac{\dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} + 2}{z - 2} = \dfrac{\dfrac{\overline{z}(z - 2) + 2\left(\overline{z} - 2 \right)}{\overline{z} - 2}}{z - 2} = \dfrac{z\overline{z} - 2\overline{z} + 2\overline{z} - 4}{(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right)} = \dfrac{z\overline{z} - 4}{(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right)}.$

Or $z\overline{z} = |z|^2 \in \R$ et dans la question précédente on a vu que 

$(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right) = |z - 2|^2 \in \R$.

Le dernier quotient est donc réel.
		\item %Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
\medskip

\fbox{{\bf Question} : Peut-on avoir $M'= B$ ?}

\medskip

Pour le savoir il suffit de résoudre l'équation $z'=-2$, ~avec $z\neq2$ :

\[z'=-2\iff \overline{z}(z-2)=-2(\overline{z}-2)\iff 
|z|^2=4\underset{|z|\geqslant0}{\iff} |z|=2.\]

Donc la réponse est {\bf oui} puisque tout point M du cercle $\mathcal C$ de centre O et 
de rayon 2 distinct de A a pour image B.

\smallskip

Par conséquent la question posée est mal formulée. On aurait pu demander par exemple :

{\bf c)}~{\em Montrer que : ou bien} $M'=\text{B}$, {\em ou bien les droites} (A$M$) {\em et} (B$M'$) 
{\em sont parallèles.}

\vskip0.5cm

Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Il s'agit de montrer que les droites (A$M$) et $(MM')$ sont perpendiculaires. (Ici on est sûr que  $M\neq M'$ car $M\notin(\text{AB})$.)

\smallskip

Remarquons que si $M$ appartient au cercle $\mathcal C$ dont [AB] est un diamètre alors on sait que
l'angle $\widehat{\text{A}M\text{B}}$ est un angle droit, et comme dans ce cas $M'=\text{B}$,
~alors les droites (A$M$) et $(MM')$ sont perpendiculaires.

\bigskip

Plus généralement : 
On a $z_{\vect{\text{A}M}} = x - 2 + \text{i}y$ et $z_{\vect{MM'}} = z' - z =  ~...$ 

{\bf Remarque} : Autre façon : ~$\dfrac{z_{\vect{MM'}}}{z_{\vect{\text{A}M}}}=\dfrac{z'-z}{z-2}=
\dfrac{2(z-\overline{z})}{(\overline{z}-2)(z-2)}=\dfrac2{|z-2|^2}\,(z-\overline{z})$.

\smallskip

Et comme $\dfrac2{|z-2|^2}$ est un réel $>0$ on en déduit :
 
$\left(\vect{\text{A}M},\vect{MM'}\right)=\arg(z-\overline{z})~~[2\pi]$.

\smallskip

Enfin, puisque $z-\overline{z}=2\text{i}y$ avec $y\neq 0$, ~on a 
~$\arg \left(z-\overline{z}\right) = \dfrac{\pi}2~[\pi]$ et donc
 
$\left(\vect{\text{A}M},\vect{MM'}\right)=\dfrac{\pi}2~[\pi]$,
 ce qui prouve que les droites (A$M$) et $(MM')$ sont perpendiculaires.


\medskip

{\bf 5.}~ Soit $M$ un point distinct de A. 

\begin{itemize}
\item Si  $M\in(\text{AB})$ alors $M'=M$.
\item Si $M\in\mathcal C$ alors $M'=\text{B}$.
\item Sinon, i.e. si $M\notin{\mathcal  C}\cup (\text{AB})$ : 
On trace la perpendiculaire en $M$ à la droite (A$M$) : elle coupe la parallèle
à la droite (A$M$) passant par B en $M'$.
\end{itemize}

