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%Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès 
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\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2003}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud série S~\decofourright\\  
novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et indiscernables au toucher.

%On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet dans 
%le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro $z$ et on le remet dans le sac.

%Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés.

%À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère
% orthonormal \Oijk{} le point $M$ de coordonnées $(x,~ y,~ z)$.
% 
%Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$. Les coordonnées du point  A sont $(1~;~ -1~;~ -1)$ dans le repère \Oijk.
% 
%On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH.

\begin{enumerate} 
\item	%Démontrer que la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à $\dfrac{1}{64}$.
Les jetons étant indiscernables, la probabilité de tirer l'un quelconque d'entre eux est égale à
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\frac{1}{4}$ pour $-1$ ;
\item[$\bullet~$] $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ pour $0$ ;
\item[$\bullet~$] $\frac{1}{4}$ pour $1$ ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Puisque l'on tire les trois coordonnées la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à celle d'obtenir le triplet $(1~;~-1~;~ -1)$, soit  $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{64}$.
\item %On note E$_1$ l'évènement : \og $M$ appartient à l'axe des abscisses \fg{}.

%Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$.
Les tirages conduisant à E$_{1}$ sont de la forme $(a~;~0~;~0)$ avec $a$ quelconque.

On a donc $p\left(\text{E}_{1}\right) = 1 \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}$.
\item %Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et orthogonal au vecteur $\vect{n} (1~;~ 1~;~1)$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
On sait qu'une équation de $\mathcal{P}$ est de la forme $1x + 1y + 1z + d = 0$ et comme O $ \in \mathcal{P}$, on en déduit que $d = 0$.

\[M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff x + y + z = 0.\]

		\item %Tracer en couleur sur le graphique, la section du plan $\mathcal{P}$ et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de justification).
Voir la figure à la fin.
		\item %On note E$_2$ l'évènement : \og $M$ appartient à $\mathcal{P}$ \fg{}.

%Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ?
Il faut chercher les tirages $(x~;~y~;~z)$ tels que $x + y + z = 0$. Sur les 27 tirages possibles :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si $x = -1$, il faut $y = 1$ et $z = 0$ ou inversement soit $(-1~;~1~;~0)$ et $(-1~;~0~;~1)$ ;
\item si $x = 0$, on peut avoir $y = 0$ et alors $z = 0$, sinon $y = 1$ et $z = -1$ ou inversement soit les trois tirages $(0~;~0~;~0),~ (0~;~1~;~-1)$ et $(0~;~-1~;~1)$ ;
\item si $x = 1$ il faut que l'un des autres tirages soit $-1$ et le dernier $0$, soit les deux tirages $(1~;~0~;~-1)$ et (1~;~-1~;~0).
\end{itemize}
On a donc $p\left(\text{E}_{2}\right) = 6 \times  \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \times\dfrac{1}{2} \times\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3 + 2}{16} \dfrac{5}{16}$.
	\end{enumerate}

\item %On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que O$M \leqslant  1,5$).

%On note E$_3$ l'évènement : \og $M$ appartient à la boule $\mathcal{B}$ \fg{}.

%Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$.
Parmi les 27 points de la figure, seuls les sommets du cube sont à une distance $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} > 1,5$.

Comme il y a 8 sommets, la probabilité de l'évènement $\overline{\text{E}_3}$ est égale à 

$8 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{8}$, d'où $p\left(\text{E}_3\right) = 1 - p\left(\overline{\text{E}_3} \right) = 1 -  \dfrac{1}{8} =  \dfrac{7}{8}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 4~cm).

%Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre 
%[OI] et on nomme son centre $\Omega$.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
%On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et on note 
%A$_0$ son image.

\begin{enumerate}
\item	%Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Le centre $\Omega$ du cercle $\mathcal{C}$ a pour affixe $\dfrac{1}{2}$ qui est donc le rayon du cercle.