\psset{unit=1cm}
\[\begin{pspicture}(-4,-6)(6,3)
%\psframe(-4,-6)(6,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-4,-6)(6,3)
% repère
\psline[arrowsize=2pt 2,arrowlength=2,arrowinset=0.2]{->}%
(-4,0)(6,0)
\psline[arrowsize=2pt 2, arrowlength=2,arrowinset=0.2]{->}%
(0,-6)(0,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){\footnotesize1} 
\uput[l](0,1){\footnotesize1}
\psdots(-2,0)(2,0)(3,-2)(-0.2,-3.6)
\uput[ur](-2,0){B}\uput[ur](2,0){A}
\psline(1,2)(4.5,-5) % y=-2x+4
\psline(-3,-5)(5,-1)% y=0.5x-5.5
\psline(-3,2)(0.5,-5)
\uput[ur](2.9,-1.9){Q}
\uput[l](-0.25,-3.5){Q$'$}
\pscircle[linecolor=blue](0,0){2}
\uput[ul](-1.3,1.3){\blue$\mathcal C$}

% pour l'angle droit
\psline(2.91,-1.82)(2.73,-1.91)(2.82,-2.09)
\end{pspicture}\]

Le dernier résultat peut s'écrire $\dfrac{z' - z_{\text{B}}}{z - z_{\text{A}}} \in \R \iff \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M'} \right) = 0 + k\pi$ (argument d'un réel).

Conclusion : les vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}M'}$ sont colinéaires donc les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
%Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
On a $z_{\vect{\text{A}M}} = x - 2 + \text{i}y$ et $z_{\vect{MM'}} = z' - z = \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} - z = \dfrac{\overline{z}(z - 2) - z\left(\overline{z} - 2 \right)}{\overline{z} - 2} = \dfrac{z\overline{z} - 2\overline{z} - z\overline{z} + 2z}{\overline{z} - 2} = \dfrac{2\left(z - \overline{z}\right)}{\overline{z} - 2} = \dfrac{2(x + \text{i}y - x + \text{i}y}{x - \text{i}y - 2} = \dfrac{4\text{i}y}{(x - 2) - \text{i}y} = \dfrac{4\text{i}y[(x - 2) + \text{i}y]}{(x-2)^2 + y^2} = \dfrac{-4y^2}{(x-2)^2 + y^2} + \text{i}\dfrac{4y(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2}$.

Calculons $\vect{\text{A}M} \cdot \vect{MM'} = \dfrac{-4y^2(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2} + \dfrac{4y^2(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2} = 0.$

Les vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $z_{\vect{MM'}}$ sont orthogonaux, donc les droites (A$M$) et $(MM')$ sont perpendiculaires.
	\item %Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
	La construction de l'image de $M$ se déduit des questions précédentes : 
	
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tracer la parallèle $(d_{1})$ à (A$M$) contenant B ;
\item[$\bullet~$] Tracer la perpendiculaire $(d_{2})$ à la droite (A$M$)
 contenant $M$
\item[$\bullet~$] L'intersection de $(d_{1})$ et $(d_{2})$  est le point $M'$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 2 \hfill5 points}
\begin{center}
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

%On considère un carré direct ABCD (c'est à dire un carré ABCD tel que
 
%$\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad[2\pi]$) de centre I.

%\medskip

%Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].\\
$\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK].

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item %Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que
%	$s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$.
Par définition le rapport de la similitude est égal à $\dfrac{\text{IK}}{\text{AB}} = \dfrac{\frac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}$ si $a$ est la mesure des côtés du carré.

De même l'angle de la similitude est égal à $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{IK}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \mod{2\pi}.$
	\item %Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. En effet I et K équidistants de C et de D appartiennent à la médiatrice de [CD], donc de [AB].
Comme $\widehat{\text{AJI}} =  \dfrac{\pi}{2}$, J appartient à $\Gamma_1$. De même comme $\widehat{\text{KJB}} =  \dfrac{\pi}{2}$, J appartient à $\Gamma_2$.

D'autre part d'après la question précédente, si $\Omega$ est le centre de la similitude, on a 

$\left(\vect{\Omega\text{A}},~\vect{\Omega\text{I}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \mod{2\pi}$ qui montre que $\Omega$ appartient au cercle $\Gamma_{1}$ ; de même 

$\left(\vect{\Omega\text{B}},~\vect{\Omega\text{K}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \mod{2\pi}$  montre que $\Omega$ appartient au cercle $\Gamma_{2}$.

Les deux cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en J et en $\Omega$
	\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$.
Par propriété de la similitude, l'image de la droite (AC) est une droite perpendiculaire contenant l'image de A, donc I : c'est la droite (BD).

De même l'image de (BC) est perpendiculaire à celle-ci et contient l'image de B qui est K : c'est la droite (CD).

Comme C est commun à (AC) et (BC), son image est commun aux droites images (BD) et (CD) : c'est donc D.
		\item %Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
L'image du milieu I de [AC] est le milieu E du segment image soit [ID] (propriété de la similitude).
	\end{enumerate}
	\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
%Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés.
	
%(On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$).
On peut simplement montrer que par définition de la similitude $s$ : $\left(\vect{\Omega\text{A}},~\vect{\Omega\text{I}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \mod{2\pi}$ et $\left(\vect{\Omega\text{I}},~\vect{\Omega\text{E}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \mod{2\pi}$, donc $\left(\vect{\Omega\text{A}},~\vect{\Omega\text{E}} \right) = \pi \mod{2\pi}$ qui signifie que A, $\Omega$ et E sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct
%$\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AD}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item %Donner les affixes des points A, B, C et D.
	On a $z_{\text{A}} = 0,\: z_{\text{B}} = 10, \: z_{\text{C}} = 10 + 10\text{i},\: z_{\text{D}} = 10\text{i}$.
	\item %Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe
%\[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\]
On a facilement $z_{\text{I}} = 5 + 5\text{i}$.

On sait qu'une similitude a une écriture complexe de la forme $z' = az + b,\: a \in \C,\: b \in \C$. En utilisant I $ =s(\text{A})$, on obtient :

$5 + 5\text{i} = a \times 0 + b \iff b = 5 + 5\text{i}$.

On a $z_{\text{K}} = 5 + 10\text{i}$ et K $ = s(\text{B})$ se traduit par :

$5 + 10\text{i} = a(10) + 5 + 5\text{i} \iff 5\text{i} = 10a \iff a = \dfrac{1}{2}\text{i}.$

L'écriture complexe de $s$ est donc : $z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + 5 + 5\text{i}$.
	\item %Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$.
Le point $\Omega$ est le point invariant de la similitude donc son affixe est la solution de l'équation $z' = z \iff \dfrac{1}{2}\text{i}z + 5 + 5\text{i} = z \iff z\left(1 - \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 5 + 5\text{i} \iff z = \dfrac{5 + 5\text{i}}{1 - \frac{1}{2}\text{i}} = \dfrac{(5 + 5\text{i})\left(1 + \frac{1}{2}\text{i} \right)}{\left(1 - \frac{1}{2}\text{i}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\text{i}\right)} = \dfrac{5 - \frac{5}{2} + \text{i}\left(\frac{5}{2} + 5\right)}{1 + \frac{1}{4}} = \dfrac{\frac{5}{2} + \frac{15}{2}\text{i}}{\frac{5}{4}} = 2 + 6\text{i}$.

Donc $\omega = 2 + 6\text{i}$.
	\item %Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E.
	On a $z_{\text{I}} = 5 + 5\text{i}$. D est l'image de I par $s$, donc grâce à l'écriture complexe :
	
$z_{\text{D}} = \dfrac{1}{2}\text{i}(5 + 5\text{i}) + 5 + 5\text{i} = \dfrac{5}{2}\text{i} - \dfrac{5}{2} + 5 + 5\text{i} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{2}\text{i}.$ (on peut directement obtenir ce résultat en utilisant le fait que E est le milieu de [ID].)

Pour les deux points $\Omega$ et E la partie complexe est le triple de la partie réelle. Ils sont donc alignés avec l'origine du repère A.
	\item %Démontrer que les droites (AE), (CL) et  (DJ) sont concourantes au point $\Omega$.
On sait déjà que $\Omega$ appartient à (AE) ;

On a $z_{\text{L}} = 5\text{i}$, donc $z_{\vect{\Omega\text{L}}} = -2 - \text{i}$ et $z_{\vect{\Omega\text{C}}} = 8 + 4 \text{i} = - 4z_{\vect{\Omega\text{L}}} \iff \vect{\Omega\text{C}} = - 4\vect{\Omega\text{L}} \iff $ L, $\Omega$ et C sont alignés.