A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ si et seulement si A$_{0}\Omega = \dfrac{1}{2} \iff \left|\omega - a_{0} \right| = \dfrac{1}{2} \iff \left|\dfrac{1}{2}\text{i} \right| = \dfrac{1}{2}$ qui est bien vraie.
%\item Soit B le point d'affixe $b$, avec $b =  -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le
%point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $b'$.
$b'= a_0b = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(-1 + 2\text{i} \right) = - \dfrac{1}{2} - 1 + \text{i}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.$
		\item %Démontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.
On a arg$\dfrac{0 - b'}{b - b'} = \text{arg}\dfrac{\frac{3}{2}- \frac{1}{2}\text{i}}{-1 + 2\text{i}  + \frac{3}{2}- \frac{1}{2}\text{i}} = \text{arg}\dfrac{\frac{3}{2}- \frac{1}{2}\text{i}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\text{i}} = \text{arg}\dfrac{3 - \text{i}}{1 + 3\text{i}} =$

$\arg \dfrac{(3 - \text{i})(1 - 3\text{i})}{(1 + 3\text{i})(1 - 3\text{i})} =
\text{arg}\dfrac{- 10\text{i}}{10} = \text{arg}(- \text{i}) = - \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi].$

Ceci montre que $\left(\vect{\text{B}'\text{B}},~\vect{\text{B}'\text{O}} \right) = - \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$, c'est-à-dire que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\psset{unit=3.7cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(1.5,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1)(1.51,2.25)
\psgrid[gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0pt](0,0)(-1.5,-1)(1.5,2)
\psdots(0.5,0.5)(-1,2)(-1.5,0.5)(0.5,0)(1,0)%A0BB'
\uput[ur](0.5,0.5){A} \uput[ul](-1,2){B}\uput[ul](-1.5,0.5){B$'$}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\Omega$}\uput[ur](1,0){I}
\pspolygon(0,0)(-1,2)(-1.5,0.5)
\pscircle(0.5,0){0.5}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe.
% 
%À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$.

\begin{enumerate}
\item %On se propose de déterminer l'ensemble des points $A$ tels que le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$.

	\begin{enumerate}
		\item %Interpréter géométriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{a}\right)$.
Comme $a \neq 0$ et $a \neq 1$, le quotient $\dfrac{a - 1}{a}$ existe et est non nul. On sait que $\dfrac{a - 1}{a} = \text{arg}\left(\dfrac{\vect{\text{OA}}},~\vect{\text{IA}} \right) \quad [2\pi]$
%		\item Montrer que $\left(\vect{M'\text{O}},~ 
%\vect{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi
%\quad (\text{où}~ k \in  \Z)$.
Comme $z \neq 0$, $\left(\vect{M'\text{O}},~ \vect{M'M}\right) =$

$\text{arg}\left(\dfrac{z - az}{0 - az} \right) \quad [2\pi] = \text{arg}\left(\dfrac{1 - a}{- a}\right) \quad [2\pi] = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) \quad [2\pi]$.
		\item %En déduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privé de O et de I.
Le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si 

$\left(\vect{M'\text{O}},~ \vect{M'M}\right) =  \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi] \iff \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) \quad [2\pi] =  \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi].$

Donc O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si
$ \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{IA}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi] \iff \left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{AI}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

Finalement O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si A appartient au cercle de de diamètre [AI] exceptés les points O et I.
	\end{enumerate} 

\item %Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses, différent de O.

%On note $x$ son affixe.

%On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ différent de I et de O.

%Montrer que le point $M'$ appartient à la droite (O$A$).

Calculons $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{ax - 0}{a - 0}\right) = \text{arg}~ x \quad [2\pi] = 0 \quad [2\pi].$

Ceci montre que les points O, A et $M'$ sont alignés.
%En déduire que $M'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur cette droite.

D'après la question précédente le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$. Donc $\left(MM'\right)$ est perpendiculaire à la droite $(\text{O}M')$ ou encore à la droite (OA) : $M'$ est donc le projeté orthogonal de $M$ sur la la droite (OA).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

%On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{5}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	%Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation ( E) :	$3y = 5(15 - x)$.
3 divise $5(15 - x)$ et est premier avec 5 : il divise donc $15 - x$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $15 - x = 3k \iff x = 15 - 3k$.

En reportant dans l'équation initiale : $3y = 5 \times 3k \iff y = 5k$.

Les solutions de l'équation dans $\Z \times \Z$ sont les couples $[(15 - 3k)~;~5k],~k \in \Z.$
\item %Soit I le point d'affixe 1.

%On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique 
%$\mathcal{C}$ de centre O.

%Sa position initiale est en I.

%On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$  rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels).

% On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$), il parcourt une distance de  $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement 
% $\dfrac{\pi}{5}$ cm).

% Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le
% point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de I.
Après $p$ rotations $r_{1}$ et $q$ rotations $r_{2}$, le point A a parcouru $\dfrac{p\pi}{3} + \dfrac{q\pi}{5}$ (cm). Il faut donc résoudre  dans $\N \times \N$, l'équation :

\[\dfrac{p\pi}{3} + \dfrac{q\pi}{5} = 2,5 \times 2\pi \times 1 \iff 5p + 3q = 75 \]

Cette équation peut s'écrire : $3q = 75 - 5p \iff 3q = 5(25 - p).$

Donc d'après la question précédente les couples  solutions sont de la forme $(15 - 3k~;~5k),~k \in \N$.

Or $15 - 3k \geqslant 0 \iff k \leqslant 5$ et $5k \geqslant 0 \iff k \geqslant 0$. Donc $k \in \{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$. Ce qui donne les couples :
\[(15~;~0),~(12~; 5),~(9~;~10),~(6,15),~(3~;~20)(0~;~25)\]

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre O et de rapport $- 6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 =r_2 \circ h_2$.
\begin{enumerate}
\item	%Préciser la nature et les éléments caractéristiques 
%de $s_1$ et $s_2$.
$s_{1}$ composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre est une similitude de centre O, de rapport 4 et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

$s_{2}$ composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre est une similitude de centre O,   d'angle $\dfrac{\pi}{5} + \pi = \dfrac{6\pi}{5}$ et de rapport $6$.
\item %On pose :

%$S_m = s_1  \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul),

%$S'_n = s_2  \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~ 
%$n$ étant un entier naturel non nul), et $f = S'_n s_1  \circ  S_m$.
	\begin{enumerate}
		 \item %Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$.
$S_{m}$ composée de $m$ similitudes de même centre est une similitude de centre O de rapport $4^m$ et d'angle $m \times \dfrac{\pi}{3}$ ;

$S_{n}$ composée de $n$ similitudes de même centre est une similitude de centre O de rapport $(6)^n$ et d'angle $n \times \dfrac{6\pi}{5}$ 		
$f$ composée de similitudes de même centre est une similitude de centre O, de rapport $4^m \times (-6)^n$ et d'angle $m \times \dfrac{\pi}{3} + n \times \dfrac{6\pi}{5}$.

Or $4^m \times (6)^n = \left(2^2\right)^m \times [2 \times 3]^n = 2^{2m} \times 2^n \times 3^n = 2^{2m+n} \times 3^n.$

\item %$f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
On sait que $144 = 12^2 = \left(2^2 \times 3 \right)^2 = 2^4 \times 3^2.$

$f$ est une homothétie de rapport 144 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l c l}
2m + n&=&4\\
n&=&2
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{\begin{array}{l c l}
m &=&1\\
n&=&2
\end{array}\right.$

Dans ce cas l'angle de $f$ serait égal à : $\dfrac{\pi}{3} + 2 \times \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi + 36\pi}{15} =$

$ \dfrac{41\pi}{15} \neq 0 \quad [\pi].$

Conclusion $f$ ne peut avoir un rapport de 144.
		\item %On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$.
		
On a O$M = 6$, donc le rapport de $f$ serait égal à $\dfrac{240}{6} = 40 = 2^3 \times 5$. Ceci n'est pas possible puisque le rapport de $f$ soit $2^{2m+n} \times 3^n$ n'est pas multiple de 5.
%Peut-on avoir OM$' =  240$ ?

%Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que  OM$' = 576$.
De même O$M = 6$ et OM$' = 576$ entra\^{\i}ne que le rapport de $f$ serait égal à $\dfrac{576}{6} = 96 = 2^5 \times 3^1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
2m + n&=&5\\
n&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
m&=&2\\
n&=&1
\end{array}\right.$

Conclusion : OM$' = 576$ si et seulement si $m = 2$ et $n = 1$.
%Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OM}'}\right)$.

L'angle de $f$ serait alors égal à $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{28\pi}{15}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) =	\dfrac{1}{\text{e}^{x} + \text{e}^{- x}} \]

%et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	%Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ?
$f(- x) =	\dfrac{1}{\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}} = f(x)$ : la fonction $f$ est donc paire. Donc $\Gamma$ est symétrique autour de l'axe des ordonnées.
\item %Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^x$.
On a $x \geqslant 0 \Rightarrow - x \leqslant x \iff \text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^{x}.$
\item
	 \begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = 0$
		\item %Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Comme $\text{e}^{x} > 0,~f$ inverse d'une fonction dérivable sur $\R$ le dénominateur ne s'annulant pas est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = - \dfrac{\text{e}^{x} - \text{e}^{- x}}{\left(\text{e}^{x} + \text{e}^{- x} \right)^2}$. 