De même  $z_{\text{J}} = 5$, donc $z_{\vect{\Omega\text{J}}} = 3 - 6\text{i}$ et $z_{\vect{\Omega\text{D}}} = -2 + 4 \text{i}$. On a donc $\vect{\Omega\text{J}} = - \dfrac{3}{2}\vect{\Omega\text{D}} \iff $ J, $\Omega$ et D sont alignés.

Les droites (AE), (CL) et (DJ) sont donc concourantes en $\Omega$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,10)
\psframe(10,10) \psline(10,10)\psline(10,0)(0,10)
\psdots(0,0)(10,0)(10,10)(0,10)(5,5)(5,0)(5,10)(0,5)(2,6)(2.5,7.5)%ABCDIJKLOmegaE
\psline[linecolor=blue](0,10)(5,0)
\psline[linecolor=blue](0,5)(10,10)
\psline[linecolor=blue](3.333,10)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](10,0){B} \uput[ur](10,10){C} \uput[ul](0,10){D} 
\uput[r](5,5){I} \uput[d](5,0){J} \uput[ul](5,10){K} \uput[ul](0,5){L} 
\uput[ul](2,6){$\Omega$} \uput[r](2.5,7.5){E}
\pscircle(2.5,2.5){3.536} \pscircle(7.5,5){5.59} 
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection*{EXERCICE 3 \hfill5 points}
\begin{center}
\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

%Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'intégrale~:
%\[I=\int_0^1\left(\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}\right)\:\text{d}x\]
\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %étudier les variations de la fonction $f~:x\longmapsto f(x)=\dfrac{\text{e}^{- x}}{2 - x}$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
Sur l'intervalle $[0~;~1]$, $2 - x \neq 0$, donc $f$ quotient de fonctions dérivables est dérivable et :

$f'(x) = \dfrac{-\text{e}^{- x}(2 - x) +\text{e}^{- x} }{(2 - x)^2} = \dfrac{\text{e}^{- x}(1 - 2 + x)}{(2 - x)^2}  = \dfrac{\text{e}^{- x}(x - 1)}{(2 - x)^2}$. Tous les termes sont positifs sur $[0~;~1]$ sauf $x - 1$ qui est négatif sur [0~;~1], donc $f'(x) \leqslant 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~1]$ de $f(0) = \dfrac{1}{2}$ à $f(1) = \text{e}^{-1} = \frac{1}{\text{e}} \approx 0,368$.
		\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$, on a $\dfrac{1}{\text{e}}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$.
On a vu à la question précédente que sur $[0~;~1], \:\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
	
	\item %Soit $J$ et $K$ les intégrales définies par 
%	$J = \int_0^1(2+x)\text{e}^{-x}\:\\text{d}x$ et $K = \int_0^1 x^2f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]	
		\item %Au moyen d'une intégration par parties, prouver que $J = 3 -\dfrac{4}{\text{e}}$.
Posons $\left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=&2 + x\\
v'(x)&=& \text{e}^{-x}
\end{array}\right. \Rightarrow 
\left\{\begin{array}{l c l}
u'(x) &=&1\\
v(x) &=& -\text{e}^{-x}
\end{array}\right.$

Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par parties :

$J = \left[-(x+ 2)\text{e}^{-x} \right]_{0}^1  + \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[-(x+ 2)\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}\right]_{0}^1 = \left[-(x+ 3)\text{e}^{-x} \right]_{0}^1 =$

$ -4 \text{e}^{-1} + 3 = 3 - \dfrac{4}{\text{e}}$.
		\item %Utiliser un encadrement de $f(x)$ obtenu précédemment pour démontrer que $\dfrac{1}{3\text{e}}\leqslant K\leqslant \dfrac{1}{6}$.
En partant de l'encadrement trouvé au 1. b. :

$\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{x^2}{\text{e}} \leqslant x^2f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}x^2$ d'où en intégrant sur [0~;~1], 

$\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2}{\text{e}}\:\text{d}x \leqslant K \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{2}x^2\:\text{d}x \iff \left[\dfrac{x^3}{3\text{e}} \right]_{0^1} \leqslant K \leqslant \left[\dfrac{x^3}{6} \right]_{0^1} \iff \dfrac{1}{3\text{e}} \leqslant K \leqslant \dfrac{1}{6}$.
		\item %Démontrer que $J+K=4I$.
$J + K =  \displaystyle\int_{0^1} (2 + x)\text{e}^{-x}\:\text{d}x + \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2 \text{e}^{-x}}{2 - x} \:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \left[(2 + x)\text{e}^{-x} + \dfrac{x^2 \text{e}^{-x}}{2 - x}\right] \:\text{d}x = $