On a vu que $\text{e}^{x} - \text{e}^{- x} \geqslant 0$ et $\left(\text{e}^{x} + \text{e}^{- x} \right)^2 > 0$, donc quel que soit $x \in \R,$

$f'(x) \leqslant 0$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R$ et en particulier sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item %On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $[0~ ;~ + \infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}$ et $h(x) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}$.

%Sur l'annexe  sont tracées, dans le repère \Oij{}	les courbes représentatives de $g$ et $h$, notées respectivement $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.
	\begin{enumerate}
 		\item %Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $h(x)\leqslant f(x) \leqslant g(x)$.
On a démontré que :

$0 < \text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^{x} \Rightarrow 0 + \text{e}^{x} < \text{e}^{-x} + \text{e}^{x} \leqslant \text{e}^{x} + \text{e}^{x}$

$\iff \text{e}^{x} < \text{e}^{-x} + \text{e}^{x} < 2\text{e}^{x}  \iff \dfrac{1}{2\text{e}^{x}} \leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}} < \dfrac{1}{\text{e}^{x}} \iff$

$ h(x)\leqslant f(x) \leqslant g(x)$.
		\item %Que peut-on en déduire pour les courbes $\Gamma,~ \Gamma_1$, et  $\Gamma_2$ ?
On en déduit que sur $[0~;~+ \infty[$, la courbe $\Gamma$ est située au dessus de la   $\Gamma_2$ et en dessous de la courbe $\Gamma_1$.

%Tracer $\Gamma$ sur l'annexe de la page 7, en précisant sa tangente au point d'abscisse $0$.
Tangente au point $\left(0~;~\frac{1}{2}\right)$ : elle passe par ce point et a pour coefficient directeur $f'(0) = 0$ : elle est donc horizontale
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $I_n = \displaystyle\int_n^{n+1}\: f(x)\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item	%Justifier l'existence de $\left(I_n\right)$, et donner une interprétation géométrique de $\left(I_n\right)$.
$I_{n}$ est l'intégrale d'une fonction positive et continue définie sur une partie de $[0~;~+ \infty[$ : cette intégrale existe et est positive.

Elle est égale (en unités d'aire) à l'aire de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites verticales d'équations $x = n$ et $x = n + 1$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item %Démontrer, que pour tout entier naturel $n,~f(n +1) \leqslant  I_n  \leqslant f(n)$.
Sur l'intervalle $[n~;~n + 1]$, la fonction $f$ est décroissante ; donc 

$n \leqslant x \leqslant n + 1 \Rightarrow f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$.
 
En intégrant ces trois fonctions sur l'intervalle $[n~;~n + 1]$ on a donc 

$\displaystyle\int_{n}^{n+1} f(n+1)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1} f(n)\:\text{d}x \iff$

$ f(n + 1)\displaystyle\int_{n}^{n+1} 1\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x \leqslant f(n) \displaystyle\int_{n}^{n+1} 1\:\text{d}x$

ou encore $f(n + 1)[(n + 1) - n] \leqslant I_{n} \leqslant f(n)[(n + 1) - n] \iff$

$f(n + 1) \leqslant I_{n} \leqslant f(n)$ quel que soit $n \in \N$. 
 		\item %En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
D'après la question précédente

$f(n + 2) \leqslant I_{n+1} \leqslant f(n+1)$ et donc par transitivité $I_{n+1} \leqslant I_{n}.$

La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item %Démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par zéro : elle est donc convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$.

Or on a vu $I_{n} \leqslant f(n)$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f(n) = 0.$

D'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n} = \ell = 0.$  
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Soit $\left(J_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $J_n = \displaystyle\int_0^{n}\: f(x)\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item	%En utilisant l'encadrement obtenu dans la question \textbf{A. 4. a.}, démontrer que,  pour tout entier naturel $n$ :

%\[\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) \leqslant J_{n} \leqslant  1 - \text{e}^{-n} \leqslant 1.\]

Sur l'intervalle $[0~;~n]$, les fonctions $h,~f$ et $g$ sont positives et intégrables.

$h(x)\leqslant f(x) \leqslant g(x) \Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{n} h(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{n} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{n} g(x)\:\text{d}x$, soit 

$\displaystyle\int_{0}^{n} \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}\:\text{d}x \leqslant  J_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{n} \text{e}^{-x}\:\text{d}x \iff \left[- \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}  \right]_{0}^{n} \leqslant J_{n} \leqslant \left[- \text{e}^{-x}  \right]_{0}^{n} \iff$

$ \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n} \right) \leqslant J_{n} \leqslant 1 - \text{e}^{-n}$.

Comme $\text{e}^{-n} > 0,1 - \text{e}^{-n} < 1$. D'où le résultat demandé.

\item %Démontrer que la suite $\left(J_n\right)$ est croissante.
$J_{n+1} - J_{n} = \displaystyle\int_{0}^{n+1} f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^{n} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x$.

Cette dernière intégrale est positive comme intégrale d'une fonction positive avec $n < n+1$ quel que soit $n \in \N$.

$J_{n+1} - J_{n} > 0 \Rightarrow J_{n+1}> J_{n}$. La suite $\left(J_n\right)$ est croissante.
%En déduire qu'elle converge.

La suite $\left(J_n\right)$ est croissante et majorée par 1 : elle converge donc vers une limite $L$ inférieure ou égale à 1.
\item %On note $L$ la limite de la suite $\left(J_n\right)$ et on admet le théorème suivant :

%\og Si $u_n, ~v_n$ et $w_n$ sont trois suites convergentes de limites respectives $a,~ b$ et $c$ et si, à partir d'un certain rang on a pour tout $n,~ u_n \leqslant v_n  \leqslant w_n$, alors 

%$a \leqslant b \leqslant c$ \fg{}.

%Donner un encadrement de $L$.
On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0.$

En utilisant le théorème admis on en déduit que :

\[\dfrac{1}{2} \leqslant  L \leqslant 1.\]
\item	%Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par 

%\[u(x) = \dfrac{1}{1+ x^2}.\]

%On note $v$ la primitive de $u$ sur $\R$ telle que $v(1) = \dfrac{\pi}{4}$.

%On admet que la courbe représentative de $v$ admet en $+ \infty$ une asymptote d'équation $y = \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		 \item %Démontrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$.
En partant de l'énoncé et en multipliant chaque terme par $\text{e}^x$, on obtient $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x \times \text{e}^x + 1} = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$.
		\item %Démontrer que, pour tout réel $x,~  f$ est la dérivée de la fonction 
		
		%$x \mapsto v\left(\text{e}^x\right)$.
La dérivée de la fonction $v\left(\text{e}^x\right)$ est $v'\left(\text{e}^x\right) = \text{e}^x \times u\left(\text{e}^x \right) = \text{e}^x \times \dfrac{1}{1 + \left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1} = f(x).$
		\item %En déduire la valeur exacte de $L$.
On a donc $J_{n} = \displaystyle\int_{0}^n f(x)\:\text{dx}  = \left[v\left(\text{e}^x \right)\right]_{0}^n = v\left(\text{e}^n \right) - v(1) = v\left(\text{e}^n \right) - \dfrac{\pi}{4}.$

On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v\left(\text{e}^n  \right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_{n} = L = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$.

\[L = \dfrac{\pi}{4}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe de l'exercice 1}
    
\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}
    
\vspace{3cm}
\psset{unit=0.95cm} 
\begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.58,-5.64)(4.63,-5.23)(6.32,0.48)(1.48,5.7)(-4.6,5.2)(-6.3,-0.5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,4.9)
\psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4)
\psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4)
\psline(4.7,-5.2)(4.7,4.5)(-4.7,5.2)%ici
\psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5)
\psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3)
\psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75)
\psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2)
\psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6)
\psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9)
\uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B}
\uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E}
\uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H}
\uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](0.2,3){$\overrightarrow{k}$}
\qdisk(-4.7,0.35){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt} 
\qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt}
\qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.35){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt}
\qdisk(-1.55,-5.7){2pt}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}    
\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe du problème}

\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}    

\vspace{2cm}
    
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(6,1.1)
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(6,0)
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,-0.2)(0,1.1)
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline(0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,-0.2)(\n,1.1)}
%\multido{\n=0+1}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
%\uput[l](0,-0.2){-0,2} \uput[l](0,-0.1){-0,1} \uput[l](0,0){0} 
%\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.3){0,3} 
%\uput[l](0,0.4){0,4} \uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.6){0,6} 
%\uput[l](0,0.7){0,7} \uput[l](0,0.8){0,8} \uput[l](0,0.9){0,9}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.21)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(6,1.11) 
\uput[d](0.7,0.4){\blue$\Gamma$} 
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp div}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp 2 mul  div}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x neg exp 2.71828 x exp add div}
\psline[linecolor=blue,arrowsize=3pt 2]{<->}(-0.5,0.5)(0.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}