$\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{(2 - x)(2 + x)\text{e}^{-x} + x^2 \text{e}^{-x}}{2 - x}\:\text{d}x =  \displaystyle\int_{0}^1 4 \dfrac{\text{e}^{-x}}{2 - x}\:\text{d}x = 4 I.$
		\item %Déduire de tout ce qui précède un encadrement de $I$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$.
$J = 3 - \dfrac{4}{\text{e}} \Rightarrow \dfrac{1}{3\text{e}} + 3 - \dfrac{4}{\text{e}} \leqslant J + K \leqslant \dfrac{1}{6} + 3 - \dfrac{4}{\text{e}} \Rightarrow \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{3\text{e}} + 3 - \dfrac{4}{\text{e}} \right) \leqslant I \leqslant \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{6} + 3 - \dfrac{4}{\text{e}} \right) \iff \dfrac{3}{4} - \dfrac{11}{12\text{e}} \leqslant I \leqslant \dfrac{19}{24} - \dfrac{1}{\text{e}}.$

Comme $\dfrac{3}{4} - \dfrac{11}{12\text{e}} >0,412$ et $\dfrac{19}{24} - \dfrac{1}{\text{e}} <  0,424$, on en déduit que 

$0,412 < I < 0,424$, il en résulte que $I \approx 0,42$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 4 \hfill4 points}
\begin{center}
\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}


%On considère un questionnaire comportant cinq questions.

%\medskip

%Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte.

%\medskip

%Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

\medskip

%Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$  aux  première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question.

%\medskip

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]	
		\item %Combien y-a-t'il de mots-réponses possible à ce questionnaire~?
Trois réponses possibles pour chacune des cinq questions : il y a donc $3^5 = 243$ mots possibles.
		\item %On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
		
%		Calculer la probabilité des événements suivants~:
		
%		$E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg.
L'élève répète 5 fois l'expérience de Bernouilli : obtenir la bonne réponse avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$;  ces expériences sont indépendantes, donc la variable aléatoire $Z$ donnant le nombre de réponses exactes suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \dfrac{1}{3}$.

Donc $p(Z = 1) = \displaystyle\binom{5}{1}\left(\dfrac{1}{3} \right)^1 \left(1 -  \dfrac{1}{3}\right)^{5 - 1} = 5 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{80}{243} = p(E)$.		
%		$F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg.

De même, la probabilité qu'il n'ait aucune réponse juste est :

$p(Z = 0) = \displaystyle{5}{0}\left(\dfrac{1}{3} \right)^0 \left(1 -  \dfrac{1}{3}\right)^{5 - 0} = \dfrac{2^5}{3^5} = \dfrac{32}{243} = p(F)$.		
		%$G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
		
Un palindrome est de la forme $\overline{abcba}$ : les trois premiers peuvent être quelconques, mais le quatrième choix doit être le même que le second et le dernier le même que le premier : la probabilité est donc égale à $1 \times 1 \times 1 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}  = p(G).$
	\end{enumerate}
	\item %Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur  demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	
%On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]	
		\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
D'après la question 1. un élève a la probabilité égale à $\dfrac{32}{243}$ de n'avoir aucune réponse exacte. Les élèves répondant de façon indépendante les uns des autres, la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 28$ et de probabilité  $p=\dfrac{32}{243}$.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
La probabilité cherchée est égale à :

$p(X \leqslant 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = \displaystyle\binom{28}{0}\left(\dfrac{32}{243} \right)^0 \left(1 - \dfrac{32}{243} \right)^{28 - 0} +$

$ \displaystyle\binom{28}{1}\left(\dfrac{32}{243} \right)^1 \left(1 - \dfrac{32}{243} \right)^{28 - 1} = \left(\dfrac{211}{243}\right)^{28} +
 28 \times \dfrac{32}{243} \times \left(\dfrac{211}{243}\right)^{27} \approx \nombre{0,1006} \approx 0,10$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}